人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊6.4.3余弦、正弦定理-第三課時【課件】

6.4.3

余弦、正弦定理(3)主講人：劉仙舟學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教A版）學(xué) 校：北京市第八十中學(xué)年 級：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能熟練運用余弦定理解三角形.提高對余弦定理應(yīng)用范圍的認識

.初步應(yīng)用余弦定理解決一些與三角函數(shù)、向量有關(guān)的綜合問題．【重點難點】應(yīng)用余弦定理解決綜合問題.高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】三角形中三邊之間關(guān)系：三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.三角形中三內(nèi)角之間關(guān)系：A

+

B

+

C

=

180°.高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】3.

三角形中邊角關(guān)系：①

大邊對大角.②

余弦定理及其推論：a2=b2+c2?2bccosA.b2=a2+c2?2accosB.c2=a2+b2?

2abcosC.cosA

=b2+c2?a22bc.cosB

=a2+c2?

b2.cosC

=2aca2+b2?

c22ab.高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】3.

三角形中邊角關(guān)系：③在?ABC中，若c2

<

a2+b2，則?ABC為若c2

=

a2+b2，則?ABC為

直角三角形銳角三角形若c2

>

a2+b2，則?ABC為

鈍角三角形cosC

=a2+b2?

c22ab高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】4.

余弦定理的適用條件：余弦定理可解以下兩種類型的三角形：BB① 已知兩邊的邊長及其夾角的三角形.(SAS)② 已知三邊邊長的三角形.

(SSS)ACCA高中數(shù)學(xué)【典型例題】1、余弦定理及推論在解三角形時的應(yīng)用.例1

（1）在?ABC中，已知a

=

9,

b

=

2 3,

C

=

150°

,則求邊長c解. ：

由余弦定理得：c2=a2+b2?2abcosC=92

+

(2 3)2?2×

9×

2 3cos150°=81+12+54=147

.∴c

=

7 3

.SAS高中數(shù)學(xué)13，則(2) 在?ABC中，已知a

=

7,

b

=

4 3,c

=求?ABC的最小角.又∵0<C<

n，∴C=

n6cosC

=a2+b2?

c22ab2

×

7

×

4 372+(4 3)2

? 132 3= = 2 .解：

∵

a

>

b

>

c, 由大邊對大角知：在?ABC中最小角為C.由余弦定理的推論得：SSS高中數(shù)學(xué)變式練習(xí)：已知鈍角三角形的三邊a

=

k,

b

=

k

+

2,

c

=

k

+

4,求k的取值范圍.(2) 可知C為鈍角，由，可得：

a2+b2

?

c2

<

0cosC

=a2+b2?c22ab<

0分析： (1)可知：

k

>

0, 且c邊最大.高中數(shù)學(xué)解：

由題意可得：k

>

0,∵

c

>

b

>

a,

且?ABC為鈍角三角形，∴

C為鈍角.由余弦定理的推論得：a2+b2?c2=k2+(k+2)2?(k+4)2=k2?4k?12<

0.由k2?4k?12<0，∴(k+2)(k?6)

<

0, 解得?2

<

k

<

6.又由三角形兩邊之和大于第三邊， 則k+(k+2)>k

+

4, ∴k>

2.綜上所述，k的取值范圍為:

2

<

k

<

6.a2+b2?c2<

0高中數(shù)學(xué)注意：隱含條件：k, k

+

2, k

+

4構(gòu)成一個三角形，兩邊之和大于第三邊.{k>

0k+k+2>k+

4,∴k>

2高中數(shù)學(xué)【典型例題】1、余弦定理及推論在解三角形時的應(yīng)用例2. 在?ABC中，a

=

3，b

=

2 6，B=

2A，本題為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，也可以利用余弦定理來求解.cosA

=分析：36

. 求邊長c的值.32 6BCA高中數(shù)學(xué)解：由a

=

3，b

=

2 6，B=2A，cosA=

63及余弦定理

a2

=

b2

+c2

?2bccosA.22 23代入得：3 =

(2 6) +

c ?2

×

2 6c×

6.即c2?8c+15

=

0. 所以c

=

3或c

=

5.這樣就可以算出c的兩個值，那么c是兩個解嗎？條件：B

=

2A？高中數(shù)學(xué)21cosB=cos2A

=

2cos A?1=3

.若先求則由b2

=

a2

+

c2

?

2ac

?cos

B.解析：由題中條件B

=

2A可知：B

>

A.22 23得(2 6) =

3 +

c ?2×3c×

1.得c2?2c?15

=

0, ∴(c+3)(c?5)=

0,所以c

=?

