2024高考物理專題教案第04章-曲線運(yùn)動(dòng)

第四章：曲線運(yùn)動(dòng)

本章內(nèi)容包括圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)部分和物體做圓周運(yùn)動(dòng)的能量問題，其核心內(nèi)容是牛頓其

次定律、機(jī)械能守恒定律等學(xué)問在圓周運(yùn)動(dòng)中的詳細(xì)應(yīng)用。本章中所涉及到的基本方法與其

次章牛頓定律的方法基本相同，只是在詳細(xì)應(yīng)用學(xué)問的過程中要留意結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：

物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此利用矢量合成的

方法分析物體的受力狀況同樣也是本章的基本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指

向圓心，物體才做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。依據(jù)牛頓其次定律合外力與加速度的瞬時(shí)關(guān)系可知，當(dāng)物

體在圓周上運(yùn)動(dòng)的某一瞬間的合外力指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD其次定律對(duì)這一時(shí)刻列出

相應(yīng)的牛頓定律的方程，如豎直圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的問題。另外，由于在詳細(xì)的圓

周運(yùn)動(dòng)中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，與物體的運(yùn)動(dòng)方向垂直，因此向心力

對(duì)物體不做功，所以物體的機(jī)械能守恒。

★命題規(guī)律

本章學(xué)問點(diǎn)，從近幾年高考看，主要考查的有以下幾點(diǎn)：（1）平拋物體的運(yùn)動(dòng)。（2）勻速

圓周運(yùn)動(dòng)及其重要公式，如線速度、角速度、向心力等。（3）萬有引力定律及其運(yùn)用。（4）

運(yùn)動(dòng)的合成與分解。留意圓周運(yùn)動(dòng)問題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在曲線運(yùn)動(dòng)中的詳細(xì)應(yīng)用,要加深對(duì)

牛頓其次定律的理解，提高應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析、解決實(shí)際問題的實(shí)力。近幾年對(duì)人造衛(wèi)

星問題考查頻率較高，它是對(duì)萬有引力的考查。衛(wèi)星問題與現(xiàn)代科技結(jié)合親密，對(duì)理論聯(lián)系

實(shí)際的實(shí)力要求較高，要引起足夠重視。本章內(nèi)容常與電場、磁場、機(jī)械能等學(xué)問綜合成難

度較大的試題，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)加強(qiáng)綜合實(shí)力的培育。

從近幾年的高考試題可以看出，曲線運(yùn)動(dòng)的探討方法一一運(yùn)動(dòng)的合成與分解、平拋運(yùn)動(dòng)和

圓周運(yùn)動(dòng)；萬有引力定律與牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合分析天體、人造衛(wèi)星、宇宙飛船、航天飛機(jī)的

運(yùn)動(dòng)問題，估算天體的質(zhì)量和密度問題，反映了現(xiàn)代科技信息與現(xiàn)代科技發(fā)展親密聯(lián)系是高

考命題的熱點(diǎn)。例如2024全國I第17題，山東基本實(shí)力第32題，全國II第25題，廣東單科

第12題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，2024年全國I、n、UI卷以及北京理綜、廣東物理均考

查了人造衛(wèi)星在萬有引力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)問題。再如2024全國I卷、江蘇物理、天津理綜、

重慶理綜、廣東物理均考查了人造衛(wèi)星及萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用問題。

預(yù)料在今后的高考中平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其探討方法、圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、線速度和向心加

速度仍是高考的熱點(diǎn)。與實(shí)際應(yīng)用和與生產(chǎn)、生活、科技聯(lián)系命題已經(jīng)成為一種命題的趨向，

特殊是神舟系列飛船的放射勝利、探月安排的實(shí)施，更會(huì)結(jié)合萬有引力進(jìn)行命題。

★復(fù)習(xí)策略

在本專題內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，肯定要多與萬有引力、天體運(yùn)動(dòng)、電磁場等學(xué)問進(jìn)行綜合，以便

開闊視野，提高自己分析綜合實(shí)力。

1.在復(fù)習(xí)詳細(xì)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)側(cè)重曲線運(yùn)動(dòng)分析方法，能夠嫻熟地將曲線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)

動(dòng)。如平拋運(yùn)動(dòng)就是將曲線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體

運(yùn)動(dòng)再進(jìn)行處理的。對(duì)于豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，由于涉及學(xué)問較多而成犯難點(diǎn)和重點(diǎn)。就

圓周運(yùn)動(dòng)的自身而言有一個(gè)臨界問題，同時(shí)又往往與機(jī)械能守恒結(jié)合在一起命題。在有關(guān)圓

周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的各種狀況下的各物理量的臨界值的分析和計(jì)算應(yīng)作為復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)突破內(nèi)

容，極值分析法、數(shù)學(xué)分析法是分析處理物理問題的基本方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和薄

弱環(huán)節(jié)。

2.天體問題中，由于公式的形式比較困難，計(jì)算中得到的中間公式特殊多，向心力的表

達(dá)式也比較多，簡單導(dǎo)致混亂。所以要求在處理天體問題時(shí)，明確列式時(shí)依據(jù)的物理關(guān)系（一

般是牢牢抓住萬有引力供應(yīng)向心力），技巧性地選擇適當(dāng)?shù)墓?，才能正確、簡便地處理問

題。

3.萬有引力定律還有一個(gè)重要的應(yīng)用就是估算天體的質(zhì)量或平均密度。問題的核心在于:

（1）探討一天體繞待測天體的圓周運(yùn)動(dòng)。（2）二者之間的萬有引力供應(yīng)向心力。

4.萬有引力定律是力學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的基本定律，它也是牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用的一個(gè)延長，

學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容要具有豐富的空間想象建模實(shí)力以及學(xué)科間的綜合實(shí)力。

1、記住物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件，能推斷物體是否做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

2、記住勻速圓周運(yùn)動(dòng)的V、3、7、f、Q、向心力等運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。

3、知道解勻速圓周運(yùn)動(dòng)題的一般步驟（與牛頓其次定律解題思中相同）。

4、駕馭幾種情景中的圓周運(yùn)動(dòng)：

①重力場中豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)（留意臨界條件）。

②天體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

③點(diǎn)電荷的電場中帶電粒子可以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

④帶電粒子只受洛侖磁力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)（留意有界磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和解法）。

⑤復(fù)合場中的圓周運(yùn)動(dòng)。

第一模塊：曲線運(yùn)動(dòng)、運(yùn)動(dòng)的合成和分解

r夯實(shí)基礎(chǔ)學(xué)問j

■考點(diǎn)一、曲線運(yùn)動(dòng)

