第04講-數(shù)列求和-(分層精練)(解析版)

第04講數(shù)列求和A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列滿(mǎn)足，，則其前2023項(xiàng)和為（

）A．1360 B．1358 C．1350 D．1348【答案】C【詳解】∵，，∴，故選:C.2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，所以.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【詳解】由于，故原式.4．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，故選：C5．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，，，，，所以，所以，，，，，所以?shù)列的前項(xiàng)和為.故選：A.6．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，故可得，，…，，及累加可得，則，所以，則．故選：B．7．（2023春·廣東江門(mén)·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．31 B．77 C．171 D．217【答案】C【詳解】由，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選：C.8．（2023秋·福建南平·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意,即,∴時(shí)，，又，∴時(shí)，，，，易知是遞增數(shù)列，∴的最小值是（時(shí)取得），由題意，解得．故選：B．二、多選題9．（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖，在長(zhǎng)度為的線(xiàn)段上取兩個(gè)點(diǎn)、，使得，以為邊在線(xiàn)段的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉，就得到圖形；對(duì)圖形中的最上方的線(xiàn)段作同樣的操作，得到圖形；依次類(lèi)推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖，圖，圖，圖，各圖中的線(xiàn)段長(zhǎng)度和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．B．C．恒成立D．存在正數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立【答案】BCD【詳解】由題意可得：圖最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度是圖最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度的，則圖最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度為，圖的線(xiàn)段長(zhǎng)度和比圖的線(xiàn)段長(zhǎng)度和多兩個(gè)圖最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度，則，故A錯(cuò)誤；∵，當(dāng)時(shí)，則，即；當(dāng)時(shí)，則符合上式；故，C正確；∵，∴，B正確；∵，則數(shù)列的前項(xiàng)和，故當(dāng)時(shí)，則恒成立，D正確；故選：BCD.10．（2023春·江西吉安·高二永豐縣永豐中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，，且，，是一個(gè)等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)，記，則的前項(xiàng)和可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，是一個(gè)等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)，得，即，整理得，即或．或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．若，則的前項(xiàng)和為；若，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，，，則．故選：BD三、填空題11．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校┮阎獢?shù)列{}的前n項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則__________【答案】2024【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.故答案為：.12．（2023春·新疆烏魯木齊·高二兵團(tuán)二中?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列滿(mǎn)足，則___________．（用具體數(shù)值作答）【答案】【詳解】因?yàn)椋?，故答案?.四、解答題13．（2023春·北京東城·高二北京二中校考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由題意可得，,故,解得.又，,所以，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以.14．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知遞增數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)Sn=.【詳解】（1）由，得，即，若，則，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為7公差為4的等差數(shù)列；若，由，得，（舍去）；綜上：；（2）由（1）知，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，作差可得：，所以，故的前n項(xiàng)和為Sn=.B能力提升1．（2023春·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝ax＋b(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，Q(2，5)．當(dāng)n∈N*時(shí)，an＝，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)Sn＝時(shí)，n的值為（

）A．7 B．6C．5 D．4【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ax＋b(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，Q(2，5)，所以得或(舍去)，所以f（x）＝2x＋1，所以an＝，所以Sn＝，令Sn＝，得n＝4.故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】降標(biāo)相減可得即變形得：，降標(biāo)相減可得可算得，，即是等差數(shù)列，可得，所以，所以錯(cuò)位相減可得.所以.故選：B3．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.4．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，即，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.（2）由，由（1）知是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，①所以，②①-②得，所以，所以.因?yàn)?，所以，由于，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正整數(shù)的最大值為8.5．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，定義，且記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，是“平方遞推數(shù)列”．

因?yàn)?，?duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，

由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又由，得

當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，，

綜上，C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）垛積術(shù)源于北宋科學(xué)家沈括首創(chuàng)的隙積術(shù)，用來(lái)研究某種物品按一定規(guī)律堆積起來(lái)求其總數(shù)問(wèn)題，后世數(shù)學(xué)家又豐富和發(fā)展了這一成果某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：貨物自上而下，第一層有1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層有件，已知第一層貨物的單價(jià)是1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的．若這堆貨物的總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【詳解】設(shè)這堆貨物的總價(jià)為萬(wàn)元，則①，②，由①-②，得，，所以，解得．故選：B2．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，，對(duì)，恒成立，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______；若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和________．【答案】【詳解】由于，，所以成等差數(shù)列，又，，所以的公差，，，又，所以，，；故答案為：①，②.3．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考三模）意大利數(shù)學(xué)家傲波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，數(shù)列中的每一項(xiàng)被稱(chēng)為斐波那契數(shù)，記作Fn.已知，，（，且n>2）.（1）若斐波那契數(shù)Fn除以4所得的余數(shù)按原順序構(gòu)成數(shù)列，則___________.（2）若，則___________.【答案】2697/-1+a【詳解】（1）由題意，，則，，則，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，故由斐波那契數(shù)除以4的余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列，是以6為最小正周期的數(shù)列，因?yàn)?，所以；?）由斐波那契數(shù)的遞推關(guān)系可知：時(shí)，且，，所以.故答案為：2697，a-14．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．【答