湖北省部分學(xué)校2025屆九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2024-2025學(xué)年湖北省部分學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一元二次方程4x2+x-3=0中一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是A.2，-3 B.0，-3 C.1，-3 D.1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是A.直接開平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法3.拋物線y=-3x2+2x-1與y軸的交點(diǎn)為A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0)4.若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A.k≥54 B.k>54 C.k>54且5.若關(guān)于x的方程x2-kx-3=0的一個(gè)根是x=3，則k的值是(

)A.-2 B.2 C.-12 6.關(guān)于x的方程|x2-2x-3|=a有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a=0 B.a=0或a=4 C.a>4 D.a=0或a>47.在手拉手學(xué)校聯(lián)誼活動(dòng)中，參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)都要給其他同學(xué)發(fā)一條勵(lì)志短信，總共發(fā)了110條，設(shè)參加活動(dòng)的同學(xué)有x個(gè)，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是(

)A.12x(x+1)=110 B.12x(x-1)=110 C.8.已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0A.無實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c，若ab<0，a-b2>0，點(diǎn)A(x1,yA.y1=-y2 B.y1>y2

10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列4個(gè)結(jié)論：

①abc<0；②b>a+c；③2a-b=0；④b2-4ac<0A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.方程(x+4)(x-5)=0的根為______．12.若二次函數(shù)y=x2-2x+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,y1)，(3,y2)，則y1______13.二次函數(shù)y1=ax2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y2=kx+b的圖象如圖所示，當(dāng)y2>y

14.如圖，拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))依次為A1，A2，A3，…An，將拋物線y=x2沿直線l；y=x向上平移，得到一系列拋物線，且滿足條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn都在直線y=x上；②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1

15.若關(guān)于x的方程|x2-2x-8|=m有三個(gè)解，則實(shí)數(shù)m三、解答題：本題共9小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題6分)

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，且經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)，求該函數(shù)的解析式．17.(本小題6分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-4=0

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

(2)若方程有一根為318.(本小題7分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

(2)是否存在實(shí)數(shù)k19.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B

的左側(cè))．

(1)若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，AB=4.求拋物線的表達(dá)式；

(2)平移(1)中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，且與x軸正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P20.(本小題8分)

世界杯是世界上級(jí)別最高的足球賽事，2022年世界杯在卡塔爾隆重舉行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的設(shè)計(jì)靈感來于阿拉伯標(biāo)志型的白頭巾，某網(wǎng)店現(xiàn)售有一大一小兩種型號(hào)的“拉伊卜”擺件，已知每個(gè)大擺件的售價(jià)是每個(gè)小擺件售價(jià)的2倍還多60元，420元可購買一個(gè)大擺件和一個(gè)小擺件．

(1)每個(gè)“拉伊卜”大擺件和小擺件的售價(jià)分別是多少？

(2)第一天該網(wǎng)店按照原售價(jià)賣出大擺件30個(gè)，小擺件100個(gè)，因?yàn)樾[件庫存量大，第二天商家調(diào)整了銷售方案，大擺件的價(jià)格不變，小擺件的價(jià)格下調(diào)2m元，調(diào)整后，當(dāng)天大擺件的銷量下降了12m個(gè)，小擺件的銷量增加了52m個(gè)，當(dāng)天的銷售額達(dá)到了21.(本小題8分)

某蔬菜經(jīng)銷商去蔬菜生產(chǎn)基地批發(fā)某種蔬菜，已知這種蔬菜的批發(fā)量在20千克～60千克之間(含20千克和60千克)時(shí)，每千克批發(fā)價(jià)是5元；若超過60千克時(shí)，批發(fā)的這種蔬菜全部打八折，但批發(fā)總金額不得少于300元．

(1)經(jīng)調(diào)查，該蔬菜經(jīng)銷商銷售該種蔬菜的日銷售量y(千克)與零售價(jià)x(元/千克)是一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若該蔬菜經(jīng)銷商每日銷售此種蔬菜不低于75千克，且當(dāng)日零售價(jià)不變，那么零售價(jià)定為多少時(shí)，該經(jīng)銷商銷售此種蔬菜的當(dāng)日利潤最大？最大利潤為多少元？22.(本小題10分)