1、定義：運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)。

2、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的方向：

做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度方向始終在軌跡的切線方向上，即某一點(diǎn)的瞬時(shí)速度的方向，

就是通過該點(diǎn)的曲線的切線方向。

3、曲線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

由于運(yùn)動(dòng)的速度方向總沿軌跡的切線方向，又由于曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡是曲線，所以曲線運(yùn)動(dòng)

的速度方向時(shí)刻變更。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不斷變更，所以說：曲線運(yùn)動(dòng)

肯定是變速運(yùn)動(dòng)，

由于曲線運(yùn)動(dòng)速度肯定是變更的，至少其方向總是不斷變更的，所以，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體

的加速度必不為零，所受到的合外力必不為零。

4、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件

（1）物體做一般曲線運(yùn)動(dòng)的條件

物體所受合外力（加速度）的方向與物體的速度方向不在一條直線上。

（2）物體做平拋運(yùn)動(dòng)的條件

物體只受重力，初速度方向?yàn)樗椒较颉?/p>

可推廣為物體做類平拋運(yùn)動(dòng)的條件：物體受到的恒力方向與物體的初速度方向垂直。

（3）物體做圓周運(yùn)動(dòng)的條件

物體受到的合外力大小不變，方向始終垂直于物體的速度方向，且合外力方向始終在同一

個(gè)平面內(nèi)（即在物體圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面內(nèi)）

總之，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力肯定指向曲線的凹側(cè)。

5、分類

⑴勻變速曲線運(yùn)動(dòng)：物體在恒力作用下所做的曲線運(yùn)動(dòng)，如平拋運(yùn)動(dòng)。

⑵非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)：物體在變力（大小變、方向變或兩者均變）作用下所做的曲線運(yùn)動(dòng)，

如圓周運(yùn)動(dòng)。

■考點(diǎn)二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1、運(yùn)動(dòng)的合成：從已知的分運(yùn)動(dòng)來求合運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的合成，包括位移、速度和加速

度的合成，由于它們都是矢量，所以遵循平行四邊形定則。運(yùn)動(dòng)合成重點(diǎn)是推斷合運(yùn)動(dòng)和分

運(yùn)動(dòng)，一般地，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)。

2、運(yùn)動(dòng)的分解：求一個(gè)已知運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)，叫運(yùn)動(dòng)的分解，解題時(shí)應(yīng)按實(shí)際“效果”分解，

或正交分解。

3、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：

⑴運(yùn)動(dòng)的等效性（合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)是等效替代關(guān)系，不能并存）；

⑵等時(shí)性：合運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間和對(duì)應(yīng)的每個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

（3）獨(dú)立性：一個(gè)物體可以同時(shí)參加幾個(gè)不同的分運(yùn)動(dòng)，物體在（工何一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，都按

其本身的規(guī)律進(jìn)行，不會(huì)因?yàn)槠渌较虻倪\(yùn)動(dòng)是否存在而受到影響。

⑷運(yùn)動(dòng)的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四邊形定則。）

4、運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡

⑴物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)由加速度確定（加速度為零時(shí)物體靜止或做勻速運(yùn)動(dòng)；加速度恒定時(shí)物

體做勻變速運(yùn)動(dòng)；加速度變更時(shí)物體做變加速運(yùn)動(dòng)）。

⑵物體運(yùn)動(dòng)的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關(guān)系確定（速度與加

速度方向在同一條直線上時(shí)物體做直線運(yùn)動(dòng)；速度和加速度方向成角度時(shí)物體做曲線運(yùn)動(dòng)）。

常見的類型有：

（1）a=0：勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜I二。

（2）。恒定：性質(zhì)為勻變速運(yùn)動(dòng)，分為：

①

②V、。同向，勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

③v、a反向，勻減速直線運(yùn)動(dòng)：

⑵v、a成角度，勻變速曲線運(yùn)動(dòng)（軌跡在心。之間，和速度v的方向相切，方向漸漸向

（3）a變更：性質(zhì)為變加速運(yùn)動(dòng)。如簡諧運(yùn)動(dòng)，加速度大小、方向都隨時(shí)間變更。

詳細(xì)如：

①兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)肯定是勻速直線運(yùn)動(dòng)。

②一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍舊是勻變速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者共線時(shí)為

勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不共線時(shí)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

③兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)肯定是勻變速運(yùn)動(dòng)，若合初速度方向與合加速度方向在同

一條直線上時(shí)，則是直線運(yùn)動(dòng)，若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上時(shí)，則是曲

線運(yùn)動(dòng)。

其次模塊：平拋運(yùn)動(dòng)

r夯實(shí)基礎(chǔ)學(xué)問j

平拋運(yùn)動(dòng)

1、定義：平拋運(yùn)動(dòng)是指物體只在重力作用下，從水平初速度起先的運(yùn)動(dòng)。

2、條件：

a、只受重力；b、初速度與重力垂直.

3、運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：盡管其速度大小和方向時(shí)刻在變更，但其運(yùn)動(dòng)的加速度卻恒為重力加速度g,

因而平拋運(yùn)動(dòng)是一個(gè)勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。a=g

4、探討平拋運(yùn)動(dòng)的方法：通常，可以把平拋運(yùn)動(dòng)看作為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合動(dòng)動(dòng)：一個(gè)是水

平方向（垂直于恒力方向）的勻速直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是豎直方向（沿著恒力方向）的勻加速直

線運(yùn)動(dòng)。水平方向和豎直方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)既具有獨(dú)立性，又具有等時(shí)性.

