2024-2025學年高中數(shù)學1.3周練卷2習題含解析新人教A版必修4

周練卷(二)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．sin(－eq\f(16π,3))的值為(D)A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：sin(－eq\f(16π,3))＝－sineq\f(16π,3)＝－sin(5π＋eq\f(π,3))＝－(－sineq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)，故選D.2．化簡sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值為(D)A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.3．已知cosα＝k，k∈R，α∈(eq\f(π,2)，π)，則sin(π＋α)＝(A)A．－eq\r(1－k2) B.eq\r(1－k2)C．±eq\r(1－k2) D．－k解析：∵cosα＝k，α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－k2)，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\r(1－k2)，故選A.4．若α為第三象限角，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值為(B)A．3B．－3C．1D．－1解析：因為α為第三象限角，所以eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.5．化簡sin(α＋eq\f(π,2))·cos(α－eq\f(3π,2))·tan(eq\f(π,2)－α)的結(jié)果是(C)A．1 B．sin2αC．－cos2α D．－1解析：因為sin(α＋eq\f(π,2))＝cosα，cos(α－eq\f(3π,2))＝cos[π＋(eq\f(π,2)－α)]＝－sinα，tan(eq\f(π,2)－α)＝eq\f(sin\f(π,2)－α,cos\f(π,2)－α)＝eq\f(cosα,sinα)，所以原式＝cosα(－sinα)eq\f(cosα,sinα)＝－cos2α，選C.6．若|sinα|＝cos(eq\f(π,2)＋α)，則角α的集合為(D)A．{α|2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z}B．{α|2kπ≤α≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}C．{α|2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}D．{α|π＋2kπ≤α≤2π＋2kπ，k∈Z}解析：本題考查三角函數(shù)的誘導公式以及三角函數(shù)值符號的判定．∵|sinα|＝cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα，∴sinα≤0，∴角α的集合為{α|π＋2kπ≤α≤2π＋2kπ，k∈Z}，故選D.7．已知cos29°＝m，則sin241°tan151°的值是(B)A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C.eq\f(m2－1,m) D．－eq\r(1－m2)解析：本題考查誘導公式以及平方關系式的應用．∵sin241°＝sin(180°＋61°)＝－sin61°＝－cos29°，tan151°＝tan(180°－29°)＝－tan29°，∴sin241°tan151°＝sin29°＝eq\r(1－cos229°)＝eq\r(1－m2)，故選B.二、填空題(每小題5分，共20分)8．計算taneq\f(7π,4)＝－1.解析：本題考查三角函數(shù)的誘導公式以及特別角的三角函數(shù)值．taneq\f(7π,4)＝tan(2π－eq\f(π,4))＝－taneq\f(π,4)＝－1.9．sin315°－cos135°＋2sin570°的值是－1.解析：本題考查三角函數(shù)的誘導公式的應用．原式＝sin(360°－45°)－cos(180°－45°)＋2sin(360°＋210°)＝－sin45°＋cos45°＋2sin210°＝－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋2sin(180°＋30°)＝－2sin30°＝－2×eq\f(1,2)＝－1.10．已知cos(eq\f(π,2)＋φ)＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，則tanφ＝－eq\r(3).解析：本題考查利用三角函數(shù)的誘導公式解決求值問題．由cos(eq\f(π,2)＋φ)＝eq\f(\r(3),2)，得sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴tanφ＝－eq\r(3).11．給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論序號是③④.①sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是角α是銳角；②若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosα＝eq\f(1,3)；③若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則tan(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(－1,tanα)；④若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝1.解析：由誘導公式二，知α∈R時，sin(π＋α)＝－sinα，所以①錯誤．當n＝2k(k∈Z)時，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此時cosα＝eq\f(1,3)，當n＝2k＋1(k∈Z)時，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此時cosα＝－eq\f(1,3)，所以②錯誤．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則tan(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(sin\f(π,2)＋α,cos\f(π,2)＋α)＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，所以③正確．將等式sinα＋cosα＝1兩邊平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，則cosα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，則sinα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1.所以④正確．三、解答題(本大題共3小題，共45分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)12．(15分)化簡：eq\f(cosπ－θ,cosθ[sin\f(3π,2)－θ－1])＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\f(π,2)＋θ－sin\f(3π,2)＋θ).解：原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ＋1＋cosθ,1＋cosθ1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ).13．(15分)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求eq\f(sin－α－\f(3π,2)cos\f(3π,2)－α,cos\f(π,2)－αsin\f(π,2)＋α)·tan2(π－α)的值．解：原式＝eq\f(－sinπ＋\f(π,2)＋αcosπ＋\f(π,2)－α,sinαcosα)·tan2α＝eq\f(－sin\f(π,2)＋αcos\f(π,2)－α,sinαcosα)·tan2α＝eq\f(－cosαsinα,sinαcosα)·tan2α＝－tan2α.∵方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).∴tanα＝eq\f(3,4)，故原式＝－tan2α＝－eq\f(9,16).14．(15分)已知A，B，C為△ABC的內(nèi)角．(1)求證：cos2eq\f(A＋B,2)＋cos2eq\f(C,2)＝1；(2)若cos(eq\f(π,2)＋A)sin(eq\f(3π,2)＋B)tan(C－π)<0，求證：△ABC為鈍角三角形．證明：(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，∴coseq\f(A＋B,2)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(C,2))＝sineq\f(C,2).∴cos2eq\f(A＋B,2)＋cos2eq\f(C,2)＝sin2eq\f(C,2)＋cos2