2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)與對(duì)數(shù)章末綜合提升教學(xué)案含解析蘇教版必修第一冊(cè)

PAGE1-指數(shù)與對(duì)數(shù)[鞏固層·學(xué)問(wèn)整合][提升層·題型探究]指數(shù)的運(yùn)算指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．[思路點(diǎn)撥]依據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，但應(yīng)留意乘法公式的應(yīng)用．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循的原則對(duì)數(shù)運(yùn)算首先留意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的改變，前后要等價(jià)，嫻熟地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式，換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧．2．對(duì)于底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)常用的方法(1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)．(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差)．【例2】計(jì)算下列各式：eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．計(jì)算下列各式：(1)eq\f(1,2)lg25＋lg2＋lgeq\r(10)＋lg(0．01)－1；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－3log55．[解](1)法一：原式＝lg[25eq\s\up12(eq\f(1,2))×2×10eq\s\up12(eq\f(1,2))×(10－2)－1]＝lg(5×2×10eq\s\up12(eq\f(1,2))×102)＝lg10eq\s\up12(eq\f(7,2))＝eq\f(7,2)．法二：原式＝eq\f(1,2)lg52＋lg2＋eq\f(1,2)lg10－lg10－2＝(lg5＋lg2)＋eq\f(1,2)－(－2)＝lg10＋eq\f(1,2)＋2＝1＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(7,2)．(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1．法二：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2－3＝－1．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求值對(duì)于帶有附加條件的與對(duì)數(shù)式有關(guān)的求值問(wèn)題，假如附加條件比較困難，則需先對(duì)其進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，并充分利用其最簡(jiǎn)結(jié)果解決問(wèn)題．詳細(xì)解決方法：(1)留意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，有些須要將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，而有些須要將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式；(2)留意換底公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)全方位、多角度地思索，留意已知條件和所求式子的前后照應(yīng)．【例3】若lga＋lgb＝4，lga·lgb＝eq\f(1,4)，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb2＋lga2,lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb＋lga2－2lgalgb,lgalgb)＝4×eq\f(42－2×\f(1,4),\f(1,4))＝248．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．若logab＋3logba＝eq\f(13,2)，則用a表示b的式子是．b＝eq\r(a)或b＝a6[原式可化為eq\f(1,logba)＋3logba＝eq\f(13,2)，整理得3(logba)2＋1－eq\f(13,2)logba＝0，即6(logba)2－13logba＋2＝0．解得logba＝2或logba＝eq\f(1,6)，所以b2＝a或beq\s\up12(eq\f(1,6))＝a．即b＝eq\r(a)或b＝a6．]5．已知lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log2eq\f(a,b)的值．[解]因?yàn)閘ga＋lgb＝2lg(a－2b)，所以lgab＝lg(a－2b)2，ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，即(a－b)(a－4b)＝0，所以a＝b或a＝4b．又因?yàn)閍－2b>0，所以a＝4b，log2eq\f(a,b)＝log24＝2．解簡(jiǎn)潔的指數(shù)和對(duì)數(shù)方程解簡(jiǎn)潔的指數(shù)和對(duì)數(shù)方程的三種方法(1)化同底：將指數(shù)方程變形為am＝an?m＝n．形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的對(duì)數(shù)方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化為M＝N，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M>0，,N>0))求解．(2)定義法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程時(shí)，常借助對(duì)數(shù)的定義等價(jià)轉(zhuǎn)化為M＝ab求解．(3)換元法：設(shè)t＝ax(t＝logax)，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程求出t，再解出x．【例4】依據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x的值：(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；(2)32x＋1－6x＝22x＋2．[解](1)原方程可化為log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝eq\f(4,3)．經(jīng)檢驗(yàn)知，原方程的解為x＝eq\f(4,3)．(2)原方程可化為3×32x－2x×3x－4×22x＝0，因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，則3×3x－4×2x＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＝eq\f(4,3)，解得x＝logeq\s\do12(eq\f(3,2))eq\f(4,3)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])6．解下列關(guān)于x的方程：(1)lgeq\r(x－1)＝lg(x－1)；(2)log4(3－x)＋log0．25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0．25(2x＋1)．[解](1)原方程等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x－1)＝x－1,x－1>0.))解之得x＝2．經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的解，所以原方程的解為x＝2．(2)原方程可化為log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2