2025年北師大版高二數(shù)學上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學上冊月考試卷583考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、已知雙曲線的離心率為則=（）A.B.C.D.2、將正方形ABCD沿對角線AC折起；當三棱錐B-ACD體積最大時，直線AD與BC所成角為（）

A.

B.

C.

D.

3、如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若p、q分別是M到直線l1和l2的距離；則稱有序非負實數(shù)對（p，q）是點M的“距離坐標”．已知常數(shù)p≥0，q≥0，給出下列命題：

①若p=q=0；則“距離坐標”為（0，0）的點有且僅有1個；

②若pq=0；且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有2個；

③若pq≠0；則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有4個．

上述命題中；正確命題的個數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

4、下列命題中，a，b，c為三直線，α，β，γ為三平面，①若a∥α，a∥β，則β∥α；②若a∥γ，b∥γ，則a∥b；③若c⊥α，c⊥β，則α∥β；④若a⊥α，b⊥α，則a∥b．其中正確的個數(shù)有（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5、【題文】設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝()A.－6B.－4C.－2D.26、【題文】直線L過點且與雙曲線有且僅有一個公共點；則這樣的直。

線有（）A.1條B.2條C.3條D.4條7、一件工作可以用2種方法完成，有3人會用第1種方法完成，另外5人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是（）A.8B.15C.16D.308、若橢圓y2100+x236=1

上一點P

到焦點F1

的距離等于6

點P

到另一個焦點F2

的距離是(

)

A.20

B.14

C.4

D.24

9、為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)；對該班50

名學生進行了問卷調(diào)查，得到如圖的2隆脕2

列聯(lián)表．

。喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050則至少有(

)

的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)．

附參考公式：K2=n(ad鈭?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

。P(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.78910.828A.95%

B.99%

C.99.5%

D.99.9%

評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)10、已知函數(shù)f（x）是定義在（-3，3）上的偶函數(shù)，當x＞0且x＜3時，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式xf（x）＜0的解集是____．

11、已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），則|PA|+|PF|取最小值時P點的坐標為____．12、有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列，有____種不同的方法（用數(shù)字作答）.13、【題文】拋物線C：被直線l：截得的弦長為____14、【題文】的三內(nèi)角成等差數(shù)列，且則=____.評卷人得分三、作圖題(共9題，共18分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）20、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、計算題(共1題，共6分)22、如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點，P是AC邊上的一個動點，求PB+PM的最小值．評卷人得分五、綜合題(共2題，共6分)23、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．24、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、A【分析】試題分析：根據(jù)雙曲線的公式，由離心率為所以由：解得：所以答案為A.考點：1.雙曲線的離心率；2.解方程.【解析】【答案】A2、D【分析】

設(shè)O是正方形對角線AC、BD的交點，將正方形ABCD沿對角線AC折起，

可得當BO⊥平面ADC時；點B到平面ACD的距離等于BO；

而當BO與平面ADC不垂直時；點B到平面ACD的距離為d，且d＜BO

由此可得當三棱錐B-ACD體積最大時；BO⊥平面ADC．

設(shè)B'是B折疊前的位置；連接B'B；

∵AD∥B'C；∴∠BCB'就是直線AD與BC所成角。

設(shè)正方形ABCD的邊長為a

∵BO⊥平面ADC；OB'?平面ACD

∴BO⊥OB'；

∵BO'=BO=AC=a；

∴BB'=BC=B'C=a；得△BB'C是等邊三角形，∠BCB'=60°

所以直線AD與BC所成角為

故選D

【解析】【答案】將正方形ABCD沿對角線AC折起；可得當三棱錐B-ACD體積最大時，BO⊥平面ADC．設(shè)B'是B折疊前的位置，連接B'B，可得。

∠BCB'就是直線AD與BC所成角；算出△BB'C的各邊長，得△BB'C是等邊三角形，從而得出直線AD與BC所成角的大?。?/p>

3、C【分析】

①正確；此點為點O；

②不正確；注意到p，q為常數(shù)，由p，q中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有4個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距離為q（或p）；

③正確，四個交點為與直線l1相距為p的兩條平行線和與直線l2相距為q的兩條平行線的交點；

故選C．

【解析】【答案】題目中點到直線的距離；分別為p；q，由于p、q的范圍是常數(shù)p≥0，q≥0，所以對p、q進行分類討論，驗證①②③是否成立．

4、B【分析】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中；

①AB是直線a，平面A1C1，CD1分別是平面α；β；

雖然滿足a∥α；a∥β，但β∩α；故①錯；

②AB是直線a，AD是直線b，平面A1C1是γ，顯然滿足a∥γ，b∥γ，但a與b相交；故②錯；

③④根據(jù)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知③④正確；

故選B．

【解析】【答案】在長方體ABCD-A1B1C1D1中；舉出反例即可說明①②不正確，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知③④正確．