如圖，四邊形ABCD是一塊邊長為6米的正方形花圃，現(xiàn)將它改造為矩形AEFG的形狀，其中點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)G在AD的延長線上，DG=3BE，設(shè)BE的長為x米，改造后花圃AEFG的面積為y平方米．

(1)當(dāng)改造后花圃AEFG的面積與原正方形ABCD花圃的面積相等時(shí)，求BE的長；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，改造后的花圃AEFG的面積最大？并求出最大面積．23.(本小題11分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A(-1,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖(甲)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以E，B，C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖(乙)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PBC24.(本小題12分)

如圖1，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-1)，且tan∠OAC=12．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AC下方對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ/?/x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PR⊥x軸交AC于點(diǎn)R，若PQ+PR=32，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=x2+bx+c向右平移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位得到新拋物線，在新拋物線上有點(diǎn)M，在原拋物線對(duì)稱軸上有點(diǎn)N，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，C，M，N答案和解析1.C

解：一元二次方程4x2+x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別是1、-3．

故選：C．

解：(x+1)2=3(1+x)，

(x+1)2-3(1+x)=0，

3.B

解：x=0時(shí)，y=-1，

所以，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)．

故選：B．4.D

解：由題意得：Δ=b2-4ac=1-4(k-1)≥0，且k-1≠0，

解得：k≤54且k≠1；

故選：D解：當(dāng)x=3時(shí)，9-3k-3=0，

解得k=2，

故選：B．

6.D

解：由原方程，得|(x-1)2-4|=a，

∴該函數(shù)圖象為：

根據(jù)圖示知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=0或a>4．

故選：D．

7.解：由題意可得，

x(x-1)=110，

故選：D．

8.C

解：∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)是-3，

∵方程ax2+bx+c+2=0，

∴ax2+bx+c=-2時(shí)，即是y=-2求x解：∵a-b2>0，b2≥0，

∴a>0．

又∵ab<0，

∴b<0，

∵x1<x2，x1+x2=0，

∴x2=-x1，x1<0．

∵點(diǎn)A(x解：∵拋物線開口向下，

∴a<0，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c>0，

由于拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1，則b=-2a>0；則2a+b>0，abc<0；

∴①正確，

∴③錯(cuò)誤；

∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

∴△=b2-4ac>0，所以④錯(cuò)誤；

∵x=-1時(shí)，y<0，

∴a-b+c<0，所以②正確．

故選：B．解：∵(x+4)(x-5)=0，

∴x+4=0或x-5=0，

∴x1=-4，x2=5，

故答案為：x1=-4解：∵二次函數(shù)y=x2-2x+k，

∴開口向上，對(duì)稱軸為直線x=--22×1=1，

∴點(diǎn)(-1,y1)，(3,y2解：當(dāng)y2>y1時(shí)，即一次函數(shù)y2=kx+b的圖象在二次函數(shù)y1=ax2+bx+c的圖象的上面，

可得解：∵拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))依次為A1，A2，A3，…，An，…，

∴點(diǎn)An的坐標(biāo)為(n,n2).

設(shè)點(diǎn)Mn的坐標(biāo)為(a,a)，則以點(diǎn)Mn為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=(x-a)2+a，

∵點(diǎn)An(n,n2)在拋物線y=(x-a)2+a上，

∴n2解法一：當(dāng)m<0時(shí)，|x2-2x-8|=m沒有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)m≥0時(shí)，|x2-2x-8|=m，即x2-2x-8=m或x2-2x-8=-m，

∵關(guān)于x的方程|x2-2x-8|=m有三個(gè)解，

∴方程x2-2x-8=m和x2-2x-8=-m之中必有一個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

