2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.3.2二次函數(shù)與一元二次方程不等式的應用課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE10-二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應用(15分鐘35分)1.已知集合M=QUOTE，N={x|x≤-3}，則集合{x|x≥1}等于 ()A.M∩N B.M∪NC.R(M∩N) D.R(M∪N)【解析】選D.QUOTE<0?(x+3)(x-1)<0，故集合M可化為{x|-3<x<1}，將集合M和集合N在數(shù)軸上表示出來(如圖)，易知答案為D.【補償訓練】不等式QUOTE<0的解集為 ()A.{x|-1<x<2或2<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|-1<x<3}【解析】選A.原不等式等價于解得-1<x<3，且x≠2.2.關于x的不等式QUOTE<0(其中a<-1)的解集為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪QUOTED.(-∞，-1)∪QUOTE【解析】選D.原不等式變形，得(ax-1)(x+1)<0，又因為a<-1，所以QUOTE(x+1)>0，解得x<-1或x>QUOTE，則原不等式的解集為(-∞，-1)∪QUOTE.3.若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240)，每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是 ()A.100臺 B.120臺C.150臺 D.180臺【解析】選C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0，即x2+50x-30000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去).故生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量是150臺.4.“t≥-2”是“對隨意正實數(shù)x，都有t2-t≤x+QUOTE恒成立”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由于x+QUOTE≥2，可知t2-t≤2，解得-1≤t≤2.所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分條件.5.若不等式x2-4x+3m<0的解集為空集，則實數(shù)m的取值范圍是_______.

【解析】由題意，知x2-4x+3m≥0對一切實數(shù)x恒成立，所以Δ=(-4)2-4×3m≤0，解得m≥QUOTE.答案：QUOTE6.解下列不等式.(1)QUOTE≥0.(2)QUOTE>1.【解析】(1)原不等式可化為解得QUOTE所以x<-QUOTE或x≥QUOTE，所以原不等式的解集為QUOTE.(2)方法一：原不等式可化為QUOTE或QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以-3<x<-QUOTE，所以原不等式的解集為QUOTE.方法二：原不等式可化為QUOTE>0，化簡得QUOTE>0，即QUOTE<0，所以(2x+1)(x+3)<0，解得-3<x<-QUOTE.所以原不等式的解集為QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.若不等式x2-2x+5≥a2-3a對隨意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.[-1，4]B.(-∞，-2]∪[5，+∞)C.(-∞，-1]∪[4，+∞)D.[-2，5]【解析】選A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值為4，所以x2-2x+5≥a2-3a對隨意實數(shù)x恒成立，只需a2-3a≤4，解得-1≤a≤4.【補償訓練】函數(shù)y=QUOTE對一切x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】選D.由題意知x2+mx+QUOTE≥0對一切x∈R恒成立，所以Δ=m2-2m≤0，所以0≤m≤2.2.不等式QUOTE<2的解集為 ()A.{x|x≠-2} B.RC.? D.{x|x<-2或x>2}【解析】選A.因為x2+x+1>0恒成立，所以原不等式?x2-2x-2<2x2+2x+2?x2+4x+4>0，所以(x+2)2>0，所以x≠-2.所以不等式的解集為{x|x≠-2}.3.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是 ()A.[15，20] B.[12，25]C.[10，30] D.[20，30]【解析】選C.設矩形的另一邊長為ym，則由三角形相像知，QUOTE=QUOTE，所以y=40-x.因為xy≥300，所以x(40-x)≥300，所以x2-40x+300≤0，所以10≤x≤30.【補償訓練】某地每年銷售木材約20萬m3，每m3價格為2400元.為了削減木材消耗，確定按銷售收入的t%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量削減QUOTEt萬m3.為了既削減木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是_______.

