2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2.1第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式課后提升訓(xùn)練含解析新人教A版選擇性必修第二冊

第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,公差d=3,則數(shù)列{an}的通項公式為()A.an=3n-1 B.an=2n+1C.an=2n+3 D.an=3n+2解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.答案A2.若△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,則cos(A+C)=()A.12 B.C.-12 D.-解析因為A,B,C成等差數(shù)列,所以A+C=2B.又因為A+B+C=π,所以A+C=2π3,故cos(A+C)=-答案C3.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=13,a4+a5=163,ak=33,則k=(A.50 B.49 C.48 D.47解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=13,a4+a5=163,∴2a1+7d=163,解得d=23,則an=13+(n-1)×23=2n-13答案A4.在等差數(shù)列{an}中,a1=8,a5=2,若在相鄰兩項之間各插入一個數(shù),使之成等差數(shù)列,則新等差數(shù)列的公差為()A.34 B.-34 C.-67 D解析設(shè)原等差數(shù)列的公差為d,則8+4d=2,解得d=-32,因此新等差數(shù)列的公差為-3答案B5.(多選)等差數(shù)列20,17,14,11,…中的負(fù)數(shù)項可以是()A.第7項 B.第8項C.第9項 D.第10項解析∵a1=20,d=-3,∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,∴a7=2>0,a8=-1<0.故數(shù)列中的負(fù)數(shù)項是第8項及其之后的項,故選BCD.答案BCD6.已知{an}為等差數(shù)列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,則a3=.

解析∵{an}為等差數(shù)列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,∴a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,∴a3=a1+2d=-10+6=-4.答案-47.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差數(shù)列,則m=.

解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=lgmlg2,b=∵a,ab,b成等差數(shù)列,∴2ab=a+b,∴2×lgm∴l(xiāng)gm=12(lg2+lg3)=12lg6=lg6.則m=答案68.正項數(shù)列{an}滿意a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(n∈解析因為2an2=an+12+a所以數(shù)列{an2}是以a12=1為首項,以d=a22-a所以an2=1+3(n-1)=3所以an=3n-2,n所以a7=3×答案199.已知x,y,z成等差數(shù)列,求證:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差數(shù)列.證明因為x,y,z成等差數(shù)列,所以2y=x+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差數(shù)列.10.已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=2an+2n.(1)設(shè)bn=an2n-1,證明:數(shù)列{(2)求數(shù)列{an}的通項公式.解(1)因為an+1=2an+2n,所以an+1所以an+12n-an又因為bn=an2n-1,所以bn+1-bn=1.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其首項b1=a1(2)由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,所以an=2n-1bn=n·2n-1.實力提升練1.已知等差數(shù)列的前4項分別是a,x,b,2x,則ab等于()A.14 B.12 C.13解析依題意,得a+2x=答案C2.下列命題正確的是()A.若a,b,c成等差數(shù)列,則a2,b2,c2成等差數(shù)列B.若a,b,c成等差數(shù)列,則log2a,log2b,log2c成等差數(shù)列C.若a,b,c成等差數(shù)列,則a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列D.若a,b,c成等差數(shù)列,則2a,2b,2c成等差數(shù)列解析因為a,b,c為等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列,即C項正確.ABD三項通過舉反例易知不正確.答案C3.已知等差數(shù)列{an}滿意4a3=3a2,則{an}中肯定為零的項是()A.a6 B.a8 C.a10 D.a12解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,則{an}中肯定為零的項是a6.答案A4.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,若3a6=a3+a4+a5+12,則d=.

解析3a6=a3+a4+a5+12?3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12?6d=12,解得d=2.答案25.已知數(shù)列{an}與an2n均為等差數(shù)列(n∈N*),且a1=1,則a10=解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=1+(n-1)d=dn+1-d,∴an2n=d2n+2d(1-d)+依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知(1-即d=1,∴a10=10.答案106.已知數(shù)列{an},a1=1,a2=23,且1an-1+1an+1=解析∵1a∴數(shù)列1an是等差數(shù)列,公差d=∴1an=1a1+(n-1)d=1+1∴an=2n答案27.已知等差數(shù)列{an}:3,7,11,15,….(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式.(2)135,4b+19(b∈N*)是數(shù)列{an}中的項嗎?若是,是第幾項?(3)若am,at(m,t∈N*)是數(shù)列{an}中的項,則2am+3at是數(shù)列{an}中的項嗎?若是,是第幾項?解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.依題意,得a1=3,d=7-3=4,故an=3+4(n-1)=4n-1.(2)令an=4n-1=135,解得n=34,故135是數(shù)列{an}的第34項.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是數(shù)列{an}的第(b+5)項.(3)∵am,at是數(shù)列{an}中的項,∴am=4m-1,at=4t-1,∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.∵2m+3t-1∈N*,∴2am+3at是數(shù)列{an}的第(2m+3t-1)項.8.在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)證明:數(shù)列1an(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)若λan+1an≥λ對隨意的n≥2恒成立,求實數(shù)λ(1)證明由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),整理得1an-1a所以數(shù)列1an是以1為首項,3(2)解由(1)可得1an=1+3(n-1)=3所以an=13(3)解λan+1an≥λ對隨意的n≥2即λ3n-2+3n-2≥λ對隨意的n整理,得λ≤(3n-2)23n令f(n)=(3則f(n+1)-f(n)=(3n+1)2因為n≥2,所以f(n+1)-f(n)>0,即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(2)最小.又f(2)=163,所以λ≤16所以實數(shù)λ的取值范圍為-∞素養(yǎng)培優(yōu)練數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常數(shù).(1)當(dāng)a2=-1時,求λ及a3的值.(2)是否存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求出λ及數(shù)列{an}的通項公式;若不存在,請說明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以當(dāng)a2=-1時,得-1=2-λ,故λ=3.從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)數(shù)列{an}不行能為等差數(shù)列,證明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an