5、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

①水平速度：Vx=Vo，豎直速度：Vy=gf

合速度（實(shí)際速度）的大小：P=+/

物體的合速度y與x軸之間的夾角為：

.Lgt

tana=—=—

匕%

②水平位移：x=v0/,豎直位移y=

合位移（實(shí)際位移）的大?。簊=yjx2+y2

物體的總位移s與x軸之間的夾角為：

tanQ*

x2v0

可見，平拋運(yùn)動(dòng)的速度方向與位移方向不相同。

而且tana=2tan?而。二10

軌跡方程：由x=%r和y消去，得到：y二三一?？梢娖綊佭\(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物

22%

線。

6、平拋運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)結(jié)論

①落地時(shí)間由豎直方向分運(yùn)動(dòng)確定:

②水平飛行射程由高度和水平初速度共同確定:

[2k

V7

③平拋物體隨意時(shí)刻瞬時(shí)速度P與平拋初速度網(wǎng)夾角ea的正切值為位移s與水平位移x

夾角e正切值的兩倍。

④平拋物體隨意時(shí)刻瞬時(shí)速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距離

都等于水平位移的一半。

12

ofX

證明：tan?=^-=^——=>5=-

%s2

⑤平拋運(yùn)動(dòng)中，隨意一段時(shí)間內(nèi)速度的變更量Av=gAt,方向恒為豎直向下（與g同向）。

隨意相同時(shí)間內(nèi)的△丁都相同（包括大小、方向），如右圖。

⑥以不同的初速度，從傾角為。的斜面上沿水平方向拋出的物體，再次落到斜面上時(shí)速度

與斜面的夾角。相同，與初速度無關(guān)。（飛行的時(shí)間與速度有關(guān)，速度越大時(shí)間越長。）

如右圖：所以/=

tan（a+^）=—=—

巳%

所以tan（a+。）=2tan,0為定值故a也是定值與速度無關(guān)。

⑦速度妙的方向始終與重力方向成一夾角，故其始終為曲線運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的增加，tan9

變大，eT,速度U與重力的方向越來越靠近，但恒久不能到達(dá)。

⑧從動(dòng)力學(xué)的角度看：由于做平拋運(yùn)動(dòng)的物體只受到重力，因此物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)

械能守恒。

7、平拋運(yùn)動(dòng)的試驗(yàn)探究

①如圖所示，用小錘打擊彈性金屬片，金屬片把4球沿水平方向拋出，同時(shí)8球松開，自由

下落，4、8兩球同時(shí)起先運(yùn)動(dòng)。視察到兩球同時(shí)落地，多次變更小球距地面的高度和打擊力

度，重復(fù)試驗(yàn)，視察到兩球落地，這說明向小球4在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)。

②如圖，將兩個(gè)質(zhì)量相等的小鋼球從斜面的同一高度處由靜止同時(shí)釋放，滑道2與光滑水

平板吻接，則將視察到的現(xiàn)象是48兩個(gè)小球在水平面上相遇，變更釋放點(diǎn)的高度和上面滑

道對(duì)地的高度，重復(fù)試驗(yàn)，48兩球仍會(huì)在水平面上相遇，這說明平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上的

分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)。

8、類平拋運(yùn)動(dòng)

（1）有時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)很相像，也是在某方向物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，另一垂直

方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)這種運(yùn)動(dòng)，像平拋又不是平效，通常稱作類平拋運(yùn)

動(dòng)。

2、類平拋運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)：

物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

3、類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：

在初速度%方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度

一殳。處理時(shí)和平拋運(yùn)動(dòng)類似，但要分析清晰其加速度的大小和方向如何，分別運(yùn)用兩個(gè)

tn

分運(yùn)動(dòng)的直線規(guī)律來處理。

第三模塊：圓周運(yùn)動(dòng)

r夯實(shí)基礎(chǔ)學(xué)問」

勻速圓周運(yùn)動(dòng)

1、定義：物體運(yùn)動(dòng)軌跡為圓稱物體做圓周運(yùn)動(dòng)。

2、分類：

⑴勻速圓周運(yùn)動(dòng)：

質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，假如在隨意相等的時(shí)間里通過的圓弧長度相等，這種運(yùn)動(dòng)就叫做勻速圓

周運(yùn)動(dòng)。

物體在大小恒定而方向總跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲線運(yùn)動(dòng)。

留意：這里的合力可以是萬有引力一一衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)、庫侖力一一電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力

一一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)、彈力一一繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉(zhuǎn)、

重力與彈力的合力一一錐擺、靜摩擦力一一水平轉(zhuǎn)盤上的物體等.

⑵變速圓周運(yùn)動(dòng)：假如物體受到約束，只能沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，而速率不斷變更一一如小球

被繩或桿約束著在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，是變速率圓周運(yùn)動(dòng).合力的方向并不總跟速度方向垂直.

3、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量

(1)軌道半徑(r)：對(duì)于一般曲線運(yùn)動(dòng)，可以理解為曲率半徑。

(2)線速度(v)：

①定義：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)通過的弧長S和所用時(shí)間【的比值，叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

線速度。

②定義式：v=-

t

③線速度是矢量：質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)某點(diǎn)線速度的方向就在圓周該點(diǎn)切線方向上，事實(shí)

上，線速度是速度在曲線運(yùn)動(dòng)中的另一稱謂，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度的大小等于平均速

率。

(3)角速度(切，又稱為圓頻率)：

①定義：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)和圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度跟所用時(shí)間的比值叫做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)的角速度。

②大小：啰=7=竿”是，時(shí)間內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過的圓心角)

③單位：弧度每秒(rad/s)

④物理意義：描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢

(4)周期(T)：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期。

(5)頻率(f,或轉(zhuǎn)速〃)：物體在單位時(shí)間內(nèi)完成的圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。

各物理量之間的關(guān)系：

s2m_?

V=—==27HJ

=「"=如

8='=1=詞

留意：計(jì)算時(shí)，均采納國際單位制，角度的單位采納弧度制。

(6)圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度

①定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所具有的指向圓心的加速度叫向心加速度。

2

②大?。篴n=—=a)r(還有其它的表示形式，如：=牝y=(學(xué))r=(24)2r)

③方向：其方向時(shí)刻變更且時(shí)刻指向圓心。

對(duì)于?般的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，公式仍舊適用，為物體的加速度的法向加速度重量，廠為曲

率半徑；物體的另一加速度重量為切向加速度/，表征速度大小變更的快慢（對(duì)勻速圓周運(yùn)

動(dòng)而言，ar=0）

（7）圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到的合外力經(jīng)常稱為向心力，向心力的來源可以是任何性質(zhì)的力，

常見的供應(yīng)向心力的典型力有萬有引力、洛侖茲力等。對(duì)于一般的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體受

到的合力的法向分力招供應(yīng)向心加速度（下式仍舊適用），切向分力與供應(yīng)切向加速度。

2

2

向心力的大小為：Fn=man=m—=mcor（還有其它的表示形式!，如：

r

2

Fn=mvco=r=w（2^f）r）；向心力的方向時(shí)刻變更且時(shí)刻指向圓心。

事實(shí)上，向心力公式是牛頓其次定律在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的詳細(xì)表現(xiàn)形式。

五、離心運(yùn)動(dòng)

1、定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消逝或不足以供應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力

