黃金卷07（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

PAGE1試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（江蘇專用）黃金卷07（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知空間向量，，若，則（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】求得，進(jìn)而可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，解?故選：C.2．若，則（

）A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算可求，進(jìn)而可求.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角換元，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可求解．【詳解】由，則可設(shè)為參數(shù)，，故，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故選：D．4．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，得到，即，又，所以，故選：B.5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知易得且，求解即可.【詳解】由在上單調(diào)遞增，故，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上為增函數(shù)，要使在上為增函數(shù)，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，解得（舍去）或.故選：A.6．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再根據(jù)兩角差和的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)榍遥?所以,因?yàn)榍遥?所以,所以故選：B.7．已知數(shù)列滿足，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列滿足，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．，C．， D．【答案】D【分析】首先分析出數(shù)列單調(diào)遞減，，，推導(dǎo)出即可判斷AD，通過作差法得和即可判斷BC.【詳解】，且，，即數(shù)列單調(diào)遞減，又，，先來分析AD選項(xiàng)，，令，因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則，則，注意到D選項(xiàng)中的與的關(guān)系，構(gòu)造出數(shù)列，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增，則，即，即，，累加得故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.對(duì)BC，注意到，對(duì)于B選項(xiàng)，則需要比較與的大小,作差可得,結(jié)合，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，則需要比較與的大小，因?yàn)?，則，待定系數(shù)并且令恒成立，因?yàn)?，則，則，即恒成立，因?yàn)?，則，則恒成立，則恒成立，則恒成立，因?yàn)椋?，則，則，則，則，即，即，故，當(dāng)足夠大時(shí)，，此時(shí)，但小于，則存在，使得，故C錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是作差得，則.8．銳角中，，，，則AB邊上的高CD長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，進(jìn)而可求得，設(shè)邊上的高長(zhǎng)為，進(jìn)而可得，可求解.【詳解】因?yàn)榍覟殇J角三角形，可得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，又，所以，解得，由正弦定理可得，所認(rèn)，設(shè)邊上的高長(zhǎng)為，所以，.故選：D.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【詳解】對(duì)于當(dāng)時(shí)，而，故A正確；對(duì)于將向左平移個(gè)單位后可得，為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)；對(duì)于當(dāng)時(shí)，，因在上僅有2個(gè)零點(diǎn)，故在上也僅有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于當(dāng)時(shí)，因在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD．10．從地球觀察，太陽(yáng)在公轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)圍繞著北極星旋轉(zhuǎn).某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約120°E，31°N）的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時(shí)，在平坦的地面上垂直豎起一根標(biāo)桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計(jì)，則桿影可能的軌跡是（

）A．半圓形 B．雙曲線 C．直線 D．橢圓【答案】BC【詳解】根據(jù)題意可知，桿影可能的軌跡即太陽(yáng)的視運(yùn)動(dòng)軌跡.為了得到太陽(yáng)投影軌跡的表達(dá)式，首先先建立竿測(cè)影時(shí)的觀測(cè)站坐標(biāo)系，再計(jì)算太陽(yáng)每個(gè)瞬間在天球（與地球同球心，并具有相同的自轉(zhuǎn)軸，半徑無限大的球體）上的位置和觀測(cè)平面上的投影，為投影軌跡的整體推導(dǎo)做好單點(diǎn)公式計(jì)算.蘇州地區(qū)位于31°N，即太陽(yáng)周年回歸運(yùn)動(dòng)范圍（23°26′N~0°~23°26′S）以北，全年太陽(yáng)在正午時(shí)分位于該地的正南方.設(shè)地理興趣小組所在的觀測(cè)地的右手正交坐標(biāo)系，立測(cè)竿處為原點(diǎn)，令分別是坐標(biāo)軸的單位矢量，正南為軸，正東為軸，向上為軸（如下圖）.那么當(dāng)測(cè)竿指向天頂（桿的正上方）時(shí)，其太陽(yáng)投影在平面上.結(jié)合蘇州的緯度位置可知，正午時(shí)投影指向正北.圖中立竿測(cè)影觀測(cè)站右手坐標(biāo)系，黃色點(diǎn)為觀測(cè)站的位置，緯度為；軸指向正南，軸指向正東，軸指向天頂；貫穿地球南北極的藍(lán)色軸為地軸，從地心出發(fā)的紅色軸與觀測(cè)站的軸平行，是以存在如坐標(biāo)系描述的互余赤經(jīng)差計(jì)算方式.球面三角形中，若已知兩邊弧角和夾角，求對(duì)邊的弧角c的大小，由球面三角邊的余弦定理可得：（1）由天文知識(shí)可知，赤經(jīng)差（赤經(jīng)差是指在天球赤道坐標(biāo)系統(tǒng)中，兩個(gè)天體之間的赤經(jīng)之差.赤經(jīng)是描述天體在天球赤道上的位置的一個(gè)坐標(biāo)值，類似于地球上的經(jīng)度.赤經(jīng)差用于確定兩個(gè)天體之間的相對(duì)位置）是繞天軸（地軸的無限延伸）的二面角，于是有以下替換關(guān)系：（2）如果天球上相同赤經(jīng)的兩點(diