2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.1函數(shù)的平均變化率教案新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE1-6.1導(dǎo)數(shù)6.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解函數(shù)平均變更率的概念．(重點(diǎn))2．會求函數(shù)的平均變更率．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3．會利用平均變更率解決或說明生活中的一些實(shí)際問題．(難點(diǎn))1.通過函數(shù)平均變更率的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)平均變更率的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).某人走路的第1秒和第45秒的位移如圖所示：問題1：從A到B的位移是多少？從B到C的位移是多少？問題2：AB段與BC段哪一段的速度較快？1．函數(shù)的平均變更率一般地，若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，則(1)自變量的變更量Δx＝x2－x1；(2)因變量的變更量Δy＝y(tǒng)2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；思索：在平均變更率中，Δx，Δy，eq\f(Δy,Δx)是否可以為0？當(dāng)平均變更率為0時(shí)，是否說明函數(shù)在該區(qū)間上肯定為常函數(shù)？[提示]在平均變更率中，Δx可正可負(fù)但Δx不行以為0；Δy可以為0；eq\f(Δy,Δx)可以為0.當(dāng)eq\f(Δy,Δx)＝0時(shí)，并不能說明函數(shù)在該區(qū)間上肯定為常函數(shù)，如f(x)＝x2在區(qū)間[－2,2]上的平均變更率是0，但它不是常函數(shù)．拓展：函數(shù)平均變更率的幾何意義如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變更率，就是直線AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事實(shí)上kAB＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(Δy,Δx).2．平均速度與平均變更率假如物體運(yùn)動的位移xm與時(shí)間ts的關(guān)系為x＝h(t)，則物體在[t1，t2](t1<t2時(shí))或[t2，t1](t2<t1時(shí))這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(ht2－h(huán)t1,t2－t1)(m/s)．即物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于x＝h(t)在該段時(shí)間內(nèi)的平均變更率．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相對于x1的一個(gè)增量，Δx的值可正可負(fù)，但不行為零． ()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負(fù)，也可以為零． ()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． ()(4)物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度為0，則物體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2.如圖，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的平均變更率為()A．1 B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝－1.]3．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時(shí)，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.]4．汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖像如圖所示．在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小關(guān)系是________．eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1[∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖像可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.]求函數(shù)的平均變更率【例1】求y＝f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時(shí)平均變更率的值．[解]∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2xeq\o\al(2,0)＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴函數(shù)f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x0·Δx＋2Δx2,Δx)＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時(shí)，平均變更率為4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.求平均變更率可依據(jù)定義代入公式干脆求解，解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy，求平均變更率的主要步驟是：eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．假如函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均變更率為3，則a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[依據(jù)平均變更率的定義，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3.]2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖像上一點(diǎn)(1，－2)及旁邊一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4Δx,Δx)＝4＋2Δx.]求物體運(yùn)動的平均變更率【例2】跳水運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求運(yùn)動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)運(yùn)動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？(3)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題？[解](1)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h(huán)0,\f(65,49)－0)＝eq\f(－4.9×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))2＋6.5×\f(65,49)＋10－10,\f(65,49)－0)＝0(m/s)，即運(yùn)動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是0m/s.(2)運(yùn)動員在這段時(shí)間里明顯不是靜止的．(3)由上面的計(jì)算結(jié)果可以看出，平均速度并不能反映出運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，特殊是當(dāng)運(yùn)動的方向變更時(shí)．1．平均速度反映運(yùn)動物體的位移隨時(shí)間變更而變更的狀況．平均速度是運(yùn)動物體在一個(gè)時(shí)間段里位移的變更量與這段時(shí)間的比值．2．運(yùn)動物體在t0到t1這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的平均速度就是物體運(yùn)動的位移函數(shù)s(t)在區(qū)間[t0，t1]上的平均變更率，因此求平均速度的實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)的平均變更率．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．