狀況下，就做遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫離心運(yùn)動(dòng)。

2、本質(zhì)：

①離心現(xiàn)象是物體慣性的表現(xiàn)。

②離心運(yùn)動(dòng)并非沿半徑方向飛出的運(yùn)動(dòng)，而是運(yùn)動(dòng)半徑越來越大的運(yùn)動(dòng)或沿切線方向飛出

的運(yùn)動(dòng)。

③離心運(yùn)動(dòng)并不是受到什么離心力，根本就沒有這個(gè)離心力。

3、條件：

當(dāng)物體受到的合外力工=，加〃時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)物體受到的合外力心“時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)

當(dāng)物體受到的合外力工〉〃以”時(shí)，物體做近心運(yùn)動(dòng)

事實(shí)上，這正是力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變更的作用的體現(xiàn)，外力變更，物體的運(yùn)動(dòng)狀況也必定

變更以適應(yīng)外力的變更。

4.兩類典型的曲線運(yùn)動(dòng)的分析方法比較

（1）對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)這類“勻變速曲線運(yùn)動(dòng)”，我們的分析方法一般是"在固定的坐標(biāo)系內(nèi)正

交分解其位移和速度〃，運(yùn)動(dòng)規(guī)律可表示為

x=uot,

12

y=2gt

（2）對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)這類“變變速曲線運(yùn)動(dòng)〃，我們的分析方法一般是“在運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系

內(nèi)正交分解其力和加速度"，運(yùn)動(dòng)規(guī)律可表示為

尸切=a切=0,

mU

%口=耳r司=mq討=-----~=mrco2=muco.

「題型解析」

類型題:曲線運(yùn)動(dòng)的條件

【例題】（1991年上海高考題）如圖所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運(yùn)動(dòng)到B,這

時(shí)，突然使它所受力反向，大小不變，即由F變?yōu)橐籉。在此力的作用下，物體以后的運(yùn)動(dòng)

狀況，下列說法正確的是（A、B、D）

A.物體不行能沿曲線Ba運(yùn)動(dòng)

B.物體不行能沿直線Bb運(yùn)動(dòng)

C.物體不行能沿曲線Be運(yùn)動(dòng)

D.物體不行能沿原曲線由B返回A

【例題】質(zhì)量為m的物體受到一組共點(diǎn)恒力作用而處于平衡狀態(tài)，當(dāng)撤去某個(gè)恒力Fi時(shí),

物體可能做（）

A.勻加速宜線運(yùn)動(dòng)：B.勻減速直線運(yùn)動(dòng)：

C.勻變速曲線運(yùn)動(dòng)；D.變加速曲線運(yùn)動(dòng)。

★解析：當(dāng)撤去F1時(shí)，由平衡條件可知：物體此時(shí)所受合外力大小等于F1，方向與F1方

向相反。

若物體原來靜止，物體肯定做與F1相反方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

若物體原來做勻速運(yùn)動(dòng)，若％與初速度方向在同一條直線上，則物體可能做勻加速直線運(yùn)

動(dòng)或勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故A、B正確。

若Fi與初速度不在同始終線上，則物體做曲線運(yùn)動(dòng)，且其加速度為恒定值，故物體做勻變

速曲線運(yùn)動(dòng)，故C正確，D錯(cuò)誤。

正確答案為：A、B、Co

【例題】我國“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星經(jīng)過多數(shù)人的協(xié)作和努力，最終在2007年10月24日晚

6點(diǎn)05分放射升空。如圖所示，“嫦娥一號(hào)"探月衛(wèi)星在由地球飛向月球時(shí)，沿曲線從M點(diǎn)向

N點(diǎn)飛行的過程中，速度漸漸減小,在此過程中探月衛(wèi)星所受合力的方向可能的是（）

★解析：C衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的速度方向沿其軌跡的切線方向，由于速度漸漸減小，則合力方向與

速度方向間的夾角大于90,由軌跡的彎曲方向知，合力必指向其彎曲方向.故選C。

【例題】質(zhì)點(diǎn)僅在恒力F的作用下，由。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的軌跡如圖所示，在A點(diǎn)時(shí)速度的

方向與x軸平行，則恒力F的方向可能沿（）

A.x軸正方向

B.X軸負(fù)方向

C.y軸正方向

D.y軸負(fù)方向

★解析：D依據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)可知：物體的軌跡總是向合外力一方凹陷，而且最終的

速度方向不與合外力方向平行，可知D正確。

【例題】一個(gè)物體以初速度vo從A點(diǎn)起先在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，一個(gè)水平力作用在物

體上，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中的實(shí)線所示，B為軌跡上的一點(diǎn)，虛線是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)并與軌

跡相切的直線。虛線和實(shí)線將水平面分成五個(gè)區(qū)域，則關(guān)于施力物體的位置，下列各種說法

中正確的是（）

A.假如這個(gè)力是引力，則施力物體肯定在④區(qū)域中

B.假如這個(gè)力是引力，則施力物體可能在③區(qū)域中

C.假如這個(gè)力是斥力，則施力物體肯定在②區(qū)域中

Do假如這個(gè)力是斥力，則施力物體可能在⑤區(qū)域中

★解析：物體做曲線運(yùn)動(dòng)，肯定受到與初速度V。方向不平行的力的作用，這個(gè)力與速度方

向垂直的重量起到向心力的作用，使物體運(yùn)動(dòng)軌跡向向心力的方向彎曲，且運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)在受

力方向和初速度方向所夾的角度范圍之內(nèi)，所以此施力物體肯定在軌跡兩切線的交集處。是

引力時(shí)施力物體在軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)（相互吸引，使運(yùn)動(dòng)向軌跡內(nèi)側(cè)彎曲），是斥力時(shí)施力物體在

軌跡彎曲的外側(cè)（相互排斥，使物體運(yùn)動(dòng)向軌跡內(nèi)側(cè)彎曲）。

【答案】AC

【例題】如圖所示，質(zhì)量為〃，的小球，用長為/的不行伸長的細(xì)線掛在O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下

方二處有一光滑的釘子O。把小球拉到與釘子。在同一水平高度的位置，擺線被釘子擋住且

2

張緊，現(xiàn)將小球由靜止釋放，當(dāng)小球第一次通過最低點(diǎn)「時(shí)（）

O

O-------

I

I

6P

A.小球的運(yùn)動(dòng)速度突然減小

B.小球的角速度突然減小

C.小球的向心加速度突然減小

D.懸線的拉力突然減小

★解析：在通過位置P前后瞬間，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為/和2，并且小球在通過

2

P點(diǎn)瞬間受到的重力和拉力都在豎直方向上，小球的速度大小不變更。

答案：B、C、D

類型題:如何推斷曲線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

曲線運(yùn)動(dòng)肯定是變速運(yùn)動(dòng)，但不肯定是勻變速運(yùn)動(dòng)。可以依據(jù)做曲線運(yùn)動(dòng)物體的受力狀況