【解析】設按銷售收入的t%征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則y=2400QUOTE×t%=60(8t-t2).令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5.答案：[3，5]4.若不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1，5]上有解，則a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(1，+∞) D.QUOTE【解題指南】轉(zhuǎn)化為二次方程與二次函數(shù)問題求解.【解析】選A.由Δ=a2+8>0知方程恒有兩個不等實根，又因為x1x2=-2<0，所以方程必有一正根，一負根，對應二次函數(shù)圖象過點(0，-2)，如圖.只要當x=5時，二次函數(shù)y=x2+ax-2的函數(shù)值大于0，就能保證不等式x2+ax-2>0在[1，5]上有解，即25+5a-2>0，所以a>-QUOTE.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5.下列結論錯誤的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若關于x的不等式ax2+x-1≤0的解集為R，則a≤-QUOTED.不等式QUOTE>1的解集為x<1【解析】選ABD.A選項中，只有a>0時才成立；B選項當a=b=0，c≤0時也成立；D選項x是大于0的.6.在一個限速40km/h的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)覺狀況不對，同時剎車，但還是相撞了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.則下列推斷錯誤的是 ()A.甲車超速 B.乙車超速C.兩車均不超速 D.兩車均超速【解析】選ACD.由題意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01QUOTE>12，S乙=0.05x乙+0.005QUOTE>10.分別求解，得x甲<-40或x甲>30，x乙<-50或x乙>40.由于x>0，從而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速.三、填空題(每小題5分，共10分)7.在R上定義運算?：x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1對隨意的實數(shù)x都成立，則a的取值范圍是_______.

【解題指南】依據(jù)運算?的定義，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.【解析】依據(jù)定義得(x-a)?(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a，又(x-a)?(x+a)<1對隨意的實數(shù)x都成立，所以x2-x+a+1-a2>0對隨意的實數(shù)x都成立，所以Δ<0，即1-4(a+1-a2)<0，解得-QUOTE<a<QUOTE.答案：QUOTE8.已知關于x的不等式ax+b>0的解集是(1，+∞)，則QUOTE=_____，關于x的不等式QUOTE>0的解集是_____.

【解析】依題意，a>0且-QUOTE=1，所以QUOTE=-1；不等式QUOTE>0可變形為(ax-b)(x-2)>0，即x-QUOTE(x-2)>0，所以(x+1)(x-2)>0，故x>2或x<-1.答案：-1{x|x<-1或x>2}四、解答題(每小題10分，共20分)9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】因為a=2時，原不等式為-4<0，所以a=2時恒成立.當a≠2時，由題意得QUOTE即QUOTE解得-2<a<2.綜上兩種狀況可知-2<a≤2.【誤區(qū)警示】失分點一：不能將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式組求解.失分點二：沒能對二次項系數(shù)分狀況探討使答案不精確.【補償訓練】已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】當a2-1=0，即a=1或a=-1時，原不等式的解集為R或QUOTE，所以a=1滿意不等式的解集為R；當a2-1≠0，即a≠±1時，要使原不等式的解集為R，必需QUOTE，即QUOTE，解得：-QUOTE<a<1.所以實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.10.某城市上年度電價為0.80元/千瓦時，年用電量為a千瓦時.本年度安排將電價降到0.55元/千瓦時～0.75元/千瓦時，而居民用戶期望電價為0.40元/千瓦時(該城市電力成本價為0.30元/千瓦時).經(jīng)測算，下調(diào)電價后，該城市新增用電量與實際電價和用戶期望電價之差成反比，比例系數(shù)為0.2a.試問當?shù)仉妰r最低為多少時，可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.【解析】設新電價為x元/千瓦時(0.55≤x≤0.75)，則新增用電量為QUOTE千瓦時.依題意，有QUOTE(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%)，即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4)，整理得x2-1.1x+0.3≥0，解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，又0.55≤x≤0.75，所以0.6≤x≤0.75，因此，xmin=0.6，即電價最低為0.6元/千瓦時，可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.1.在關于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1個整數(shù)，則a的取值范圍是 ()A.(-3，5) B.(-2，4)C.[-1，3] D.[-2，4]【解析】選C.因為關于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0，當a>1時，不等式的解集為{x|1<x<a}，當a<