2022-2023學(xué)年浙江省湖州市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年浙江省湖州市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題及答案注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.2．作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.不按以上要求作答的答案無效.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法解出集合A，根據(jù)交集的定義和運(yùn)算即可求解.【詳解】，又，所以.故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合復(fù)數(shù)加法法則即可求解.【詳解】,所以所以.故選：B.3.已知點(diǎn)為所在平面上的一點(diǎn)，且，其中為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)落在的內(nèi)部（不含邊界），則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延長交于，設(shè)()，，求出，根據(jù)平面向量基本定理得到，根據(jù)可求出.【詳解】如圖，延長交于，設(shè)()，，則，∴，又∵，∴，∴，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.4.已知函數(shù)（）的部分圖像如圖，當(dāng)時(shí)，滿足的的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的部分圖像求出的解析式，結(jié)合三角方程即可求解.【詳解】由題意可知，,周期,所以,則，由，得，又，所以或，所以，或，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意舍去，故.由，得，由即，得，所以，解得，故選：B.5.在正三棱錐中，，分別是棱，的中點(diǎn)，且，設(shè)三棱錐外接球的體積和表面積分別是和．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明，，，將三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，求出外接球的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接PD、BD，則，由，得，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，而D是AC的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又，平面，所以平面，由平面，所以，，根據(jù)正三棱錐的特點(diǎn)可得，故可將三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體，如圖，所以正方體的外接球即為三棱錐的外接球.由，可得正方體的棱長為，所以，即正方體的外接球的半徑為，即三棱錐的外接球半徑為，所以外接球的體積為，表面積為.故選：C6.若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線垂直的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】因，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因?yàn)閍一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7.如圖，已知拋物線，過點(diǎn)和分別作斜率大于的兩平行直線，交拋物線于，和，，連接交軸于點(diǎn)，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題知，進(jìn)而設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程得，進(jìn)而可得，，再求斜率即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以∽，所以，即，因?yàn)檫^點(diǎn)和兩平行直線斜率大于所以，直線斜率大于，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，所以所以，，解得所以，所以，即直線的斜率是.故選：D8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而，則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，即，則，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由，得；由，得.設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，所以，有，得，所以，所以；由，可設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，即，所以.綜上，.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.為了增強(qiáng)學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對(duì)體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對(duì)學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查.得到下表：性別合計(jì)男性女性喜歡280p280+p不喜歡q120120+q合計(jì)280+q120+p400+p+q附：，．0.150.100.050.0250.0100.00l2.0722.7063.8415.0246.63510.828已知男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，則下列說法正確的是（）A.列聯(lián)表中的值為，的值為B.隨機(jī)對(duì)一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有的可能喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)C.有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系D.沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意求出q、p，補(bǔ)全列聯(lián)表，分析數(shù)據(jù)，利用卡方計(jì)算公式求出，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)思想依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由題意知，男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)人數(shù)占女生人數(shù)的，則，，解得，故A正確；B：補(bǔ)全列聯(lián)表如下：男性女性合計(jì)喜歡280180460不喜歡120120240合計(jì)400300700所以隨機(jī)抽一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率約為，故B錯(cuò)誤；C：，而，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系，故C正確；D：由選項(xiàng)C知，沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，，則（）A.對(duì)于任意，函數(shù)有零點(diǎn)B.對(duì)于任意，存在，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)C.對(duì)于任意，存在，函數(shù)恰有二個(gè)零點(diǎn)D.存在，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)：將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象即可得到當(dāng)時(shí)一定有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；BCD選項(xiàng)：根據(jù)切線斜率的范圍來判斷直線與圖象的交點(diǎn)情況即可.