2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)素養(yǎng)目標·定方向課程標準學(xué)法解讀理解不等式的概念，駕馭不等式的性質(zhì).在不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過類比學(xué)過的等式與不等式的性質(zhì)，進一步探究等式與不等式的共性與差異.必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問1．不等關(guān)系與不等式(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于><≥≤≤≥≥≤(2)不等式的定義：含有__不等號__的式子．思索1：不等式“a≤b”的含義是什么？只有當“a<b”與“a＝b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是指“或者a<b或者a＝b”，等價于“a不大于b”，即若a<b與a＝b之中有一個正確，則a≤b正確．2．比較兩個實數(shù)大小的方法(1)畫數(shù)軸比較法.依據(jù)①實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)②假如點P對應(yīng)的數(shù)為x，則x為點P的坐標，并記作P(x)結(jié)論數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應(yīng)的實數(shù)會變大.(2)作差比較法.依據(jù)假如a－b>0，那么__a>b__假如a－b<0，那么__a<b__假如a－b＝0，那么__a＝b__結(jié)論確定隨意兩個實數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定__它們的差a－b與0__的大小關(guān)系思索2：怎樣比較a2＋b2與2ab的大小關(guān)系？提示：(作差法)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2__a>b，c>0?ac>bc__性質(zhì)3__a>b，c<0?ac<bc__性質(zhì)4a>b，b>c?a>c性質(zhì)5a>b?b<a4．不等式性質(zhì)的推論推論1__a＋b>c?a>c－b__推論2a>b，c>d?a＋c>b＋d推論3__a>b>0，c>d>0?ac>bd__推論4__a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)__推論5a>b>0?eq\r(a)>eq\r(b)思索3：利用不等式性質(zhì)應(yīng)留意哪些問題？提示：在運用不等式時，肯定要弄清不等式(組)成立的前提條件．不行強化或弱化成立的條件．如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符號”等都須要留意．基礎(chǔ)自測1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小關(guān)系是(B)A．a(chǎn)2>－a3>－a B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2 D．a(chǎn)2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故選B．2．給出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的個數(shù)是(DA．0 B．1C．2 D．3解析：①對，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；②對，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③對，a2＋b2－ab＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2≥0.3．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則下列不等關(guān)系正確的是__(1)(4)__(填序號)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是__a>－b>b>－a__.5．當m>1時，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為__m3>m2－m＋1__.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.關(guān)鍵實力·攻重難類型作差法比較大小┃┃典例剖析__■典例1比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?1)x2＋3與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小．思路探究：在比較兩個代數(shù)式的大小時，可采納作差法，再通過因式分解或者配方法推斷差的符號，當不能干脆得到正或負的結(jié)論時，還要考慮通過分類探討來確定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.歸納提升：比較兩個代數(shù)式大小的步驟：(1)作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差．(2)變形：對差進行變形．(3)推斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件推斷差的符號．(4)作出結(jié)論．這種比較大小的方法稱為作差法．其思維過程是作差→變形→推斷符號→作出結(jié)論．┃┃對點訓(xùn)練__■1．已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－eq\f(y2,4)，試比較P，Q的大?。馕觯阂驗镻－Q＝2x2－xy＋1－(2x－eq\f(y2,4))＝x2－xy＋eq\f(y2,4)＋x2－2x＋1＝(x－eq\f(y,2))2＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.類型利用不等式的性質(zhì)求范圍┃┃典例剖析__■典例2(1)已知－6<a<8,2<b<3，則2a＋b的取值范圍是__(－10,19)__，a－b的取值范圍是__(－9,6)__.(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．思路探究：(1)求a－b的取值范圍時，應(yīng)先求出－b的范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.解析：(1)∵－6<a<8，∴－12<2a∴－10<2a＋b∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝f1，,4a－c＝f2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)[f2－f1]，,c＝－\f(4,3)f1＋\f(1,3)f2.))則f(3)＝9a－c＝eq\f(8,3)f(2)－eq\f(5,3)f(1)．∵－1≤f(2)≤5，∴－eq\f(8,3)≤eq\f(8,3)f(2)≤eq\f(40,3).∵－4≤f(1)≤－1，∴eq\f(5,3)≤－eq\f(5,3)f(1)≤eq\f(20,3).∴－eq\f(8,3)＋eq\f(5,3)≤eq\f(8,3)f(2)－eq\f(5,3)f(1)≤eq\f(40,3)＋eq\f(20,3)，即－1≤f(3)≤20.歸納提升：利用不等式的性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進行解答．(2)將所給條件整體運用，切不行隨意拆分所給條件．(3)結(jié)合不等式的傳遞性進行求解．┃┃對點訓(xùn)練__■2．在本例2(1)條件下，求ab和eq\f(a,b)的取值范圍．