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文檔簡介
離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform,簡稱DFT)是數(shù)字信號處理中非常重要的一種數(shù)學變換,本章主要討論DFT的定義、物理意義及基本性質(zhì)、頻率采樣和DFT應(yīng)用舉例。主要內(nèi)容包括:?周期序列的離散傅里葉級數(shù)定義及其性質(zhì)?有限長度序列的離散傅里葉變換推導(dǎo)?離散傅里葉變換的基本性質(zhì)?頻率域采樣理論?離散傅里葉變換的基本應(yīng)用
第3章離散傅里葉變換2025/1/2423.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例2025/1/2433.1離散傅里葉變換定義
3.1.1傅里葉變換的幾種可能形式 傅里葉變換就是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜函數(shù)”之間的某種變換關(guān)系。所以,當自變量“時間”或“頻率”取連續(xù)或離散值時,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。1、連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅里葉變換就是連續(xù)時間非周期信號x(t)的傅里葉變換關(guān)系,所得到的是連續(xù)的非周期的頻譜函數(shù)。2025/1/245圖3-1連續(xù)的非周期信號及其非周期、連續(xù)的頻譜密度2025/1/2462、連續(xù)時間、離散頻率——傅里葉級數(shù)
設(shè)x(t)代表一個周期為T0的周期性連續(xù)時間函數(shù),可展成傅里葉級數(shù),其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為X(jkΩ0),是離散頻率的非周期函數(shù),和X(jkΩ0)組成變換對,表示為其中Ω0=2πF=2π/T0為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔,k為諧波序號。
3-33-42025/1/247圖3-2連續(xù)的周期信號及其非周期離散譜線
這一變換對的示意圖如圖3-2所示??梢钥闯觯瑫r域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應(yīng)。2025/1/2483、離散時間、連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換
這正是第二章中討論過的序列(離散時間信號)的傅里葉變換,即3-53-6上面討論的三種傅里葉變換對都不適合在計算機上運算,因為它們至少在一個域(時域或頻域)中函數(shù)是連續(xù)的。因而從數(shù)字計算角度出發(fā),我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要研究的離散傅里葉變換。
2025/1/249離散傅立葉變換—有限長序列的離散頻域表示
離散傅里葉變換的定義設(shè)x(n)是一個長度為N的有限長序列,則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為3-313-32(3-31)和(3-32)分別是有限長序列的離散傅里葉正變換和反變換。x(n)與X(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。已知其中的一個序列,就能唯一確定另一序列。離散傅里葉變換記作DFT,IDFT為逆變換。2025/1/24103.2離散傅里葉變換的性質(zhì)3.2.1線性性質(zhì)如果和是兩個有限長序列,長度分別為N1和N2。若式中a,b為任意常數(shù),取N=max[N1,N2],則的N點DFT為3-35其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點DFT。2025/1/24113.2.2循環(huán)移位性質(zhì)
1、序列的循環(huán)移位設(shè)為x(n)有限長序列,長度為N,則的循環(huán)移位定義為3-36式(3-36)表明,將x(n)以N為周期進行周期延拓得到再將左移m位得到,最后取的主值序列,則得到有限長序列的循環(huán)移位序列y(n)。x(n)及其循環(huán)移位過程如圖3-7所示。顯然y(n)仍是長度為N有限長序列。觀察圖3-7可見,循環(huán)移位的實質(zhì)是將x(n)左移m位,而左側(cè)移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進入主值區(qū)。2025/1/2412圖3-7循環(huán)移位過程示意圖
2025/1/24132、時域循環(huán)移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限序列,y(n)為x(n)的循環(huán)移位,即則3-37其中證明:2025/1/2414令n+m=n’,則有由于上式中求和項以N為周期,所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得2025/1/24153、頻域循環(huán)移位定理如果X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)則3-38式(3-38)的證明方法與時域循環(huán)定理類似,直接對Y(k)=X((k+l))NRN(k)進行IDFT即得證。2025/1/24163.2.3循環(huán)卷積定理有限長序列x1(n)和x2(n),長度分別為N1和N2,N=max[N1,N2]。x1(n)和x2(n)的N點DFT分別為
