2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用6.1第3課時(shí)用余弦定理正弦定理解三角形課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊(cè)

PAGE第3課時(shí)用余弦定理、正弦定理解三角形課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2024安徽高一期中)一海輪從A處動(dòng)身,以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處視察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處視察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.103海里 B.102海里C.203海里 D.202海里解析依據(jù)已知條件畫出示意圖.如圖所示,可知在△ABC中,AB=20海里,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,由正弦定理,有BCsin30°=20sin45°,所以BC=20×1222答案B2.(2024黑龍江哈九中高三月考(文))在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形態(tài)是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不能確定解析因?yàn)樵凇鰽BC中,滿意sin2A+sin2B<sin2C,所以由正弦定理知sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,R為三角形外接圓的半徑,代入上式得a又由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0,因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角,所以△ABC為鈍角三角形.故選A.答案A3.(2024天津靜海一中高一月考)若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上,且AC=BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A.北偏東15°方向上 B.北偏西15°方向上C.北偏東10°方向上 D.北偏西10°方向上解析由題意,點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上,且AC=BC,可得幾何位置關(guān)系如圖所示:過(guò)點(diǎn)B作平行于y軸的直線BE,則∠CBE=30°,∠ABC=45°,所以∠ABE=15°,故點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東15°方向上.故選A.答案A4.(多選)某人在A處向正東方向走xkm后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好3km,那么x的值為()A.3 B.23 C.33 D.3解析由題意得∠ABC=30°,由余弦定理的推論得cos30°=x2+9-36x,整理得x2-33x+6=0,解得x=23或答案AB5.(多選)在△ABC中,以下結(jié)論正確的是()A.若a2>b2+c2,則△ABC為鈍角三角形B.若a2=b2+c2+bc,則A為120°C.若a2+b2>c2,則△ABC為銳角三角形D.若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=1∶2∶3解析由cosA=b2+c2-a22bc<0,可知角A為鈍角,由a2=b2+c2+bc,結(jié)合余弦定理可知cosA=-12,所以A=120°,故B正確由a2+b2>c2,結(jié)合余弦定理可知cosC=a2+b2-c22ab>0,只能推斷角C為銳角,不能推斷角A,B的狀況,所以△由A∶B∶C=1∶2∶3可得A=30°,B=60°,C=90°,則a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=12∶32∶1≠1∶2∶3,故D錯(cuò)誤答案AB實(shí)力提升練1.如圖所示,為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了三種測(cè)量方案:(△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別記為a,b,c):①測(cè)量A,C,b;②測(cè)量a,b,C;③測(cè)量A,B,a.肯定能確定A,B間距離的全部方案的序號(hào)為()A.①② B.②③C.①③ D.①②③解析①測(cè)量A,C,b,因?yàn)橹繟,C,可求出B,由正弦定理可求出c;②測(cè)量a,b,C,已知兩邊及夾角,可利用余弦定理求出c;③測(cè)量A,B,a,因?yàn)橹繟,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三種方法都可以.答案D2.在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,則(A.sin∠CDB=3B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長(zhǎng)為8+45D.△ABC為鈍角三角形解析因?yàn)閏os∠CDB=-55,所以sin∠CDB=1-cos2∠設(shè)CD=a(a>0),則BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=5,所以S△DBC=12BD·CD·sin∠CDB=12×3×5×255=3,所以S△ABC=3+53S△因?yàn)椤螦DC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=55在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=25,所以C△ABC=AB+AC+BC=(3+5)+25+25=8+45,故C正確;因?yàn)锳B=8為最大邊,所以cosC=BC2+AC2-AB22BC·AC=-35<故選BCD.答案BCD3.(2024江蘇高二開(kāi)學(xué)考試)已知一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°,行駛4h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔的距離為km.

解析依題意,作圖如圖,由題意可知AC=15×4=60(km),在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=105°,所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,所以由正弦定理知BCsin∠所以BC=AC·sin∠CABsin∠ABC答案3024.(2024北京人大附中高三期中)已知在四邊形ABCD中,BC⊥CD,AC=3BC,∠ABC=2π(1)求∠ACB的值;(2)若BC=3,AD=13,求BD的長(zhǎng).解(1)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin又由AC=3BC,解得sin∠BAC=12因?yàn)椤螧AC為銳角,所以∠BAC=π6因此∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=π6(2)因?yàn)锽C⊥CD,所以∠BCD=π2所以∠ACD=π3設(shè)CD=x(x>0),在△ACD中,AC=3BC=3,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosπ3即(13)2=32+x2-2×3×x整理得x2-3x-4=0,解得x=4.因此,BD=BC素養(yǎng)培優(yōu)練(2024海南高一期中)如圖,在海岸A處發(fā)覺(jué)北偏東45°方向,距A處(3-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處是我方的緝私船,并奉命以103海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃跑.問(wèn):緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?求出所需時(shí)間.(注:6≈2.5,結(jié)果精確到0.1)解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲走私船(在D點(diǎn)),則CD=103t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=(3-1)2+22-2·(3-1)·2解得BC=6.又因?yàn)锽Csin∠所以sin∠ABC=AC·所以∠ABC=45°,故B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,所以∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,