解析：①因為－6<a<8,2<b<3，所以當0≤a<8時，0≤ab<24，當－6<a<0時，0<－a<6，所以0<－ab<18，所以－18<ab<0，綜上可知－18<ab<24.②因為－6<a<8,2<b<3，所以eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2).當0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；當－6<a<0時，0<－a<6，故0<－eq\f(a,b)<3，所以－3<eq\f(a,b)<0，綜上可知，－3<eq\f(a,b)<4.類型不等式的證明┃┃典例剖析__■1．利用不等式性質(zhì)證明不等式典例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).思路探究：要證明eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d)，由于e<0，所以只需證明eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d).假如a－c與b－d同號，那么只需證明a－c>b－d，從已知條件可以得到這個不等式，因此本題可證．解析：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).2．利用比較法證明不等式典例4設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2思路探究：要證明3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即證3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2解析：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2從而(3a2－2b2)(a－b)≥所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab歸納提升：1.簡潔不等式的證明可干脆由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過對不等式變形得證．2．對于不等號兩邊都比較困難的式子，干脆利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，依據(jù)條件確定每一個因式(式子)的符號，利用符號法則推斷最終的符號，完成證明．┃┃對點訓(xùn)練__■3．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：若ab>cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).解析：由題設(shè)知ab>cd>0，則eq\r(ab)>eq\r(cd).又a＋b＝c＋d.則(eq\r(a)＋eq\r(b))2－(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝(a＋b＋2eq\r(ab))－(c＋d＋2eq\r(cd))＝2(eq\r(ab)－eq\r(cd))>0，即(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2，而eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(c)＋eq\r(d)>0，故eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).易混易錯警示忽視不等式性質(zhì)成立的條件致錯┃┃典例剖析__■典例5給出下列命題：①若a<b，c<0，則eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②若ac－3>bc－3，則a>b；③若a>b且k∈N＋，則ak>bk；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).其中正確命題的序號是__④__.錯因探究：在運用不等式的性質(zhì)時，要考慮全面，否則會得出錯誤的結(jié)果，如①中易因沒有考慮ab<0的狀況，干脆由a<b推出eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，從而推斷①正確；③中易忽視a與b的符號，默認a，b同為正，即推出ak>bk，造成錯誤．解析：①當ab<0時，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不成立，故①不正確；②當c<0時，c3<0，不等式ac－3>bc－3的兩邊同時乘以c3，得a<b，故②不正確；③當a＝1，b＝－2，k＝2時，命題不成立，故③不正確；④a>b>0?－a<－b<0?0<c－a<c－b，同乘以eq\f(1,c－ac－b)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(a,c－b)>eq\f(b,c－b)，故④正確．誤區(qū)警示：應(yīng)用不等式的性質(zhì)時，肯定要留意“保序”時的條件，如“非負乘方保序”．還應(yīng)特殊留意“乘負反序”“同號取倒反序”等狀況．學(xué)科核心素養(yǎng)用不等式(組)表示不等關(guān)系┃┃典例剖析__■構(gòu)造不等式模型時，先要分析題目中有哪些未知量，然后選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量，再依據(jù)題目中的不等關(guān)系，即可列出不等式．留意不等式與不等關(guān)系的對應(yīng)，要不重不漏，尤其要檢驗實際問題中變量的范圍．典例6糖水在日常生活中常常見到，下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉一個怎樣的不等式呢？(1)向一杯糖水里加點糖(假設(shè)糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水肯定比淡的濃，比濃的淡．思路探究：糖水變濃、變淡與濃度有關(guān)，所提煉的不等式即為濃度的大小比較．解析：(1)設(shè)糖水為b克，含糖a(b>a)克，則糖水的濃度為eq\f(a,b)，加入m克糖后糖水的濃度為eq\f(a＋m,b＋m).提煉出的不等式：若b>a>0，m>0，則eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).(2)設(shè)淡糖水為b1克，含糖a1(b1>a1)克，則糖水的濃度為eq\f(a1,b1)；濃糖水為b2克，含糖a2(b2>a2)克，則糖水的濃度為eq\f(a2,b2).故混合后的糖水濃度為eq\f(a1＋a2,b1＋b2).提煉出的不等式：若b1>a1>0，b2>a2>0，且eq\f(a1,b1)<eq\f(a2,b2)，則eq\f(a1,b1)<eq\f(a1＋a2,b1＋b2)<eq\f(a2,b2).歸納提升：用不等式表示不等關(guān)系的步驟：(1)仔細審題，設(shè)出所求量，并確認所求量滿意的不等關(guān)系．(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等，用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用不等號連接．特殊須要考慮的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．課堂檢測·固雙基1．下列說法正確的是(C)A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．小明的身高x，小華的身高y，則小明比小華矮表示為“x>y”C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”解析：對于A，x應(yīng)滿意x≤2000，故A錯；對于B，x，y應(yīng)滿意x<y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可