X1(k)=DFT[x1(n)],X2(k)=DFT[x2(n)]如果X(k)=X1(k)·X2(k)則3-39或一般稱(3-39)式所表示的運算為和的循環(huán)卷積。2025/1/2417證明:直接對(3-39)式兩邊進行DFT令n-m=n’,則有2025/1/2418因為上式中以N為周期,所以對其在任一周期上的求和結(jié)果不變。因此式(3-39)的循環(huán)卷積過程如圖3-8所示。2025/1/2419圖3-8循環(huán)卷積過程示意圖2025/1/2420由于循環(huán)卷積過程中,要求對x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn),循環(huán)移位,特別是兩個N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。顯然與一般的線性卷積不同,故稱之為循環(huán)卷積,記為由于所以即循環(huán)卷積亦滿足交換率。2025/1/2421作為習題請讀者證明頻域卷積定理如果x(n)=x1(n)·x2(n)則3-40或2025/1/24223.2.4復(fù)共軛序列的DFT設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列,長度為NX(k)=DFT[x(n)]則
DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1且
X(N)=X(0)證明:根據(jù)DFT的唯一性,只要證明(3-41)式右邊等于左邊即可。3-412025/1/2423證又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0)用同樣的方法可以證明
DFT[x*(N-n)]=X*(k)3-422025/1/24243.2.5DFT的共軛對稱性
(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)由DFT的線性性質(zhì)即可得3-493-50其中X(k)的共軛對稱分量X(k)的共軛反對稱分量(2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)3-513-52其中2025/1/2425綜上所述:如果序列x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量;而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j。設(shè)x(n)是長度為N的實序列,且X(k)=DFT[x(n)],則(1)X(k)共軛對稱,即
X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(2)如果x(n)=x(N-n),則X(k)實偶對稱,即
X(k)=X(N-k)(3)如果x(n)=-x(N-n),則X(k)純虛奇對稱,即
X(k)=-X(N-k)3-533-543-552025/1/24263.3頻率域采樣設(shè)任意序列x(n)存在Z變換且X(z)的收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點得到3-56顯然,式(3-56)表示在區(qū)間[0,2π]上對x(n)的傅里葉變換X(ejω)的N點等間隔采樣。如果將X(k)看成長度為N的有限長序列xN(n)的DFT,即
xN(n)=IDFT[X(k)],0≤k≤N-12025/1/2427下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系,并導(dǎo)出頻域采樣定理。
由DFT和DFS的關(guān)系可知,X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的離散傅立葉系數(shù)的主值序列,即將式(3-56)代入上式得2025/1/2428式中
所以3-573-58式(3-58)說明X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的IDFT為原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。2025/1/2429頻域采樣定理
如果序列x(n)的長度為M,則只有當頻域采樣點數(shù)N≥M時,才有
xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)
即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列,否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采樣定理。下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)序列x(n)的長度為M,在頻域0到之間等間隔采樣N點,N≥M,則有2025/1/2430式中
將上式代入X(z)的表達式中得上式中,因此3-592025/1/2431令
則3-603-61式(3-61)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式,φk(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。當z=ejω時,(3-60)式和(3-61)式就成為x(n)的傅里葉變換變換X(ejω)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式,即2025/1/2432進一步化簡可得
在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計中,我們將會看到,頻域采樣理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和濾波器設(shè)計途徑。3-623-632025/1/24333.4DFT的應(yīng)用舉例DFT的快速算法FFT的出現(xiàn),使DFT在數(shù)字通信、語音信號處理、圖象處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而,各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù),或者以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎(chǔ)。本節(jié)主要介紹用DFT計算卷積和相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)原理以及用DFT對連續(xù)信號和序列進行譜分析等最基本的應(yīng)用。只要掌握了這兩種基本應(yīng)用的原理,就為用DFT解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎(chǔ)。2025/1/24343.4.1用DFT計算線性卷積如果且
則由時域循環(huán)卷積定理有0≤k≤L-1由此可見,循環(huán)卷積既可在時域直接計算,也可以按照圖3-10所示的計算框圖,在頻域計算。由于DFT有快速算法FFT,當N很大時,在頻域計算的速度快得多,因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。2025/1/2435圖3-10用DFT計算循環(huán)卷積
在實際應(yīng)用中,為了分析時域離散線性非時變系統(tǒng)或者對序列進行濾波處理等,需要計算兩個序列的線性卷積。和計算循環(huán)卷積一樣,為了提高運算速度,也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。而DFT只能用來計算循環(huán)卷積,為此導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積和線性卷積相等的條件。2025/1/2436假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列,長度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下:其中,L≥max[N,M],,所以3-643-652025/1/2437對照式(3-64)可以看出,上式中
即3-66式(3-66)說明,yc(n)等于yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道,yl(n)長度為N+M-1,因此只有當循環(huán)卷積長度L≥N+M-1時,yl(n)以L為周期進行周期延拓才混疊現(xiàn)象。此時取主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N+M-1。圖3-11中畫出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)和L分別取6、8、10時h(n)×x(n)的波形。由于h(n)長度N=4,x(n)長度M=4,N+M-1=8,所以只有L≥8時,h(n)×x(n)的波形才與h(n)*x(n)相同。2025/1/2438圖3-11線性卷積與循環(huán)卷積
2025/1/2439如果取L=N+M-1,則可用DFT(FFT)計算線性卷積,計算框圖如圖3-12所示。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)來實現(xiàn),故常稱其為快速卷積。
圖3-12用DFT計算線性卷積框圖
2025/1/2440實際上,經(jīng)常遇到兩個序列的長度相差很大的情況,例如M>>N時,直接套用上述方法是不行的。解決這個問題的方法是將長序列分段處理計算。這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。下面只介紹重疊相加法。設(shè)序列h(n)長度為,x(n)為無限長序列。將均勻分段,每段長度取,則式中xk(n)=x(n)·RM(n-kM)2025/1/2441于是,h(n)與x(n)的線性卷積可表示為式中
3-67式(3-67)說明,計算h(n)與x(n)的線性卷積時,可先進行分段線性卷積yk(n)=h(n)*xk(n),然后再把分段卷積結(jié)果疊加起來即可。如圖3-13所示。每一分段卷積yk(n)的長度為N+M-1,因此yk(n)與yk+1(n)有N-1個點重疊,必須把重疊部分的yk(n)與yk+1(n)相加,才能得到完整的卷積序列y(n)。2025/1/24西安建筑科技大學信于與控制學42圖3-13重疊相加法卷積示意圖
2025/1/24433.4.2用DFT對信號進行譜分析所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算,使其應(yīng)用受到限制,而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換,適合數(shù)值運算,成分分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。1.用DFT對連續(xù)信號進行譜分析工程實際中,經(jīng)常遇到的連續(xù)信號xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jΩ)也是連續(xù)函數(shù)。2025/1/2444設(shè)連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間和Tp,最高頻率為fc,如圖3-14所示。xa(t)的傅里葉變換為以間隔T≤1/2fc(即fs=1/T≥2fc)采樣xa(t)得=xa(nT)。設(shè)共采樣N點,并對Xa(jf)作零階近似(t=nT,dt=T)得顯然,Xa(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù),和如圖3-14(b)所示。對在區(qū)間等間隔采樣N點,采樣間隔為F,如圖3-14(c)所示。2025/1/2445參數(shù)fc、Tp、N和F滿足如下關(guān)系式:
由于NT=Tp,所以3-683-69將f=kF和(3-68)式代入中可得Xa(jf)的采樣令Xa(k)=,x(n)=xa(nT),則3-702025/1/2446用同樣方法,由
可以推出3-71(3-70)式說明,連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T的近似方法得到。時域采樣信號可由(3-71)式得出。對持續(xù)時間有限的帶限信號,在滿足時域采樣定理時,上述分析方法不丟失信息。2025/1/2447但直接由分析結(jié)果Xa(k)看不到Xa(jf)的全部頻譜特性,而只能看到N個離散采樣點的譜特性,這就是所謂的柵欄效應(yīng)。如果的持續(xù)時間無限長,上述分析中要進行截斷處理,所以會產(chǎn)生頻率混疊和泄露現(xiàn)象,從而使譜分析產(chǎn)生誤差。下面將討論上述問題產(chǎn)生的原因及改進措施。2025/1/2448圖3-14用DFT計算連續(xù)信號頻譜原理2025/1/2449理想低能濾波器的單位沖擊響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖3-15(a)、(b)所示。圖中現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長,故要截取一段Tp,假設(shè)Tp=8s,采樣間隔T=0.25s(即采樣頻率fs=4Hz),采樣點數(shù)N=Tp/T=32。此時頻域采樣間隔F=1/NT=0.125Hz。則