【詳解】A選項(xiàng)：上圖為的圖象，由題意知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象一定有交點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則由零點(diǎn)存在性定理得有零點(diǎn)，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以切線的斜率都大于或等于1，當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)得，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以在的切線方程為，所以當(dāng)時(shí)，直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)，分別為圓：與圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上一點(diǎn)，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即；由知當(dāng)取到最大即時(shí)最大，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，所以圓心，半徑為；由，得，所以圓心，半徑為；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，有，解得，即，連接，交直線于點(diǎn)，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且，連接，此時(shí)最小，當(dāng)取到最大時(shí)，取到最大值，如圖，由圖可知，，所以的最大值為，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷的單調(diào)性，從而求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以有，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：AD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在的展開式的通項(xiàng)公式為，所以令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：．14.從數(shù)字中任意取出兩個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字不是連續(xù)的自然數(shù)的概率是__．【答案】##0.6【解析】【分析】根據(jù)題意可得所有的可能結(jié)果有10種，滿足條件的有6種，利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.【詳解】從中任意取出2個(gè)數(shù)共有種結(jié)果，數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的情況有，共6種結(jié)果.所以數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的概率為.故答案為：.15.已知函數(shù)（）滿足，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為（），則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）滿足，所以（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)每一組對(duì)稱點(diǎn)，（），有，故.故答案為：.16.設(shè)是橢圓（）的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），過作的垂線，垂足為，且，則該橢圓的離心率是__．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用幾何性質(zhì)以及橢圓定義、勾股定理、離心率公式進(jìn)行求解.【詳解】由題可知，，且，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，且，又直線的斜率為，所以，設(shè)，，所以，，聯(lián)立解得，，由勾股定理有：，即，所以，所以.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求滿足不等式（）成立的的最大值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)，可知數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，解不等式即可.【小問1詳解】由條件得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列．故，即．【小問2詳解】由（1）知，故,所以，解得，結(jié)合得，的最大值是.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知．（1）求的值；（2）若的面積為，求周長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式及正切公式即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及三角形的面積公式，再利用基本不等式及余弦定理，結(jié)合三角形的周長公式即可求解.【小問1詳解】由得，，因?yàn)?，解得．所以．【小?詳解】由可知，．由的面積為，得，故．所以，即．（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）又（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）所以．故周長（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）．因此周長的最小值為．19.如圖，在三棱臺(tái)中，三棱錐的體積為，的面積為，，且平面．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面的距離；(2)幾何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；空間向量法：先證明兩兩垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)?，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，又由，得，解得.【小問2詳解】由已知設(shè)，，則，，取的中點(diǎn)，連接，則，由平面平面知面，故，又，從而平面.故，，取中點(diǎn)，則，四邊形是平行四邊形，，從而為正三角形，故，，又，得.在平面內(nèi)作于，則，在平面內(nèi)，作于，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，則二面角的平面角為.在直角中，，故，.即所求二面角的余弦值為.法二：取的中點(diǎn)，連接，則，由平面平面知面，故，又，從而平面.故，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，取中點(diǎn)，則，四邊形是平行四邊形，，從而為正三角形，故，，又，得，則，，，設(shè)面的法向量，由得，設(shè)面的法向量，由得，故，即所求二面角的余弦值為.20.自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃）.下表是某高校從2018年起至2022年通過自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計(jì)201847617201958518202069520202187621202298623請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)表明招生總數(shù)和年份間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.記為年份與的差，為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程，并以此預(yù)測年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）在強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果進(jìn)行抽檢.此次抽檢從這名學(xué)生中隨機(jī)選取位學(xué)生進(jìn)行評(píng)審.記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占，五年畢業(yè)的占，六年畢業(yè)的占.現(xiàn)從到年間通過上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，求該生恰好在年畢業(yè)的概率.附：為回歸方程，，．【答案】（1），24（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用回歸方程公式即可求解；（2）利用超幾何分布模型即可求解；（3）由條件概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意，的取值集合為，的取值集合為，,直接根據(jù)公式求得，，因此回歸方程為：，當(dāng)時(shí)，可得，因此預(yù)測2023年的招生總?cè)藬?shù)為人.【小問2詳解】由已知，可取0,1,2,3.，，，，故.【小問3詳解】因?yàn)?025年畢業(yè)，則入學(xué)年份可能為2021年，2020年，2019年,由條件概率公式可知，該生被數(shù)學(xué)系錄取的條件下，其在第年入學(xué)的概率為：，故，，，由全概率公式：.21.已知點(diǎn)在離心率為的雙曲線上，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)（，均在第四象限），直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)討論焦點(diǎn)在軸、軸上的情況，設(shè)出對(duì)應(yīng)的雙曲線方程，根據(jù)題意列出方程組，解之即可；(2)設(shè)直線方程為和，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示出，由直線點(diǎn)斜式方程求出直線AD、AE方程，解得、，利用點(diǎn)到直線距離公式和三角形的面積可得，解