2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)距離之和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．假如我們把上述橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡還存在嗎？假如存在，點(diǎn)的軌跡又是什么呢？它的方程又是怎樣的呢？新知導(dǎo)學(xué)1．雙曲線的定義(1)在平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2距離之__差__的肯定值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的__焦點(diǎn)__，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的__(2)定義中為何強(qiáng)調(diào)“肯定值”和“0<2a<|F1F①在雙曲線的定義中，條件0<2a<|F1F2|不應(yīng)忽視，若2a＝|F1F2|，則動點(diǎn)的軌跡是__兩條射線__；若2a>|F②雙曲線定義中應(yīng)留意關(guān)鍵詞“__肯定值__”，若去掉定義中“__肯定值__”三個字，動點(diǎn)軌跡只能是__雙曲線的一支__.2．雙曲線方程焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)__，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)__.其中在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系為__a2＋b2＝c2__.3．橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分和聯(lián)系橢圓雙曲線定義|MF1|＋|MF2|＝2定義|MF1|－|MF2|＝±2因為a>c>0，所以令a2－c2＝b2(b>0)因為0<a<c，所以令c2－a2＝b2(b>0)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0，a不肯定大于b)預(yù)習(xí)自測1．雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(B)A．(0，±2) B．(±2,0)C．(0，±eq\r(2)) D．(±eq\r(2)，0)2．已知兩定點(diǎn)F1(－3,0)、F2(3,0)，在滿意下列條件的平面內(nèi)動點(diǎn)P的軌跡中，是雙曲線的是(A)A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故動點(diǎn)p的軌跡是雙曲線；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴動點(diǎn)P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線(含端點(diǎn))；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴動點(diǎn)P的軌跡不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，動點(diǎn)P的軌跡是線段3．雙曲線eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為(D)A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)[解析]c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，焦距2c＝4eq\r(3).4．(2024－2024學(xué)年遼寧葫蘆島協(xié)作校考試)若方程eq\f(x2,m＋3)＋eq\f(y2,4－m)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍是__(4，＋∞)__.[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0,4－m＜0))，解得m＞4.故答案為(4，＋∞)．5．P是雙曲線x2－y2＝16的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn)，則|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析]雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1，∴a＝4，∴||PF1|－|PF2||＝2a又∵P在左支上，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，∴|PF1|－|PF2|＝－8.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?雙曲線的定義典例1已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．[思路分析]利用兩圓內(nèi)、外切的充要條件找出M點(diǎn)所滿意的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解．[規(guī)范解答]設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知|MC1|＝r＋eq\r(2)，|MC2|＝r－eq\r(2)，∴|MC1|－|MC2|＝2eq\r(2).又C1(－4,0)、C2(4,0)，∴|C1C2∴2eq\r(2)<|C1C2|.依據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．∵a＝eq\r(2)，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴點(diǎn)M的軌跡方程是eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))．『規(guī)律總結(jié)』1.用定義法求雙曲線方程，應(yīng)依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線．2．與雙曲線兩焦點(diǎn)有關(guān)的問題常利用定義求解．3．假如題設(shè)條件涉及動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(浙江麗水市2024－2024學(xué)年高二質(zhì)監(jiān))雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)在P雙曲線上，若|PF1|＝5，則|PF2|＝(B)A．1 B．9C．1或9 D．7[解析]雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝eq\r(4＋12)＝4，點(diǎn)在P雙曲線的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝6，點(diǎn)在P雙曲線的左支上，可得|PF1|≥c－a＝2，由|PF1|＝5可得P在雙曲線的左支上，可得|PF2|－|PF1|＝2a即有|PF2|＝5＋4＝9.故選B．命題方向?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例2若θ為三角形的一個內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則曲線x2sinθ＋y2cosθ＝1是(A)A．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓[規(guī)范解答]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴sinθcosθ＝－eq\f(12,25)<0，又θ為三角形的一個內(nèi)角，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinθ>0，cosθ<0，故選A．┃┃跟蹤練習(xí)2__■已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(A)A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))[解析]由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n命題方向?待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例3求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－5,0)、(5,0)，雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的肯定值等于8；(2)焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)P(4，－2)和點(diǎn)Q(2eq\r(6)，2eq\r(2))．[思路分析](1)依據(jù)雙曲線的定義干脆由條件求出a、c，再求b.(2)∵焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組求出a2、b2，也可以干脆設(shè)方程Ax2＋By2＝1(A>0，B<0)．[規(guī)范解答](1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∵焦點(diǎn)在x軸上，∴所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16m＋4n＝1,24m＋8n＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8),n＝－\f(1,4)))，∴雙曲線方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.『規(guī)律總結(jié)』利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下：(1)定位置：依據(jù)條件判定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，不能確定時應(yīng)分類探討；(2)設(shè)方程：依據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)不定時，亦可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)尋關(guān)系：依據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b(或m、n)的方程組；(4)得方程：解方程組，將a、b、c(或m、n)的值代入所設(shè)方程即為所求．