H(k)=T·DFT[h(n)],0≤k≤31其中h(n)=ha(nT)R32(n)3-712025/1/2450圖3-15用DFT計算理想低通濾波器頻響曲線2025/1/2451H(k)的曲線如圖3-15(c)所示。由圖可見,低頻部分近似理想低通頻響特性,而高頻誤差較大,且整個頻響都有波動。這些差別就是由于對ha(t)截斷所產(chǎn)生的。為減少這種截斷誤差,可適當加長Tp,增加采樣點數(shù)N或用窗函數(shù)處理后在進行DFT。有關(guān)窗函數(shù)的內(nèi)容將在FIR數(shù)字濾波器設(shè)計中詳細敘述。2025/1/2452連續(xù)信號進行譜分析對信號進行譜分析主要關(guān)心兩個問題,就是譜分析范圍和頻率分辨率。譜分析范圍受采樣速率fs的限制。為了不產(chǎn)生頻率混疊失真,通常要求信號的最高頻率fs<fs/2。頻率分辨率用采樣間隔F來描述,表示譜分析中能夠分辨的兩個頻譜分量的最小間隔。顯然F越小譜分析就越接近Ha(jf),所以F較小時,我們稱頻率分辨率較高。下面討論用DFT對連續(xù)信號譜分析的參數(shù)選擇原則。2025/1/2453信號譜分析的參數(shù)選擇原則
在已知信號最高頻率fc(即譜分析范圍)時,為了避免在DFT運算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象,要求采樣速率fs滿足下式:
fs>2fc
按照式(3-69),譜分辨率F=fs/N,如果保持采樣點數(shù)N不變,要提高譜的分辨率,必須降低采樣速率,采樣速率的降低會引起譜分析范圍減少;如維持fs不變,為提高譜的分辨率可以增加采樣點數(shù)N,因為NT=Tp,T=1/fs-1,只有增加對信號的觀察時間,才能增加N,Tp和N可按照下式選擇:3-723-733-742025/1/2454例3-1對實信號進行譜分析,要求譜分辨率F≤10Hz,信號最高頻率fc=2.5kHz,試確定最小記錄時間TPmin,最大的采樣間隔Tmax,最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變,要求譜分辨率增加一倍,最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少?解:因此TPmin=0.1s,因為要求fs≥2fc,所以2025/1/24552.用DFT對序列進行譜分析已知道單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換,即為使頻率分辨率提高一倍,F(xiàn)=5Hz,要求X(ejω)是ω的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列x(n)進行N點DFT,得到X(k),X(k)是在區(qū)間[0,2π]上對X(ejω)的N點等間隔采樣。因此序列的傅里葉變換可利用DFT(FFT)來計算。2025/1/2456對周期為N的周期序列,其頻譜函數(shù)為其中
由DFT的隱含周期性知道,截取的主值序列x(n)=RN(n),并進行N點DFT得到所以可用X(k)表示的頻譜結(jié)構(gòu)。2025/1/2457如果截取長度M等于的整數(shù)個周期,即M=mN,m為正整數(shù),則令n=n’+rN,r=0,1,...,m-1,n’=0,1,...,N-1,則2025/1/2458由此可見,XM(k)也能表示的頻譜結(jié)構(gòu),只是在k=rm時,XM(rm)=,表示的r次諧波譜線,其幅度擴大m倍,而其它k值時,XM(k)=0。當然,X(r)與XM(rm)對應(yīng)點頻率是相等的。所以,只要截取的整數(shù)個周期進行DFT,就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu),達到譜分析的目的。因為所以2025/1/2459如果的周期預(yù)先不知道,可先截取M點進行DFT,即
再將截取長度擴大一倍,截取比較XM(k)和X2M(k),如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求,則已以XM(k)或X2M(k)近似表示的頻譜,否則,繼續(xù)將截取長度加倍,直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設(shè)最后截取長度為rM,則XrM(k0)表示點的譜線強度。2025/1/2460實際應(yīng)用中,并非整個單位圓上的頻譜都很有意義。
例如,對于窄帶信號,往往只希望對信號所在的一段頻段進行譜分析,這時便希望采樣能密集地在著段頻帶內(nèi)進行,而帶外部分可完全不管。有時希望采樣點不局限于單位圓上。例如,語音信號處理中,常常需要知道系統(tǒng)極點所對應(yīng)的頻率,如果極點位置偏離單位圓較遠,則其單位圓上的頻譜就很平滑,如圖3-16(a)所示,這時很難從中識別出極點對應(yīng)的頻率。如果使采樣點軌跡接近這些極點的弧線或圓周進行,則采樣結(jié)果將會在極點對應(yīng)的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰,如圖3-16(b)所示,這樣就能準確地測定出極點頻率。2025/1/2461圖3-16單位圓與非單位圓采樣2025/1/2462對均勻分布在以原點為圓心的任何圓上的N點頻譜采樣,可用DFT(FFT)計算,而沿螺旋弧線采樣,則要用線性調(diào)頻Z變換(Chirp-Z變換,簡稱CZT)計算。例如,要求計算序列在半徑為r的圓上的頻譜,那么N個等間隔采樣點為k=0,1,2,…,N-1,zk點的頻譜分量為2025/1/2463令,則上式表明,要計算x(n)在半徑為r的圓上的等間隔頻譜分量,可以先對x(n)乘以r-n,再計算N點DFT(FFT)即可得到。若要求x(n)分布在該圓的有限角度內(nèi)N點等間隔頻譜分量,可以通過尾部補零的方法,仍按式(3-75)用DFT分析整個圓上的等間隔頻譜,最后只取所需角度內(nèi)的頻譜分量即可。顯然這種方法的計算量大,下面要介紹的Chirp-Z變換可使這種譜分析的運算量大大減少。3-752025/1
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