3(舍)或c

=

5. 即c=5.這樣算出c是唯一值，問題出現(xiàn)在哪兒？高中數(shù)學(xué)檢驗：

1.

當(dāng)c

=

3時，由a

=

3，b

=

2 6，得：3又由題中條件得：cos

B

=

cos

2A

=

2cos2

A?

1

=

1

.cosB

=2×3×

332+32

?

(2 6)2 1=?3

.∴

c

=

3(舍).2.

當(dāng)c

=

5時，由a

=

3，b

=

2 6，得：cosB

=32

+

52

?

(2 6)2

12×3

×

5 =3

.綜上，c

=

5.∴c=

5.高中數(shù)學(xué)335336如圖檢驗，注意：B

=

2A.BBACCAD2 6（舍）2 6∴c=

5高中數(shù)學(xué)小結(jié)：（解決此類問題）我們發(fā)現(xiàn)用余弦定理一般需要檢驗，否則會有增根.為避免檢驗，則選擇從較大邊的平方出發(fā).

比如本題,

就是因為b

>

a，所以選擇b2

=

a2

+

c2

?

2ac

?cos

B，那么關(guān)于c的一元二次方程的常數(shù)項為負，則所求c必是唯一值.如果不選擇余弦定理，將來我們采用正弦定理（后面內(nèi)容），則一般不會產(chǎn)生增根.高中數(shù)學(xué)2

(其中角A,

B,

C的對邊分別為a,

b,

c)，試判斷符合上述條件的?ABC有多少個？分析：本題也為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，也可以利用余弦定理來判斷?ABC個數(shù)的情況.變式練習(xí)：在?ABC中，已知A

=

45°,

a

=

2,

b

=高中數(shù)學(xué)2c?cos45°

.即：c2

?

2c

?

2

=

0,解得c

=

1

± 3.∵

1

? 3<0,故c=

1

+ 3∴符合條件的?ABC只有一個.小結(jié)：利用余弦定理還可以解“已知兩邊和其中一邊的對角”這類問題解：由余弦定理得：22

=

c2+

( 2)2?2

×高中數(shù)學(xué)【典型例題】2、余弦定理的綜合應(yīng)用例3 在?ABC中，角A,

B,

C的對邊分別為a,

b,

c,若bcosA

=

acosB，判斷?ABC的形狀.分析：可以利用余弦定理將角化為邊，統(tǒng)一后再求解.高中數(shù)學(xué)解：由bcosA

=

acosB，利用余弦定理將角化為邊，則b

?b2+c2

?

a2 a2+c2?

b22bc 2ac=

a

? ,∴b2+c2?a2=a2+c2?

b2,a2

=

b2, 又a

>0,b>0,a=

b.∴

?ABC為等腰三角形高中數(shù)學(xué)3且AB

?

BC

=?

21, 求b.cosB=5

,分析：利用向量的數(shù)量積的知識，可以將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系.變式練習(xí)：在?ABC中，角A,

B,

C的對邊分別為a,

b,

c，已知a

=

7,BCA7cb高中數(shù)學(xué)解:2 2 2∴BA?BC=|BA|?|BC|?cosB=

accosB∴ac=

35,∵ cosB=

35∴

b

=

4 2.又∵a

=

7, ∴c=

5由余弦定理得,

b =

a +

c ?2accosB=

323BCa=

7=ac?5=

21,Acb∵AB?BC

=?

21, ∴BA?BC=

21,高中數(shù)學(xué)小結(jié)：本題利用向量的有關(guān)知識，把問題化歸為三角形的邊角關(guān)系，再結(jié)合余弦定理解三角形.高中數(shù)學(xué)【課堂小結(jié)】余弦定理可解以下幾種類型的三角形：①已知三邊的三角形.②已知兩邊及其夾角的三角形.③已知兩邊及其中一邊的對角的三角形.（檢驗）解三角形的實質(zhì)是解方程，利用余弦定理，通過邊、角互化，建立未知量的代數(shù)方程.三角形中的幾個基本關(guān)系在解三角形的問題中有著重要的作用.高中數(shù)學(xué)【課后作業(yè)】已知?ABC的三邊長為a,

b,

c，若滿足(a

+b

?c)(a

+

b+

c)

=

ab，則求C.在?ABC中，角A,

B,

C的三邊分別為a,

b,

c，設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b?a,c

?

a), 若p

∥

q，則求C.在?ABC中，角A,

B,

C的三邊分別為a,

b,

c，已知3cos(B?

C)

?

1

=

6cosBcosC.

求cosA.高中數(shù)學(xué)4.在?