2024學年山西大學附中高二數(shù)學（上）12月考試卷附答案解析

學年山西大學附中高二數(shù)學（上）12月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A．B．C． D．3．已知直線被圓截得的弦長為4，則（

）A．或3 B． C．3 D．或14．畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的離心率為，則橢圓的蒙日圓的方程為（）A．B．C． D．5．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，定點，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知動圓過點，并且在圓內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（

）A．B．C． D．8．設(shè)點是拋物線的焦點，過拋物線上一點，沿軸正方向作射線軸，若的平分線所在直線的斜率為，則點的坐標為（）A．B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為拋物線的焦點，為拋物線上的一點，，則下列說法正確的是（）A．焦點B．準線方程C．點或D．以為直徑的圓與拋物線的準線相切10．以下四個命題表述正確的是（）A．圓上有且僅有2個點到直線的距離都等于B．已知點在圓上，則的最大值是4C．已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為4D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經(jīng)過點11．已知橢圓分別為的左，右焦點，A，B分別為的左，右頂點，點是橢圓上的一個動點，且點到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．存在點，使得C．若，則外接圓的面積為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．過點的圓的切線方程為.13．已知橢圓的兩個焦點為、，為橢圓上一點，且，則的值為．14．過雙曲線的右焦點的直線分別在第一?第二象限交的兩條漸近線于兩點，且.若，則雙曲線的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，．(1)若，求的值；(2)當時，直線過與的交點，且它在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．16．已知橢圓的長軸長為，且點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于不同的兩點和，求的值.17．已知拋物線的焦點到準線的距離為2．(1)斜率為的直線與交于，兩點.若，求的方程；(2)已知為坐標原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．18．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，其中一條漸近線的傾斜角為.(1)求雙曲線的方程；(2)的左、右焦點分別為，若過的直線與交于兩點.當兩點均在的左支上時，求面積的取值范圍.19．已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設(shè)點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．①當時，求證：的值及的周長均為定值；②當時，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．參考答案1．【答案】D【詳解】設(shè)傾斜角為，因為，所以，又，所以.故選：D2．【答案】A【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3．【答案】A【分析】先求出圓心和半徑，根據(jù)直線截圓所得弦長求出弦心距，結(jié)合點到直線距離得到方程，，即可解得【詳解】根據(jù)化為，圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，又因為直線截圓的弦長為，所以有，即，解得；又圓心到直線的距離為：，所以，即，解得或.故選：A4．【答案】B【詳解】由題可知，，解得，則，則圓半徑的平方等于，且圓心為原點，則圓的方程為.故選：B.5．【答案】C【詳解】因為等于點到準線的距離，作垂直于準線于,根據(jù)拋物線的定義可知，所以當PQ垂直于準線時交準線于,，有最小值，,最小值為.當且僅當在與拋物線的交點時取得等號.故選：C.6．【答案】C【詳解】設(shè)動圓圓心為，半徑為因為圓的圓心為，半徑為，由題有，又動圓過點，得，即，則到兩定點的距離之和為，由橢圓的定義可知，點在以為焦點，長軸長為的橢圓上，因為，得到，所以動圓圓心的軌跡方程為，故選：C.7．【答案】D【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即．故選：D．8．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點，準線方程：，設(shè)直線與準線交于點，由拋物線定義得，，根據(jù)題意，，，所以，則，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，得，所以點的坐標為.故選：D9．【答案】AC【詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，故A正確，B錯誤；因為為拋物線上的一點，，所以，解得，所以，解得，所以點或，故C正確；不妨取，則的中點坐標為，因為點到準線的距離為，所以以為直徑的圓與拋物線的準線相離，事實上以為直徑的圓與軸相切，故D錯誤.故選：AC10．【答案】BD【詳解】選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線的距離都等于，故A錯誤；選項B：圓的圓心為，半徑，設(shè)，則，解得，所以的最大值是4，故B正確；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，所以，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；選項D：設(shè)點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，令，解得，所以直線過定點，故D正確．故選：BD．11．【答案】ACD【詳解】A選項，因為點是橢圓上的一個動點，且點到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項，若橢圓上存在點，使得，則點在圓上，又因為方程組無解，故B錯誤；C選項，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因為，所以，根據(jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項，設(shè)，則：，令，則，所以，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD12．【答案】【詳解】因為點的坐標滿足圓的方程，所以點在圓上，如圖所示：所以圓的切線方程為：.故答案為：13．【答案】【詳解】橢圓，則，，，所以，又，由余弦定理，即，所以，所以.故答案為：14．【答案】【分析】根據(jù)漸近線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切二倍角的公式、正切的定義、勾股定理、雙曲線離心率的公式進行求解即可.【詳解】由題意可知該雙曲線的漸近線方程為，如圖所示：令，于是有，由雙曲線和兩條漸近線的對稱性可得：，因為，所以，即，在直角三角形中，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因為，所以，或舍去，由，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角的正切公式、由已知等式化簡成為的齊次方程，進而求出雙曲線的離心率.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為，，，所以，所以，解得或，當時，，，直線，重合，不滿足要求，當時，，，直線，平行，滿足要求，所以；（2）由，解得，即與的交點為，當直線過原點時，此時直線斜率為，所以直線的方程為，當直線不過原點時，設(shè)的方程為，將代入得，所以直線的方程為，故滿足條件的直線的方程為或.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為：．（2）聯(lián)立，消去后，得關(guān)于的一元二次方程，化簡得，則，，，所以.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，，則，則，設(shè)Ax1,由，可得，解得，符合，所以的方程為；（2）F1,0，設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率為，當時，；當時，，當時，，此時當且僅當，即時，等號成立；綜上，直線OQ的斜率的最大值為.18．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）橢圓即，所以橢圓的焦點坐標為，又雙曲線的漸近線為，故依題意可得，解得，所以雙曲線的方程為；（2）依題意直線的斜率存在時不為，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,由，可得，由得，所以，，則，，因為兩點均在的左支上，所以，解得，即，所以，令，則，，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.19．【答案】(1)答案見詳解(2)①證明見詳解；②存在；【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標準方程即可求解；（2）設(shè)點，其中且.（?。┯煽芍c共線且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，進而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進而表示出，化簡計算即可；（ii）由（?。┛芍c共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.【詳解】（1）設(shè)點，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當時，曲線是焦點在軸上的橢圓；當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．（2）設(shè)點，其中且，（?。┯桑?）可知的方程為，因為，所以，所以三點共線，且，解法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；解法二：設(shè)，則有，解得，同理，由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，因為，所以，解得，同理可得，所以．因為，所以的周長為定值．（ⅱ）當時，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點共線，且，解法