┃┃跟蹤練習(xí)3__■依據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)；(2)過點(diǎn)P(3，eq\f(15,4))，Q(－eq\f(16,3)，5)且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．[解析](1)因為焦點(diǎn)相同，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c2＝a2＋b2＝16＋4＝20，利用待定系數(shù)法求解，或設(shè)出統(tǒng)一方程求解．(2)已知雙曲線經(jīng)過兩個已知點(diǎn)，因焦點(diǎn)位置不確定，需分類探討求解，或設(shè)出一般方程求解．(1)解法一：∵焦點(diǎn)相同，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.解法二：設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵雙曲線過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(2)解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))此方程無解．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.解法二：設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，mn<0.∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9.))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.命題方向?焦點(diǎn)三角形問題典例4設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1、F2是其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上．(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積；(2)若∠F1PF2＝60°時，△F1PF2的面積是多少？若∠F1PF2＝120°時，△F1PF2的面積又是多少？[思路分析]由于三角形面積S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ，所以只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考慮用雙曲線定義及余弦定理求出|PF1|·|PF2|.[規(guī)范解答](1)由雙曲線方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r(13)，設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，如圖所示．由雙曲線定義，有r1－r2＝2a兩邊平方得req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2＝4×(eq\r(13))2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2＝9.(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝2eq\r(13)，∴r1r2＝36.于是S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2sin60°＝eq\f(1,2)×36×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).同理可求得若∠F1PF2＝120°時，S△F1PF2＝3eq\r(3).『規(guī)律總結(jié)』雙曲線中的焦點(diǎn)三角形雙曲線上的點(diǎn)P與其兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝(1)定義：|r1－r2|＝2a(2)余弦公式：4c2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cosθ(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2┃┃跟蹤練習(xí)4__■設(shè)P為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為__9eq\r(3)__.[解析]由雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1知：a＝4，b＝3，故c＝eq\r(16＋9)＝5，所以|F1F2|＝2c＝10.又由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝8，兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝64，①在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100，②①－②，得|PF1||PF2|＝36，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×36×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).故填9eq\r(3).命題方向?雙曲線的實際應(yīng)用典例5相距2000m的兩個哨所A、B，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲．已知當(dāng)時的聲速是330m/s，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所聽到時間遲4s，試推斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．[思路分析]爆炸點(diǎn)與哨所A、B的“距離差”等于聲速乘以兩哨所聽到爆炸聲的“時間差”，且爆炸點(diǎn)距B哨所較近．[規(guī)范解答]設(shè)爆炸點(diǎn)為P，由已知可得|PA|－|PB|＝330×4＝1320>0.因為|AB|＝2000>1320，所以點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近B處的那一支上．建立如圖平面直角坐標(biāo)系，使A、B兩點(diǎn)在x軸上，線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．由2a＝1320,2a＝660，c＝1000，b2＝c2－a2＝564400.因此，點(diǎn)P所在曲線的方程是eq\f(x2,435600)－eq\f(y2,564400)＝1(x>0)．『規(guī)律總結(jié)』解答實際應(yīng)用問題時，要留意先將實際問題數(shù)學(xué)化，條件中有兩定點(diǎn)，某點(diǎn)與這兩定點(diǎn)的距離存在某種聯(lián)系，解題時先畫出圖形，分析其關(guān)系，看是否與橢圓、雙曲線的定義有關(guān)，再確定解題思路、步驟．┃┃跟蹤練習(xí)5__■A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P為敵炮陣地，某時刻A處發(fā)覺敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此經(jīng)過4s后，B、C才同時發(fā)覺這一信號，此信號的傳播速度為1km/s，A若炮擊P地，則炮擊的方向角是__北__(南、北)偏__東__(東、西)__30__度．[解析]如圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2eq\r(3))．因為|PB|＝|PC|，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．因為kBC＝－eq\r(3)，BC中點(diǎn)D(－4，eq\r(3))，所以直線PD：y－eq\r(3)＝eq\f(1,\r(3))(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上．設(shè)P(x，y)，則雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥0)②聯(lián)立①、②式，得x＝8，y＝5eq\r(3)，所以P(8,5eq\r(3))．因此kPA＝eq\f(5\r(3),8－3)＝eq\r(3).故炮擊的方向角為北偏東30°.故答案為：北；東；30.學(xué)科核心素養(yǎng)雙曲線的其他形式(1)雙曲線的一般方程：當(dāng)ABC≠0時，方程Ax2＋By2＝C可以變形為eq\f(x2,\f(C,A))＋eq\f(y2,\f(C,B))＝1，由此可以看出方程Ax2＋By2＝C表示雙曲線的充要條件是ABC≠0，且A，B異號．此時稱方程Ax2＋By2＝C為雙曲線的一般方程．利用一般方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，可以將其設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB<0)，將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即eq\f(x2,\f(1,A))＋eq\f(y2,\f(1,B))＝1.因此，當(dāng)A>0時，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)B>0時，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(2)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程：與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)；與雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)．典例6下列各選項中，與eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線是(C)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,14)＝1 B．eq\f(y2,24)－eq\f(x2,12)＝1C．eq\f(x2,10)－eq\f(y2,26)＝1 D．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,26)＝1[規(guī)范解答]方法一：因為所求曲線為雙曲線，所以可解除選項A，D；又雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，所以解除選項B．方法二：與eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1共焦