①當(dāng)方程x2-2x-8=m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，

∴方程x2-2x-8-m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

判別式Δ=(-2)2-4×1×(-8-m)=0，

解得：m=-9，不合題意，舍去；

②當(dāng)方程x2-2x-8=-m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，

∴方程x2-2x-8+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

判別式Δ=(-2)2-4××(-8+m)=0，

解得：m=9，

當(dāng)m=9時(shí)，x2-2x-8=9或x2-2x-8=-9，

由x2-2x-8=9解得：x1=1+3√2，x2=1-3√2，

由x2-2x-8=-9解得x1=x2=1．

綜上所述：若關(guān)于x的方程|x2-2x-8|=m有三個(gè)解，則實(shí)數(shù)m的值是9．

故答案為：9．

解法二：設(shè)y1=|x2-2x-8|，y2=m，

畫出函數(shù)y1=|x2-2x-8|的圖象，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,9)，如圖，

∵關(guān)于x的方程|x217.解：(1)依題意得：△=(2m+1)2-4(m2-4)=0，

解得：m=-174，

即當(dāng)m=-174時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

18.解：(1)根據(jù)題意得△=(2k+1)2-4(k2+2k)≥0，

解得k≤14；

(2)根據(jù)題意得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，

∵x1x219.解：(1)∵拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-3對(duì)稱，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且AB=4，

∴A(-5,0)，B(-1,0)，

把A(-5,0)、B(-1,0)代入y=-x2+mx+n，

得-25-5m+n=0-1-m+n=0，

解得m=-6n=-5，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2-6x-5．

(2)根據(jù)題意，平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=-x2+bx，

當(dāng)y=0時(shí)，由-x2+bx=0得x1=0，x2=b，

∴C(b,0)，

∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12b，

當(dāng)x=12b時(shí)，y=-(12b)2+1220.解：(1)設(shè)每個(gè)“拉伊卜”大擺件的售價(jià)是x元，小擺件的售價(jià)是y元，

根據(jù)題意得：x-2y=60x+y=420，

解得：x=300y=120．

答：每個(gè)“拉伊卜”大擺件的售價(jià)是300元，小擺件的售價(jià)是120元；

(2)根據(jù)題意得：300×(30-12m)+(120-2m)×(100+52m)=20520，

整理得：m2+10m-96=0，

解得：m1=621.解：(1)設(shè)該一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0)，把點(diǎn)(5,90)，(6,60)代入，得

5k+b=906k+b=60，

解得k=-30b=240．

故該一次函數(shù)解析式為：y=-30x+240；

(2)設(shè)當(dāng)日可獲利潤w(元)，日零售價(jià)為x元，由(1)知，

w=(-30x+240)(x-5×0.8)=-30(x-6)2+120，-30x+240≥75，即x≤5.5，

當(dāng)22.(1)解：根據(jù)題意得：

(6-x)(6+3x)=62，

整理得：x(x-4)=0，

解得x1=0(不合題意，舍去)，x2=4．

則BE=4(米)．

(2)根據(jù)題意得：

y=(6-x)(6+3x)，

=-3(x-2)2+48．

∵0<x≤6，-3<0，

23.解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)，

則-4a=-4，

解得：a=1，

則拋物線的表達(dá)式為：y=x2-3x-4；

(2)存在，理由：

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0,-4)，

設(shè)點(diǎn)E(x,0)，

則BC2=32，BE2=(x-4)2，CE2=x2+16，

當(dāng)BC是斜邊時(shí)，

則32=(x-4)2+x2+16，

解得：x=0或4，

即點(diǎn)E(0,0)或(4,0)；

當(dāng)BE或CE為斜邊時(shí)，

同理可得：(x-4)2=x2+16+32或32+(x-4)2=x2+16，

解得：x=4或-4，

即點(diǎn)E(4,0)(舍去)或(-4,0)；

綜上，點(diǎn)E(0,0)或(-4,0)；

(3)過點(diǎn)24.解：(1)∵C(0,-1)，

∴OC=1，

在Rt△AOC中，tan∠OAC=OCOA=12，

∴OA=2，即A(-2,0)，

把A(-2,0)，C(0,-1)代入y=x2+bx+c得：

4-2b+c=0c=-1，

解得b=32c=-1，

∴拋物線的解析式為y=x2