九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專項(xiàng)突破07相似三角形中的“A”字模型（4種題型）（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破07相似三角形中的“A”字模型（4種題型）【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】題型一：直接利用“A”字模型解題例1.如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點(diǎn)，CE與AD相交于點(diǎn)F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝．【分析】利用A字模型相似三角形進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB∴13∴AF＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋?靜安區(qū)期末）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AD＝4，∠ADE＝∠C時(shí)，＝．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．題型二：添加輔助線構(gòu)造“A”字模型解題例3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，點(diǎn)D在邊AC上，CD：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E在線段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝【分析】根據(jù)已知∠BCE＝∠A，想到構(gòu)造這兩個(gè)角所在的三角形相似，所以過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，可得△ABC∽△CEF，進(jìn)而可得CF＝2EF，然后設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，最后再證明A字模型相似△BFE∽△BCD，從而解答即可．【解答】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB=25∴AC=A∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴ACBC∴設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴BFBC∴2?2a2∴a=1∴EF=12，∴CE=E故答案為：52【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握A字模型相似是解題的關(guān)鍵．例4．如圖，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．【答案】．【解析】點(diǎn)作交于點(diǎn)． ，；，，，，，，的值為．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型．例5．如圖，在中，點(diǎn)D在線段BC上，，，AD=2，BD=2DC，求AC的長．【答案】．【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)． ，； 又， ，， ． ，． 又，．．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)．題型三：“AX”字型解題例6.如圖，中，，，，，，求的長．【答案】．【解析】，，即，求得：．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．例7.如圖，在梯形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在上， 且，已知，．求的長．【答案】2．【解析】由，可得：，故，由，，求得．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．題型四：雙A字模型例8.如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AC和BD相交于點(diǎn)E，EFBD， 垂足為F．求證：．AABCDEF【解析】ABBD，CDBD，EFBD， ， ，即．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)的應(yīng)用．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．（2020秋?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知D、E分別是△ABC的AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，且S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2【分析】由題可知：△ADE∽△ABC，相似比為AE：AC，由S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，∵S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是理解相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．（2021秋?岳西縣期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，過D作BC的平行線交AC于M，若BC＝3，AC＝2，則DM＝（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△DMC是等腰三角形，從而可得MD＝MC，然后再證明A字模型相似三角形△ADM∽△ABC，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵DM∥CB，∴∠MDC＝∠DCB，∴∠MDC＝∠ACD，∴MD＝MC，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，∴△ADM∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DM＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?蕭縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，sinA＝，則BD的長度為（）A． B． C． D．4【分析】在△ABC中，由銳角三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由銳角三角函數(shù)求得BD．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，∴cosA＝＝，∴cosA＝＝，∴AB＝5，∴BC＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是解直角三角形．4．（2021秋?亳州期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，連接DE，下列條件不能使得△ABC與△ADE相似的是（）A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C．＝ D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【解答】解：A、∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故A不符合題意；B、∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，故B不符合題意；C、∵＝，∠AED≠∠ABC，∴△ABC與△ADE不相似，故C符合題意；D、∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?全椒縣期末）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成影子AC，已知路燈高PO＝5m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，點(diǎn)C、A、P在同一水平線上，則樹的高度AB長是（）A．3m B．2m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO．∴＝．∴＝．∴AB＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用．測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．6．（2019秋?桐城市期末）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝2，CD＝3，那么EF的長是（）A． B．1 C． D．【分析】易證△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，＝，從而可得+＝+＝1．然后把AB＝2，CD＝3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，∴+＝+＝1．∵AB＝2，CD＝3，∴+＝1，∴EF＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)+＝1是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022?蕭縣校級(jí)開學(xué)）如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，①∠BAC＝90°，則必有∠APC＝90°；②若AB＝AC．則必有PB2＝PA?PC，對(duì)于這兩個(gè)結(jié)論，下列說法正確的是（）A．①對(duì)，②錯(cuò) B．①錯(cuò)，②對(duì) C．①，②均對(duì) D．①，②均錯(cuò)【分析】①首先由∠BAC＝90°得到∠PAC+∠PAB＝90°，然后利用∠PAB＝∠PCA＝α即可證明；②首先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，即∠PBA+∠PBC＝∠PCB+∠PCA，再利用∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α可以得到∠PBA＝∠PCB，最后證明△ABP∽△BCP即可求證明．