初中九年級(jí)數(shù)學(xué)聽課筆記

初中九年級(jí)數(shù)學(xué)聽課筆記一、一元二次方程。1.定義。-一般形式：ax^2+bx+c=0(a≠0)。-例如：x^2+2x-3=0，這里a=1，b=2，c=-3。-強(qiáng)調(diào)a≠0，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程就變成了一元一次方程bx+c=0。2.解法。-直接開平方法。-對于方程x^2=k（k≥slant0），解得x=±√(k)。-例如，方程(x-2)^2=9，則x-2=±3，即x=2±3，所以x=5或x=-1。-配方法。-步驟：-把方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，得ax^2+bx=-c。-二次項(xiàng)系數(shù)化為1，即x^2+(b)/(a)x=-(c)/(a)。-在等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。-左邊寫成完全平方式(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后開平方求解。-例如，解方程x^2+4x-1=0。-移項(xiàng)得x^2+4x=1。-配方：x^2+4x+4=1+4，即(x+2)^2=5。-解得x=-2±√(5)。-公式法。-對于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)，其求根公式為x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。-判別式Δ=b^2-4ac：-當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。-當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。-當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。-例如，方程2x^2-3x-2=0，這里a=2，b=-3，c=-2，Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9+16=25>0，則x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x=2或x=-(1)/(2)。-因式分解法。-將方程化為一邊是兩個(gè)一次因式乘積，另一邊為0的形式，即(mx+n)(px+q)=0，則mx+n=0或px+q=0。-例如，方程x^2-3x+2=0，因式分解得(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2。二、二次函數(shù)。1.定義。-一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)。-例如y=2x^2+3x-1，這里a=2，b=3，c=-1。2.圖象與性質(zhì)。-圖象。-二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線。-當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。-對稱軸。-對稱軸公式為x=-(b)/(2a)。-頂點(diǎn)坐標(biāo)。-頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-(b)/(2a),frac{4ac-b^2}{4a})。-最值。-當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有最小值y=frac{4ac-b^2}{4a}，在x=-(b)/(2a)處取得。-當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)有最大值y=frac{4ac-b^2}{4a}，在x=-(b)/(2a)處取得。-平移規(guī)律。-y=a(x-h)^2+k（a≠0）的圖象是由y=ax^2的圖象平移得到的。-向左（右）平移m個(gè)單位：y=a(x±m(xù))^2。-向上（下）平移n個(gè)單位：y=ax^2±n。三、旋轉(zhuǎn)。1.定義。-在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。2.性質(zhì)。-對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。-對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。-旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。3.中心對稱。-定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。-性質(zhì)：-中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分。-中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。四、圓。1.圓的有關(guān)概念。-圓：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。-弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。-直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。-?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。-半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。-優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。-劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。2.圓的性質(zhì)。-圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。-圓也是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。-在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等。3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。-設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d。-當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外。-當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上。-當(dāng)d時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。4.直線與圓的位置關(guān)系。-設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d。-當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離。-當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切。-當(dāng)d時(shí)，直線與圓相交。5.切線的性質(zhì)與判定。-性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。-判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。6.圓與圓的位置關(guān)系。-設(shè)兩圓的半徑分別為R