（或加速度狀況）進(jìn)行推斷，若受到恒力（其加速度不變），則為勻變速運(yùn)動(dòng)，若受到的不是

恒力（其加速度變更），則為非勻變速運(yùn)動(dòng)。

例如：平拋運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)，其加速度恒為g;而勻速圓周運(yùn)動(dòng)是非勻變速運(yùn)動(dòng)，其加

速度雖然大小不變，但方向是時(shí)刻變更的。

【例題】關(guān)于運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，下列說法中正確的是（A）

A.曲線運(yùn)動(dòng)肯定是變速運(yùn)動(dòng)

B.曲線運(yùn)動(dòng)肯定是變加速運(yùn)動(dòng)

C.圓周運(yùn)動(dòng)肯定是勻變速運(yùn)動(dòng)

D.變力作用下的物體肯定做曲線運(yùn)動(dòng)

【例題】物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度（）

A.肯定不等于零B.肯定不變

C.肯定變更D.可能不變

★解析：AD曲線運(yùn)動(dòng)肯定是變速運(yùn)動(dòng)，肯定有加速度，所以加速度肯定不為零，A正確;

曲線運(yùn)動(dòng)中平拋運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)（帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)）加速度是不變的，勻速圓周

運(yùn)動(dòng)和多數(shù)的曲線運(yùn)動(dòng)加速度是變更的。

【例題】一質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)（）

A.速度肯定不斷地變更，加速度也肯定不斷地變更

B.速度肯定不斷地變更，加速度可以不變

C.速度可以不變，加速度肯定不斷地變更

D.速度可以不變，加速度也可以不變

★解析：B質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，則速度肯定發(fā)生變更，但加速度不肯定變更，如平拋運(yùn)動(dòng),

所以，A、C、D錯(cuò)誤，只有B項(xiàng)正確。

類型題:運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性解題|

【例題】如圖所示，一個(gè)劈形物體M各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球m,

現(xiàn)使劈形物體從靜止起先釋放，則小球在遇到斜面前的運(yùn)動(dòng)軌跡是（斜面足夠長）（）

A.沿斜面對(duì)下的直線B.豎直向下的直線

C.無規(guī)則曲線D.拋物線

★解析：B小球只受豎直方向的重力和支持力，即合力始終沿豎直方向，故小球只能做

豎直向下的直線運(yùn)動(dòng)，所以B正確.

【例題】如圖所示，A、B為兩游泳運(yùn)動(dòng)員隔著水流湍急的河流站在兩岸邊，A在較下游的

位置，且A的游泳成果比B好，現(xiàn)讓兩人同時(shí)下水游泳，要求兩人盡快在河中相遇，試問應(yīng)

采納下列哪種方法才能實(shí)現(xiàn)？（A）

B

A.A、B均向?qū)Ψ接危囱靥摼€方向）而不考慮水流作用

B.B沿虛線向A游且A沿虛線偏向上游方向游

C.A沿虛線向B游且B沿虛線偏向上游方向游

D,都應(yīng)沿虛線偏向下游方向，且B比A更偏向下游

★解析：游泳運(yùn)動(dòng)員在河里游泳時(shí)同時(shí)參加兩種運(yùn)動(dòng)，一是被水沖向下游，二是沿自己劃

行方向的劃行運(yùn)動(dòng)。游泳的方向是人相對(duì)于水的方向。選水為參考系，A、B兩運(yùn)動(dòng)員只有一

種運(yùn)動(dòng)，由于兩點(diǎn)之間直線最短，所以選A。

【例題】如圖為一空間探測器的不意圖，Pl、P2、P3、P4四個(gè)噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，Pl、P3的連錢

與空間一固定坐標(biāo)系的X軸平行，P2、P4的連線與y軸平行，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)開動(dòng)時(shí)，都能向探測

器供應(yīng)推力，但不會(huì)使探測器轉(zhuǎn)動(dòng).起先時(shí)，探測器以恒定的速率V0向正X方向平動(dòng).要使

探測器改為向正x偏負(fù)y609的方向以原來的速率V。平動(dòng)，則可

A.先開動(dòng)力適當(dāng)時(shí)間，再開動(dòng)P4適當(dāng)時(shí)間

B.先開動(dòng)P3適當(dāng)時(shí)間，再開動(dòng)P2適當(dāng)時(shí)間

C.開動(dòng)P4適當(dāng)時(shí)間

D.先開動(dòng)P3適當(dāng)時(shí)間，再開動(dòng)P4適當(dāng)時(shí)間

★解析：選A.在運(yùn)動(dòng)的合成、分解中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，即“向正x偏y60。的方向以

原來的速率V。平動(dòng)”為合運(yùn)動(dòng)，x軸、y軸方向上的運(yùn)動(dòng)為分運(yùn)動(dòng).據(jù)平行四邊形定則，由右

圖可得，Ux<V0,Vy<V°,又因?yàn)椤捌鹪獣r(shí)，探測器以恒定的速率V。向正K方向平動(dòng)”，所以在x

軸方向上探測器做的是沿正x方向的減速運(yùn)動(dòng)，其加速度沿負(fù)x方向.由牛頓其次定律，沿x

軸方向的合外力必沿負(fù)x方向，所以Pi發(fā)動(dòng)機(jī)開動(dòng).在y抽方向上探測器做的是沿負(fù)y方向

的加速運(yùn)動(dòng)，加速度方向沿負(fù)y方向，由牛頓其次定律，沿y軸方向的合外力必沿負(fù)y方向，

所以P4發(fā)動(dòng)機(jī)打開.本題正確答案為A

【例題】一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)從。點(diǎn)起先運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，則質(zhì)點(diǎn)的速度（）

A.若x方向始終勻速，則y方向先加速后減速

B.若x方向始終勻速.則y方向先減速后加速

C.若y方向始終勻速，則x方向先減速后加速

D.若y方向始終勻速，則x方向先加速后減速

★解析：BD從軌跡圖可知，若x方向始終勻速，起先所受合力沿一y方向，后來沿+y方

向，如圖所示，可以看出應(yīng)是先減速后加速，故A錯(cuò)，B正確；若y方向勻速，則受力先沿十

x方向，后沿一X方向，如圖所示，故先加速后減速，所以C錯(cuò)，D正確.

