2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-1.4全稱量詞與存在量詞1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入“哥德巴赫猜想”大致可以分為兩個(gè)猜想：(1)每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；(2)每個(gè)不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和．雖然通過大量試驗(yàn)，這兩個(gè)命題是正確的，但是還須要證明．從1920年布朗證明“9＋9”到1966年陳景潤攻下“1＋2”，歷經(jīng)46年．自“陳氏定理”誕生至今的40多年里，人們對(duì)哥德巴赫猜想的進(jìn)一步探討，均勞而無功．新知導(dǎo)學(xué)1．短語“__對(duì)全部的__”“__對(duì)隨意一個(gè)__”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“__?__”表示，含有全稱量詞的命題，叫做__全稱命題__.2．全稱命題的表述形式：對(duì)M中隨意一個(gè)x，有p(x)成立，可簡記為：__?x∈M，p(x)__.3．常用的全稱量詞還有“全部”“每一個(gè)”“任何”“隨意”“一切”“任給”“全部”，表示__整體或全部__的含義．4．短語“__存在一個(gè)__”“__至少有一個(gè)__”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“__?__”表示，含有存在量詞的命題，叫做__特稱命題__.5．特稱命題的表述形式：存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立，可簡記為，__?x0∈M，p(x0)__.6．存在量詞：“有些”“有一個(gè)”“存在”“某個(gè)”“有的”，表示__個(gè)別或一部分__的含義．預(yù)習(xí)自測(cè)1．下列命題：①有一個(gè)實(shí)數(shù)不能作除數(shù)；②棱柱是多面體；③全部方程都有實(shí)數(shù)解；④有些三角形是銳角三角形．其中是特稱命題的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①④是特稱命題；②③是全稱命題．2．下列不是全稱量詞的是(D)A．隨意一個(gè) B．全部的C．每一個(gè) D．許多[解析]A、B、C中的量詞都是全稱量詞，D中的量詞是存在量詞，故選D．3．下列語句不是全稱命題的是(C)A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．有些自然數(shù)不是正整數(shù)D．每一個(gè)向量都有大小[解析]C項(xiàng)中不含全稱量詞，不是全稱命題．4．(2024·遼寧沈陽高二檢測(cè))下列命題中是全稱命題的是(A)A．圓有內(nèi)接四邊形B．eq\r(3)>eq\r(2)C．eq\r(3)<eq\r(2)D．若三角形的三邊長分別為3、4、5，則這個(gè)三角形為直角三角形[解析]選項(xiàng)A中命題為“全部的圓都有內(nèi)接四邊形”，是全稱命題．5．若對(duì)隨意x>3，x>a恒成立，則a的取值范圍是__(－∞，3]__.[解析]a<x在x∈(3，＋∞)恒成立，令g(x)＝x，則a<g(x)min，∵g(x)min>g(3)＝3，∴a≤3.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?全稱命題、特稱命題的判定典例1推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題？(1)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；(3)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(4)有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(5)有些三角形不是等腰三角形；(6)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交．[思路分析]推斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題，關(guān)鍵是兩點(diǎn)：一是是否具有兩類命題所要求的量詞；二是依據(jù)命題的含義推斷指的是全體，還是全體中的個(gè)別元素．[解析](1)中含有全稱量詞“都”，所以是全稱命題．(2)中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，所以是特稱命題．(3)中省略了全稱量詞“都”，所以是全稱命題．(4)中含有存在量詞“有的”，所以是特稱命題．(5)中含有存在量詞“有些”，所以是特稱命題．(6)中含有全稱量詞“每個(gè)”，所以是全稱命題．『規(guī)律方法』推斷一個(gè)語句是全稱命題還是特稱命題的步驟：1．首先判定語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題．2．若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是特稱命題．3．當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要留意理解命題含義的實(shí)質(zhì)．4．一個(gè)全稱(或特稱)命題往往有多種不同的表述方法，有時(shí)可能會(huì)省略全稱(存在)量詞，應(yīng)結(jié)合詳細(xì)問題多加體會(huì)．┃┃跟蹤練習(xí)1__■推斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)有些素?cái)?shù)的和仍是素?cái)?shù)；(4)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直．[解析](1)可以改寫為“全部的凸多邊形的外角和都等于360°”，故為全稱命題．(2)含有存在量詞“有的”，故為特稱命題．(3)含有存在的量詞“有些”，故為特稱命題．(4)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是全部的菱形，故為全稱命題．命題方向?全稱命題和特稱命題真假的推斷典例2給出下列四個(gè)命題：①?x∈R，x2＋2>0；②?x∈N，x4≥1；③?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1；④?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3.其中是真命題的是__①③__(把全部真命題的序號(hào)都填上)．[解析]①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題．②由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立．所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題．③由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x3<1成立．所以命題“?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1”是真命題．④由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)．因此，沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3.所以命題“?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3”是假命題．『規(guī)律方法』1.全稱命題的真假推斷要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必需對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x＝x0，使得p(x0)不成馬上可．2．特稱命題的真假推斷要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成馬上可；否則，這一特稱命題就是假命題．┃┃跟蹤練習(xí)2__■推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并推斷其真假：(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)α，使得tanα無意義；(2)隨意的x∈{3,5,7},3x＋1是偶數(shù)；(3)存在x∈R,2x＝－eq\f(1,2).[解析](1)命題中含有存在量詞“有一個(gè)”，因此是特稱命題．由于taneq\f(π,2)無意義，因此是真命題．(2)命題中含有全稱量詞“隨意的”，因此是全稱命題．把3、5、7分別代入3x＋1，得10、16、22都是偶數(shù)，因此是真命題．(3)命題中含有存在量詞“存在”，因此是特稱命題．由于使2x>0對(duì)x∈R恒成立，因此，沒有一個(gè)實(shí)數(shù)使2x＝－eq\f(1,2)，所以是假命題．學(xué)科核心素養(yǎng)利用全稱命題和特稱命題的真假求參數(shù)范圍典例3命題p：?x∈R，sinxcosx≥m，若命題p是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]m≤sinxcosx，?x∈R恒成立，令f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，f(x)min＝－eq\f(1,2)，?x∈R，∴m≤－eq\f(1,2)，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍(－∞，－eq\f(1,2)]．┃┃跟蹤練習(xí)3__■若命題“?x0∈R使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m＋5<0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．[－10,6] B．(－6,2]C．[－2,10] D．(－2,10)易混易錯(cuò)警示留意精確把握語句的真實(shí)含義典例4指出下列命題是全稱命題還是特稱命題．(1)“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”；(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1；(3)有的平面四邊形兩對(duì)角線相互垂直．[錯(cuò)解](1)無法判定．(2)特稱命題．(3)全稱命題．[錯(cuò)解分析]