【解答】解：①當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，∠PAC+∠PAB＝90°，∵∠PAB＝∠PCA＝α，∴∠PAC+∠PCA＝90°，∴∠APC＝90°，∴①正確；②當(dāng)AB＝AC時(shí)，則∠ABC＝∠ACB，即∠PBA+∠PBC＝∠PCB+∠PCA，∵∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，∴∠PBA＝∠PCB，∵∠APB＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB，∠BPC＝∠180°﹣∠PCB﹣∠PBC，∴∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，∴PB2＝PA?PC．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同時(shí)也利用等腰三角形的性質(zhì)，能力要求比較高．二．填空題（共3小題）8．（2022秋?蒙城縣月考）如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝7.5m．【分析】根據(jù)題意證△DEF∽△DCB，根據(jù)線段比例關(guān)系求出BC即可求出AB的長．【解答】解：∵∠EDF＝∠CDB，∠BCD＝∠FED＝90°，∴，∵DE＝8cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝6（cm），∵DE＝8cm＝0.08m，EF＝6cm＝0.06m，∴，∴BC＝6m，AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（m），故答案為：7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，并根據(jù)比例關(guān)系求值是解題的關(guān)鍵．9．（2023?亳州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是邊AB上的一點(diǎn)，MN是線段CP的垂直平分線且分別交AC、BC于點(diǎn)M、N．（1）若MN∥AB，則MN＝2.5；（2）若MN經(jīng)過Rt△ABC的某一頂點(diǎn)，則MN＝或．【分析】（1）設(shè)MN與CP相交于點(diǎn)E，先利用勾股定理求出AB，然后再利用A字模型相似三角形證明△CMN∽△CAB，即可得＝＝，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）分兩種情況：當(dāng)MN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，當(dāng)MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，畫出圖形然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）如圖：設(shè)MN與CP相交于點(diǎn)E，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵M(jìn)N是線段CP的垂直平分線，∴CP⊥MN，CE＝PE＝CP，∵M(jìn)N∥AB，∴CP⊥AB，∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，∴△CMN∽△CAB，∴＝＝，∴MN＝AB＝2.5，故答案為：2.5；（2）分兩種情況：當(dāng)MN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，連接PN，∵M(jìn)N是線段CP的垂直平分線，∴AC＝AP＝3，NC＝NP，∵AN＝AN，∴△ACN≌△APN（SSS），∴∠ACB＝∠APN＝90°，∴∠NPB＝180°﹣∠APN＝90°，∴∠ACB＝∠NPB＝90°，∵AB＝5，AP＝3，∴BP＝AB﹣AP＝5﹣3＝2，∵∠B＝∠B，∴△BPN∽△BCA，∴＝，∴＝，∴NP＝，∴MN＝AN＝＝＝，當(dāng)MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，連接PM，∵M(jìn)N是線段CP的垂直平分線，∴BC＝BP＝4，MC＝MP，∵BM＝BM，∴△MCN≌△MPN（SSS），∴∠ACB＝∠MPN＝90°，∴∠APM＝180°﹣∠MPN＝90°，∴∠ACB＝∠APM＝90°，∵AB＝5，BP＝4，∴AP＝AB﹣BP＝5﹣4＝1，∵∠A＝∠A，∴△APM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PM＝，∴MN＝BM＝＝＝，綜上所述：MN的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021春?安慶期中）有一張矩形紙片ABCD，AD＝9，AB＝12，將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，那么折痕長是．【分析】首先由勾股定理求出AC的長，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，折線與AB交于F．然后求證△AEF∽△ABC求出EF的長．【解答】解：如圖，由勾股定理易得AC＝15，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，折線FG與AB交于F，（折線垂直平分對(duì)角線AC），AE＝7.5．∵∠AEF＝∠B＝90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．∴EF＝．∴折線長＝2EF＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似，全等等知識(shí)點(diǎn)．三．解答題（共5小題）11．（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的長．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，列出比例式代入數(shù)值，即可求出DE的長．【解答】解：如圖，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝10，∴BC的長為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，明確相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD長及四邊形BDEF的周長．【分析】證△ADE∽△ABC，根據(jù)線段比例關(guān)系求AD，DE，然后根據(jù)四邊形BDEF是平行四邊形求周長即可．【解答】解：∵AE＝2CE，∴AC＝AE+CE＝2CE+CE＝3CE，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴AD＝AB，DE＝BC，∵AB＝12，BC＝15，∴AD＝8，DE＝10，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∵EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴四邊形BDEF的周長是：2（DE+BD）＝2×（10+4）＝28，即AD的長為8，四邊形BDEF的周長是28．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2019秋?淮北期中）如圖，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求證：AD2＝BG?DH；（2）求證：CE＝DG；（3）求證：EF＝HG．【分析】（1）證明∠BAG＝∠AHD，∠ABD＝∠ADB＝45°，得到△ABG∽△HDA，可得＝，即可得出結(jié)論；（2）連接AC，根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)得到∠EAF＝45°，得到∠ACE＝∠ADN＝∠CAD＝45°，AC＝AD，繼而可得∠EAC＝∠NAD，得到△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；（3）根據(jù)兩邊的比相等，且夾角相等證明△GAH∽△EAF，得＝，證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD，∵∠EAF＝45°，∴∠BAG＝45°+∠BAH，∠AHD＝45°+∠BAH，∴∠BAG＝∠AHD，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴△ABG∽△HDA，∴＝，∴BG?DH＝AB?AD＝AD2；（2）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ADB＝∠CAD＝45°，∴AC＝AD，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAF﹣∠CAF＝∠CAD﹣∠CAF，即∠EAC＝∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴＝＝，∴CE＝DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，∴＝＝，同理得：△AFC∽△AHB，∴＝＝，∴＝，∵∠GAH＝∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴＝＝，∴EF＝GH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和平行兩個(gè)條件可得中點(diǎn)，從而可得DE是△ABC的中位線，進(jìn)而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進(jìn)而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個(gè)式子相加進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE∥CA，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DF∥AB，∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考