類型題:推斷兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

方法一：依據(jù)加速度與初速度的方向關(guān)系推斷

先求出合運(yùn)動(dòng)的初速度和加速度（可以用作圖法求），再推斷?？梢园l(fā)覺，當(dāng)丸=幺時(shí),

%a2

合運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，否則為曲線運(yùn)動(dòng)。

方法二：通過兩個(gè)分位移的比例關(guān)系來推斷

作為一般性探討，我們可以設(shè)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分別為：

12

S-/卬，

12

%=%（/+/廠

2產(chǎn)

依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)問可以推斷出，若七為一常數(shù)（即當(dāng)①=巧_或匕0=%。=0或4=2=0

“生

時(shí)），則表明物體沿直線運(yùn)動(dòng)；若k為時(shí)間t的函數(shù)（當(dāng)九。2時(shí)），則表明物體將做曲

%2a2

線運(yùn)動(dòng)。

如在平拋運(yùn)動(dòng)中，VyO=O,ttx=O>4y=g，所以左二，即憶是時(shí)間，的函數(shù)，且隨時(shí)間的

2匕0

持續(xù)而變大，所以合運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)是越來越陡的曲線。

【例題】關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成，下列說法中正確的是（C）

A.合運(yùn)動(dòng)的速度肯定比每一個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度大

B.兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不肯定是勻速直線運(yùn)動(dòng)

C.兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不肯定是勻變速直線運(yùn)動(dòng)

D.合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不肯定相等

【例題】關(guān)于互成角度的兩個(gè)初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，下述說法正確的是

A.肯定是直線運(yùn)動(dòng)

B.肯定是曲線運(yùn)動(dòng)

C.可能是直線運(yùn)動(dòng)，也可能是曲線運(yùn)動(dòng)

D.以上都不對(duì)

★解析：兩個(gè)互成角度的直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)，確定于它們的合速

度和合加速度方向是否共線（如圖所示）。當(dāng)。和v重合時(shí)，物體做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a和v不重

合時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)，由于題設(shè)數(shù)值不確定，以上兩種均有可能。答案選C

【例題】互成角度a（a羊0,a4180）的一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)

動(dòng)（）

A.有可能是直線運(yùn)動(dòng)B.肯定是曲線運(yùn)動(dòng)

C.有可能是勻速運(yùn)動(dòng)D.肯定是勻變速運(yùn)動(dòng)

★解析：BD互成角度的一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)與一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)合成后，加速度不變，

是勻變速，且合速度的方向與合加速度的方向不在一條直線上，故其做曲線運(yùn)動(dòng)，所以選B、

Do

類型題:小船過河問題

輪船渡河問題：

（1）處理方法：輪船渡河是典型的運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題，小船在有肯定流速的水中過河

時(shí)，事實(shí)上參加了兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即隨水流的運(yùn)動(dòng)（水沖船的運(yùn)動(dòng)）和船相對(duì)水的運(yùn)動(dòng)

（即在靜水中的船的運(yùn)動(dòng)），船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)。

1.渡河時(shí)間最少：在河寬、船速肯定時(shí)，在一般狀況下，渡河時(shí)間t=—=—,

vxLosing

明顯，當(dāng)6=90°時(shí)，即船頭的指向與河岸垂直，渡河時(shí)間最小為《，合運(yùn)動(dòng)沿v的方向

v

進(jìn)行。

2.位移最小

若D船＞U水

結(jié)論船頭偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移為河寬，偏離上游的角度為cos。=幺

U船

若y船＜口水，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？

如圖所示，

設(shè)船頭V船與河岸成8角。合速度V與河岸成a角?？梢钥闯觯篴角越大，船漂下的距離x

越短，那么，在什么條件下a角最大呢？以v點(diǎn)的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切

時(shí)，a角最大，依據(jù)cos。=曳船頭與河岸的夾角應(yīng)為

0=arcco：,船沿河漂下的最短距離為:

------

為sinO

此時(shí)渡河的最短位移：s=_a_=q%

cos。y船

【例題】河寬d=60m,水流速度vi=6m/s,小船在靜水中的速度V2=3m/s,問：

⑴要使它渡河的時(shí)間最短，則小船應(yīng)如何渡河?最短時(shí)間是多少？

⑵要使它渡河的航程最短，則小船應(yīng)如何渡河?最短的航程是多少？

★解析：（1）要使小船渡河時(shí)間最短，則小船船頭應(yīng)垂直河岸渡河，渡河的最短時(shí)間

（2）渡河航程最短有兩種狀況：

①船速V2大于水流速度V1時(shí)，即V2>Vi時(shí)，合速度v與河岸垂直時(shí)，最短航程就是河寬；

②船速V2小于水流速度功時(shí)，即V2<Vi時(shí)，合速度V不行能與河岸垂直，只有當(dāng)合速度V

方向越接近垂直河岸方向，航程越短?？捎蓭缀畏椒ㄇ蟮?，即以V1的末端為圓心，以V2的長

度為半徑作圓，從VI的始端作此演的切線，該切線方向即為最短航程的方向，如圖所示。

設(shè)航程最短時(shí)，船頭應(yīng)偏向上游河岸與河岸成e角，則

cos。="二?=L0=60

q62

最短行程，5=一4一=嵯m=120”

cos。6

2

小船的船頭與上游河岸成60。角時(shí)，渡河的最短航程為120m。

技巧點(diǎn)拔：對(duì)第一小問比較簡單理解，但對(duì)其次小問卻不簡單理解，這里涉及到運(yùn)用數(shù)學(xué)

學(xué)問解決物理問題，須要大家有較好的應(yīng)用實(shí)力，這也是教學(xué)大綱中要求培育的五種實(shí)力之

O

【例題】在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去,

水流速度為V],摩托艇在靜水中的航速為V2,戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處0的距離為d,

如戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離。點(diǎn)的距離為（C）

B.0

★解析：摩托艇要想在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)對(duì)岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實(shí)際的運(yùn)

動(dòng)是相對(duì)于水的劃行運(yùn)動(dòng)和隨水流的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，垂直于江岸方向的運(yùn)動(dòng)速度為V2,到達(dá)

