人教A版（2019）高中數(shù)學必修第二冊6.2.1向量的加法運算【課件】

6.2 平

面

向

量

的

運

算(1)6.2.1向量的加法運算學習目標通過實例理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.重點難點向量的加法運算及運算律情境導學我們知道，兩個實數(shù)可以運算，運算使數(shù)的威力無窮，那么，向量是否也能像數(shù)一樣進行運算呢？人們從向量的物理背景和數(shù)的運算中得到啟發(fā)，引進了向量的運算，本節(jié)課我們就來研究平面向量的運算，探索其運算性質(zhì)，體會向量運算的作用下面來學習向量的加法運算.如圖6.2-1，某質(zhì)點從A經(jīng)點B到點C，這個質(zhì)點的位移如何表示？A探究一 向量加法的三角形法則導引

位移是向量，它們可以合成，我們能否從位移的合成中得到啟發(fā)，引進向量的加法呢？CB如圖6.2-1，物理知識告訴我們，這個質(zhì)點兩次位移A8，88的結(jié)果，與從點A直接到點8的位移A8結(jié)果相同。因此，位移A8可以看成是位移A8與88合成的。數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，A8可以看作是A8與88的和，即位移的合成可以看作向量的加法。如圖6.2-2，已知非零向量a,

b，在平面內(nèi)取任意一點A

，作A8

=

a，88

=

b，則向量A8叫做a與b的和，記作a

+

b，即a

+

b=

A8

+

88

=

A8.圖6.2-2所以兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量.一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則，位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。ABa思考1 使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？答 先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量.Ca+

bb思考2 當向量a，b是共線向量時,a

+

b又如何作出？答 (1)當a與b同向時：OB=OA+AB=a+

ba+

b(2)當a與b反向時：AB.OA=a，AB=b，OB=OA+AB=a+

baO

ba+

b我們再來看看力的合成問題思考如圖6.2-3，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力F1與F2的作用，你能作出這個物體所受的合力F嗎？圖6.2-3我們知道，合力F在以O(shè)A,

O8為鄰邊的平行四邊形的對角線上。并且大小等于這條對角線的長，從運算的角度看，F(xiàn)可以看作是F1與F2的和，即力的合成可以看作向量的加法。如圖6.2-4，以同一點O為起點的兩個已知向量a,

b。以O(shè)A,

O8為鄰邊作?OA88

，則以O(shè)為起點的向量O8（O8是?OA88的對角線）就是向量a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。探究點二向量加法的平行四邊形法則思考1 向量加法還可以用平行四邊形法則，其具體做法是什么？答 先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和.BD對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a

+

0

=

0

+

a=aC以點A為起點作向量A8

=

a，A5

=

b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，則以A為起點的對角線A8就是a與b的和，記作a

+

b

=

A8，如圖.aA·ba+

b思考向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？向量加法的平行四邊形法則和三角形法則區(qū)別：①三角形法則中強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯(lián)系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.A圖6.2-6（1）例1 如圖6.2-5，已知向量a,

b，求作向量a+b.作法1：在平面內(nèi)任取一點O（圖6.2-6（1））.作OA

=

a，A8

=b

.

則O8

=

a

+

b.圖6.2-5ababa+

bBO.AB圖6.2-6（2）C作法2：在平面內(nèi)任取一點0（圖6.2-6（2））.作08

=

a，0B

=

b.以08,

0B為鄰邊作?080B，連接00，則00

=

08

+

0B

=

a

+

b.圖6.2-5aba+

baO.b探究（1）如果向量a,

b共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能作出向量a

+

b嗎？（2）結(jié)合例1，探索|a

+

b

|，|a

|,

|b

|之間的關(guān)系.a,

b不共線時，|a+

b

|

<

|a

|

+

|b

|a,

b同向時，|a

+

b

|

=

|a

|

+

|b

|a,

b反向時，|a

+

b

|

=

|a

|

?

|b

|（或|b

|

?

|a

|）一般地，我們有 |a+b|≤|a|+|b

|當且僅當a,

b方向相同時等號成立.探究實數(shù)的加法運算滿足交換律、結(jié)合律，即對任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也滿足交換律、結(jié)合律嗎？如何檢驗？答 向量的加法滿足交換律，根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法的交換律：a

+

b=b

+

a∴a+b=b+

a.向量的加法也滿足結(jié)合律，根據(jù)下圖中的四邊形，驗證向量加法的結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b

+c).∵

→ → → →AC＝AB＋BC，∴AC＝a+

b.∵

→ → → →AC＝AD＋DC，∴AC＝b+

a.∵

→ → → → → →AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD，AB

(BC

CD)又∵

→

＝→＋

→

＝→＋ →

＋→，AD AB BD∴

→AD＝a+(b+

c)，∴（a+b)+c=a+(b+

c).反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a+

b，關(guān)鍵是準確規(guī)范地依據(jù)三角形法則和平行四邊形法則作圖.向量的加法滿足交換律與結(jié)合律練習： 如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點.→ →→ → →→ → →→ → →(4)AC＋BA＋DA＝

.(1)AB＋AD＝

AC ；→(2)AC＋CD＋DO＝

AO ；→(3)AB＋AD＋CD＝

AD ；→0分析：問題（1）是表示兩個速度的合速度的問題，由于從同一點出發(fā)，我們可以用向量求和的平行四邊形法則來表示。問題（2）求合速度的大小與方向，我們通過解直角三角形即可ADCB解：（1）如圖6.2-9，A5表示船速，A8表示江水速度。以A5，A8為鄰邊作?A885

，則A8表示船實際航行的速度。（2）在R8

△

A88中，|A8|

=

6，|88|

=

18，于是2 2|A8|

= |A8| +

|88| =62+182

=|A8| 2因為t80

∠8A8

=

|88|

=

8。所以利用計算