一個(gè)物體做直線運(yùn)動，位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)＝5t2＋mt，且這一物體在2≤t≤3這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為26m/s，則實(shí)數(shù)m的值為()A．2B．1C．－1D．6B[由已知，得eq\f(s3－s2,3－2)＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，選B.]平均變更率的應(yīng)用【例3】(1)A，B兩機(jī)關(guān)單位開展節(jié)能活動，活動起先后兩機(jī)關(guān)的用電量W1(t)，W2(t)與時(shí)間t(天)的關(guān)系如圖所示，則肯定有()A．兩機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果一樣好B．A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好C．A機(jī)關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率比B機(jī)關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率大D．A機(jī)關(guān)單位與B機(jī)關(guān)單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大(2)巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路途圖．同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語言來量化AB段、BC段曲線的陡峭程度嗎？(1)B[(1)由題可知，A機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)的圖像比較陡峭，B機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)的圖像比較平緩，且用電量在[0，t0]上的平均變更率都小于0，故肯定有A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好．故選B.](2)[解]山路從A到B高度的平均變更率為kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(10－0,50－0)＝eq\f(1,5)，山路從B到C高度的平均變更率為kBC＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(20－10,70－50)＝eq\f(1,2)，∴kBC>kAB，∴山路從B到C比從A到B陡峭．函數(shù)的平均變更率eq\f(fx1－fx0,x1－x0)表示點(diǎn)x0，fx0與點(diǎn)x1，fx1連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，其值可粗略地表示函數(shù)的變更趨勢.1當(dāng)比較函數(shù)平均變更率的大小時(shí)，可以先將函數(shù)在每個(gè)自變量旁邊的平均變更率求出，然后進(jìn)行大小的比較.2當(dāng)識圖時(shí)，肯定要結(jié)合題意弄清圖形所反映的量之間的關(guān)系，圖像在點(diǎn)x0旁邊的圖像越“陡峭”，函數(shù)值變更就越快.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率為eq\r(3)，則下面敘述正確的是()A．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,6)B．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)C．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\r(3)D．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\f(\r(3),3)B[函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率就是割線AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，選B.]5．已知函數(shù)f(x)＝3－x2，計(jì)算當(dāng)x0＝1,2,3，Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，平均變更率的值，并比較函數(shù)f(x)＝3－x2在哪一點(diǎn)旁邊的平均變更率最大？[解]函數(shù)f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f([3－x0＋Δx2]－3－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(－2x0·Δx－Δx2,Δx)＝－2x0－Δx.當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，平均變更率的值為－eq\f(7,3)，當(dāng)x0＝2，Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，平均變更率的值為－eq\f(13,3)，當(dāng)x0＝3，Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，平均變更率的值為－eq\f(19,3)，∵－eq\f(7,3)>－eq\f(13,3)>－eq\f(19,3)，∴函數(shù)f(x)＝3－x2在x0＝1旁邊的平均變更率最大.1．函數(shù)的平均變更率可正可負(fù)可為零，反映函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]上變更的快慢，變更快慢是由平均變更率的肯定值確定的，且肯定值越大，函數(shù)值變更得越快．2．函數(shù)平均變更率的幾何意義和物理意義．(1)幾何意義：平均變更率表示函數(shù)y＝f(x)圖像上割線P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，則kP1P2＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)；(2)物理意義：把位移s看成時(shí)間t的函數(shù)，平均變更率表示s＝s(t)在時(shí)間段[t1，t2]上的平均速度，即eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st2－st1,t2－t1).1．某物體的運(yùn)動規(guī)律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt) B.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(sΔt,Δt)C.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st,t) D.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st＋Δt－sΔt,Δt)A[由平均速度的定義可知，物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是其位移變更量與時(shí)間變更量的比．所以eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt).]2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變更率為()A．2.1B．1.1C．2D．0A[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.]3.如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變更率最大的一個(gè)區(qū)間是________．[x3，x4][由平均變更率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均變更率分別為：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，結(jié)合圖像可以發(fā)覺函數(shù)y＝f(x)的平均變更率最大的一個(gè)區(qū)間是[x3，x4]．]4．函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率是2，則t＝________.5[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率是2，所以eq\f(ft－f－2,t－－2)＝eq\f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，從而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．]5．蜥蜴的體溫與陽光的照耀有關(guān)，其關(guān)系為