2024秋高中數學第一章計數原理1.2排列與組合1.2.1第1課時排列與排列數公式達標練習含解析新人教A版選修2-3

PAGE4-第一章計數原理1.2排列與組合1.2.1排列第1課時排列與排列數公式A級基礎鞏固一、選擇題1．從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個元素：①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？上面四個問題屬于排列問題的是()A．①②③④B．②④C．②③D．①④解析：因為加法滿意交換律，所以①不是排列問題；除法不滿意交換律，如eq\f(5,3)≠eq\f(3,5)，所以②是排列問題．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小肯定；在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中不管a>b還是a<b，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線．故③不是排列問題，④是排列問題．答案：B2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的全部排列種數為()A．6 B．4 C．8 D．10解析：先排甲，有2種方法，排乙，丙共有Aeq\o\al(2,2)種方法，所以由分步乘法原理，不同的排列為2Aeq\o\al(2,2)＝4(種)．答案：B3．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，則n的值為()A．4 B．5 C．6 D．7解析：因為Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，則(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，所以n＝5.答案：B4．若從6名志愿者中選出4名分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，則選派方案有()A．180種 B．360種C．15種 D．30種解析：由排列定義知選派方案有Aeq\o\al(4,6)＝6×5×4×3＝360(種)．答案：B5．用1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有()A．24個B．30個C．40個D．60個解析：將符合條件的偶數分為兩類：一類是2作個位數，共有Aeq\o\al(2,4)個，另一類是4作個位數，也有Aeq\o\al(2,4)個．因此符合條件的偶數共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(個)．答案：A二、填空題6．計算eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝________．解析：Aeq\o\al(6,7)＝7×6Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6Aeq\o\al(4,5)，所以eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.答案：367．現有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質的4塊地上，有________種不同的種法(用數字作答)．解析：將4塊不同土質的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質的地上，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題．所以不同的種法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(種)．答案：16808．元旦來臨之際，某寢室四位同學各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其中一位同學，但每人都必需得到一張，則不同的送法有________種．解析：將4張賀卡分別記為A，B，C，D，且按題意進行排列，用樹形圖表示為：由此可知共有9種送法．答案：9三、解答題9．解關于x的方程：eq\f(Aeq\o\al(7,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89.解：法一因為Aeq\o\al(7,x)＝(x－5)(x－6)Aeq\o\al(5,x)，所以eq\f(（x－5）（x－6）Aeq\o\al(5,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89.因為Aeq\o\al(5,x)>0，所以(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，或x＝15.法二由eq\f(Aeq\o\al(7,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89，得Aeq\o\al(7,x)＝90·Aeq\o\al(5,x)，即eq\f(x！,（x－7）！)＝90·eq\f(x！,（x－5）！).因為x！≠0，所以eq\f(1,（x－7）！)＝eq\f(90,（x－5）（x－6）·（x－7）！)，所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，或x＝15.10．用1，2，3，4，5，6，7這七個數字組成沒有重復數字的四位數．(1)能被5整除的四位數有多少個？(2)這些四位數中偶數有多少個？解：(1)能被5整除的數個位必需是5，故有Aeq\o\al(3,6)＝120(個)．(2)偶數的個位數只能是2，4，6，有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他位上有Aeq\o\al(3,6)種排法，由乘法原理知，四位數中偶數共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝360(個)．B級實力提升1．從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數是________．解析：lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，從1，3，5，7，9中任取兩個數分別記為a，b，共有Aeq\o\al(2,5)＝20種，其中l(wèi)geq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故其可得到18種結果．答案：182．從集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的系數A，B，C，所得直線經過坐標原點的有________條．解析：易知過原點的直線方程的常數項為0，則C＝0，再從集合中任取兩個非零元素作為系數A，B，有Aeq\o\al(2,6)種．所以符合條件的直線有Aeq\o\al(2,6)＝30(條)．答案：303．編號為1，2，3，4的四位同學，參與4×100米的接力賽，有多少種不同的支配方法？列出全部排列．解：支配4×100米的接力賽，可以分四步來完成；第一步支配跑第一棒的運動員，有4種方法；其次步支配跑其次棒的運動員，有3種方法；第三步支配跑第三棒的運動員，有2種方法；第四步支配跑第四棒的運動員，有1種方法．依據分步乘法計數原理，共有4×3×2×1＝24種不同的支配方法．如圖所示，我們可以用樹形圖寫出全部的支配方法．上述每一個支配可以