江岸所用時(shí)間t=&；沿江岸方向的運(yùn)動(dòng)速度是水速V1在相同的時(shí)間內(nèi)，被水沖下的距離，即

為登陸點(diǎn)距離o點(diǎn)距離s==答案：c

V2

【例題】某人橫渡一河流，船劃行速度和水流淌速度肯定，此人過河最短時(shí)間為了T1；若

此船用最短的位移過河，則需時(shí)間為T2,若船速大于水速，則船速與水速之比為（）

?號(hào)？（D）看

★解析：設(shè)船速為％,水速為匕，河寬為d,則由題意可知：T,=—0

當(dāng)此人用最短位移過河時(shí)，即合速度口方向應(yīng)垂直于河岸，如圖所示，則￡二[d②

八.2..2

聯(lián)立①②式可得：,進(jìn)一步得

%m-T；

【例題】小河寬為d,河水中各點(diǎn)水流速度大小與各點(diǎn)到較近河岸邊的距離成正比,

=kx,攵=0,x是各點(diǎn)到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為為，

則下列說法中正確的是（A

小船渡河的軌跡為曲線

小船到達(dá)離河岸段處，船渡河的速度為五%

小船渡河時(shí)的軌跡為直線

D、小船到達(dá)離河岸3d/4處，船的渡河速度為廂%

類型題:

指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于中學(xué)探討的繩都是不行伸長的，桿都是不行伸

長和壓縮的，即繩或桿的長度不會(huì)變更，所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于

繩（桿）和平行于繩（桿）兩個(gè)重量，依據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。

合速度方向：物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向

分速度方向：沿繩（桿）伸（縮）方向：使繩（桿）伸（縮）

垂直于繩（桿）方向：使繩（桿）轉(zhuǎn)動(dòng)

速度投影定理：不行伸長的桿或繩，若各點(diǎn)速度不同，各點(diǎn)速度沿繩方向的投影相同。

這類問題也叫做：斜拉船的問題一一有轉(zhuǎn)動(dòng)分速度的問題

【例題】如圖所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度乙拉水平面上的物體A,當(dāng)繩與水

平方向成8角時(shí)，求物體A的速度。

★解析：解法一（分解法）：本題的關(guān)鍵是正確地確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。物體A的運(yùn)

動(dòng)（即繩的末端的運(yùn)動(dòng)）可看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩

長縮短的速度即等于匕=%;二是隨著繩以定滑輪為圓心的搖擺，它不變更繩長，只變更角

度0的值。這樣就可以將〃按圖示方向進(jìn)行分解。所以％及匕事實(shí)上就是”的兩個(gè)分速度,

如圖所示，由此可得

v.%—%

VA——O

COS。cos。

解法二（微元法）：要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間來

求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率。

設(shè)船在e角位置經(jīng)At時(shí)間向左行駛AX距離，滑輪右側(cè)的繩長縮短△!_,如圖2所示，當(dāng)

繩與水平方向的角度變更很小時(shí)，AABC可近似看做是始終角三角形，因而有△￡=Arcos。,

兩邊同除以At得：—=—COS^

AtAr

即收繩速率v0=VAcos，,因比船的速率為:

cos。

總結(jié)：“微元法〃?？稍O(shè)想物體發(fā)生一個(gè)微小位移，分析由此而引起的牽連物體運(yùn)動(dòng)的位移

是怎樣的，得出位移分解的圖示，再從中找到對(duì)應(yīng)的速度分解的圖示，進(jìn)而求出牽連物體間

速度大小的關(guān)系。

解法三（能量轉(zhuǎn)化法）：由題意可知：人對(duì)繩子做功等于繩子對(duì)物為所做的功。人對(duì)繩子

的拉力為F,則對(duì)繩子做功的功率為6=/匕）；繩子對(duì)物體的拉力，由定滑輪的特點(diǎn)可知，拉

力大小也為F,則繩子對(duì)物體做功的功率為B=&八COS。，因?yàn)樗砸?一嗎。

cos。

評(píng)點(diǎn)：①在上述問題中，若不對(duì)物體A的運(yùn)動(dòng)仔細(xì)分析，就很簡單得出匕=%cos。的

錯(cuò)誤結(jié)果；②當(dāng)物體A向左移動(dòng)，6將漸漸變大，”漸漸變大，雖然人做勻速運(yùn)動(dòng)，但物體

A卻在做變速運(yùn)動(dòng)。

總結(jié)：解題流程：①選取合適的連結(jié)點(diǎn)（該點(diǎn)必需能明顯地體現(xiàn)由參加了某個(gè)分運(yùn)動(dòng)）；

②確定該點(diǎn)合速度方向（物體的實(shí)際速度為合速度）且速度方向始終不變；③確定該點(diǎn)合速

度的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果從而依據(jù)平行四邊形定則確定分速度方向；④作出速度分解的示意圖，找

尋速度關(guān)系。

【例題】如圖所示，在高為H的光滑平臺(tái)上有一物體.用繩子跨過定滑輪C,由地面上的

人以勻稱的速度V。向右拉動(dòng)，不計(jì)入的高度，若人從地面上平臺(tái)的邊緣A處向右行走距離s

到達(dá)B處，這時(shí)物體速度多大？物體水平移動(dòng)了多少距離？

★解析：人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，將此合運(yùn)動(dòng)分解在沿繩方向和垂直于繩的方向。

［全解］設(shè)人運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，繩與地面的夾角為九人的運(yùn)動(dòng)在繩的方向上的分運(yùn)動(dòng)的速度為:

%COS。。物體的運(yùn)動(dòng)速度與沿繩方向的運(yùn)動(dòng)速度相同，所以物體的運(yùn)動(dòng)速度為

V=%cos。=

物體移動(dòng)的距離等于滑輪右端繩子伸長的長度,

4=%。56一公肝前ho

答案：v=.M,d=yls2+h2-h

［小結(jié)］分清合運(yùn)動(dòng)是關(guān)鍵，合運(yùn)動(dòng)的重要特征是，合運(yùn)動(dòng)都是實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，此題中，人向

前的運(yùn)動(dòng)是實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，是合運(yùn)動(dòng)：該運(yùn)動(dòng)分解在沿繩的方向和垂直于繩的方向，這兩個(gè)運(yùn)

動(dòng)的物理意義是明確的，從滑輪所在的位置來看，沿繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩伸長的運(yùn)動(dòng)，垂直

于繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，人同時(shí)參加了這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，其實(shí)際的運(yùn)動(dòng)（合運(yùn)動(dòng)）

即是水平方向的運(yùn)動(dòng)

【例題】如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動(dòng)小車m沿斜面上升.問：當(dāng)滑

輪右側(cè)的繩與豎直方向成？角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車的速度為多少？

★解析：方法一：虛擬重物M在a時(shí)間內(nèi)從4移過4萬到達(dá)C的運(yùn)動(dòng)，如圖（1）所示，

這個(gè)運(yùn)動(dòng)可設(shè)想為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)所合成，即先隨繩繞滑輪的中心軸。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)到8,位移為

ZJsi，然后將繩拉過As2到C.