5、A【分析】【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.【解析】【答案】A6、C【分析】【解析】分析：當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線x2-y2=2的右頂點，方程為x=滿足條件，當直線的斜率存在時；

若直線與兩漸近線平行；也能滿足滿足條件．

解答：解：當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線x2-y2=2的右頂點，方程為x=滿足條件．

當直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線x2-y2=2有且僅有一個公共點；

綜上；滿足條件的直線共有3條；

故選C．【解析】【答案】C7、A【分析】解：利用分類計數(shù)原理的加法原理：

（1）選擇第1種方法來完成工作的有：3種選法。

（2）選擇第2種方法來完成工作的有：5種選法。

所以；有3+5=8種不同的選法；

故選：A．

根據(jù)題意；分別計算利用選擇第1種方法來完成工作和選擇第2種方法來完成工作的情況數(shù)目，由加法原理計算可得答案．

本題考查加法原理的運用，注意分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的不同．【解析】【答案】A8、B【分析】解：由橢圓y2100+x236=1

焦點在x

軸上，a=10b=6c=8

P

到焦點F1

的距離等于6

即丨PF1

丨=6

由橢圓的性質(zhì)可知：丨PF1

丨+

丨PF2

丨=2a=20

隆脿

丨PF2

丨=14

隆脿

點P

到另一個焦點F2

的距離14

故選：B

．

由題意可知：橢圓y2100+x236=1

焦點在x

軸上，a=10b=6c=8

丨PF1

丨=6

由由橢圓的性質(zhì)可知：丨PF1

丨+

丨PF2

丨=2a=20

因此丨PF2

丨=14

即點P

到另一個焦點F2

的距離14

．

本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓定義的應用，屬于基礎(chǔ)題．【解析】B

9、C【分析】解：K2=50隆脕(20隆脕15鈭?10隆脕5)230脳20脳25脳25隆脰8.333>7.879

隆脿

有99.5%

的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)．

故選C．

利用公式求得K2

與臨界值比較，即可得到結(jié)論．

本題考查獨立性檢驗知識，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】C

二、填空題(共5題，共10分)10、略

【分析】

因為函數(shù)f（x）是定義在（-3，3）上的偶函數(shù)，所以根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性，做出函數(shù)的圖象，如圖：

不等式xf（x）＜0等價為；

當x＞0時；f（x）＜0，此時1＜x＜3．

當x＜0時；f（x）＞0，此時-1＜x≤0．

綜上1＜x＜3或-1＜x≤0．

故不等式的解集為{x|1＜x＜3或-1＜x≤0}．

故答案為：{x|1＜x＜3或-1＜x≤0}．

【解析】【答案】利用函數(shù)奇偶性的定義；結(jié)合圖象確定不等式的解集．

11、略

【分析】

由題意可得F（0），準線方程為x=-作PM⊥準線l，M為垂足；

由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|；

故當P，A，M三點共線時，|PA|+|PM|最小為|AM|=3-（-）=

此時；P點的縱坐標為2，代入拋物線的方程可求得P點的橫坐標為2，故P點的坐標為（2，2）；

故答案為：（2；2）．

【解析】【答案】作PM⊥準線l；M為垂足，由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故當P，A，M三點共線時，|PA|+|PM|最小為|AM|，此時，P點的縱坐標為2，代入拋物線的方程可求得P點的橫坐標為1，從而得到P點的坐標．

12、略

【分析】種?！窘馕觥俊敬鸢浮?26013、略

【分析】【解析】

試題分析：即代入整理得：

設(shè)弦端點為A()，B()，則由韋達定理得所以由圓錐曲線“弦長公式”得|AB|=

考點：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：容易題，涉及弦長問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】因為成等差數(shù)列,,所以

又所以【解析】【答案】三、作圖題(共9題，共18分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、計算題(共1題，共6分)22、略

【分析】【分析】作點B關(guān)于AC的對稱點E，連接EP、EB、EM、EC，則PB+PM=PE+PM，因此EM的長就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如圖；作點B關(guān)于AC的對稱點E，連接EP；EB、EM、EC；

則PB+PM=PE+PM；

因此EM的長就是PB+PM的最小值．

從點M作MF⊥BE；垂足為F；

因為BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因為∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．五、綜合題(共2題，共6分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點B與點A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關(guān)于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關(guān)于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最?。稽cD的位置即為所求．（5分）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；