若山很小趨近于0,那么ZkpfO,則Asi=O,又04=08,=g（180—A。）990°.

亦即As1近似_LAS2,故應(yīng)有：As2=AhcosO

E.AAUOS（9

因?yàn)閡=——-=------------=UCOS0N

△fZ

所以/=

方法二：重物M的速度V的方向是合運(yùn)動(dòng)的速度方向，這個(gè)V產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩的

這一端繞滑輪做順時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率/

運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，由圖可知，/=V,COS0.

【例題】一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B,如圖所示，設(shè)汽車和重物的速度的大小分

別為以,心，則（BD）

A、七=%B、乙〉乙

C、VA<VRD、重物B的速度漸漸增大

【例題】如圖所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B（可視為質(zhì)點(diǎn)）。

將其放在一個(gè)直角形光滑槽中，己知當(dāng)輕桿與槽左壁成a角時(shí)，A球沿槽下滑的速度為VA，

求此時(shí)B球的速度VB?

★解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下時(shí)，可分解為：一個(gè)使桿壓縮的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為

VAI；一個(gè)使桿繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，設(shè)

其速度為VB，可分解為：一個(gè)使桿伸長的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VBI，VBL=VAI:一個(gè)使桿搖擺的

分運(yùn)動(dòng)設(shè)其速度為VB2：

由圖可知：VB}=VBsina=匕］=VAcosa

VB=VAcota

類型題:面接觸物體的函麗麗|

求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時(shí)，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然

后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的

速度相等即可求出。

【例題】一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V。勻速運(yùn)動(dòng)。在半圓柱體上擱置

一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線

與豎直方向的夾角為8求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度。

0

★解析：設(shè)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度為VI，方向豎直向上，由于彈力方向沿0P方向，所以V。、

vi在OP方向的投影相等，即有KsinenKcose,解得

Vi=VootanO

【例題】一根長為L的桿04。端用較鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球4靠在一個(gè)質(zhì)量

為M,高為力的物塊上，如圖所示，若物塊與地面摩擦不計(jì)，試求當(dāng)物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)

時(shí)，小球4的線速度以（此時(shí)桿與水平方向夾角為0）。

★解析：解題方法與技巧：選取物與棒接觸點(diǎn)8為連結(jié)點(diǎn)。（不干脆選4點(diǎn)，因?yàn)?點(diǎn)

與物塊速度的v的關(guān)系不明顯）。因?yàn)?點(diǎn)在物塊上，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變且與物塊運(yùn)動(dòng)方向一

樣，故8點(diǎn)的合速度（實(shí)際速度）也就是物塊速度v；8點(diǎn)又在棒上，參加沿棒向八點(diǎn)滑動(dòng)的

速度力和繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度V2。因此，將這個(gè)合速度沿棒及垂直于棒的兩個(gè)方向分解，由

速度矢量分解圖得：V2=vsin0o

設(shè)此時(shí)0B長度為a,則a=h/sin0o

令棒繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為3,則：

w=V2/a=vsin20/hp

故A的線速度VA=u）L=vLsin20/ho

類型題：黨神!

1.常規(guī)題的解法

【例題】如圖所示，某滑板愛好者在離地方=1.8m高的平臺(tái)上滑行，水平離開A點(diǎn)后落在

水平地面的8點(diǎn)，其水平位移，=3m。著地時(shí)由于存在能量損失，著地后速度變?yōu)関=4m/s,

并以此為初速沿水平地面滑行S?=8m后停止，已知人與滑板的總質(zhì)量m=60kg。求：

（1）人與滑板離開平臺(tái)時(shí)的水平初速度。

（2）人與滑板在水平地面滑行時(shí)受到的平均阻力大小。（空氣阻力忽視不計(jì)，gK10m/s2）

★解析：（1）人和滑板一起在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速為％，飛行時(shí)間為3

5,

依據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有r二

，Vo=7

3，一

-----m/s=5m/s

2x1.8

10

1

（2）設(shè)滑板在水平地面滑行時(shí)受到的平均阻力為力依據(jù)動(dòng)能定理有-萬2=0-5機(jī)了9

解得了=叱=^￡N=60N

2S22X8

本題主要考查的學(xué)問點(diǎn)是動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。滑行者共參加了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：在八立8

段做的是平拋運(yùn)動(dòng)；在8今C段做的是勻減速運(yùn)動(dòng).由動(dòng)能定理可求出平均阻力，而依據(jù)平拋

運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求出人離開平臺(tái)時(shí)的速度

【例題】如圖所示，墻壁上落有兩只飛鏢，它們是從同一位置水平射出的，飛鏢A與豎直

墻壁成53。角，飛鏢B與豎直墻壁成37。角，兩者相距為d,假設(shè)飛鏢的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)，求

射出點(diǎn)離墻壁的水平距離?（5訪37。=0.6,cos??』"）

★解析：設(shè)射出點(diǎn)離墻壁的水平距離為s,A下降的高度hi，B下降的高度h2,依據(jù)平拋運(yùn)

動(dòng)規(guī)律可知：（依據(jù)反向沿長線是中點(diǎn)）

h.=----------h、=------

'2tan53°-2tan37°

答案：$=華

學(xué)問鏈接：本題的關(guān)鍵是理解箭頭指向的含義——箭頭指向代表這一時(shí)刻速度的方向，而

不是平拋物體的位移方向。理解兩個(gè)重要的推論：

推論1：做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻任一位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向

的夾角為6，位移與水平方向的夾角為a,則tan6=2tana

推論2：做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體隨意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線肯定通過此時(shí)水平

位移的中點(diǎn)。

【例題】如圖所示，排球場總長為18m,設(shè)球網(wǎng)高度為2m,運(yùn)動(dòng)員站在網(wǎng)前3m處正對(duì)球

網(wǎng)跳起將球水平擊出。

---------18m-------4

⑴若擊球高度為2.5m,為使球既不觸網(wǎng)又不出界，求水平擊球的速度范圍：

⑵當(dāng)擊球點(diǎn)的高度為何值時(shí)，無論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界？

★解析：(1)排球被水平擊出后，做平拋運(yùn)動(dòng)

若正好壓在底線上，則球在空中的飛行時(shí)間：

由此得排球越界的臨界速度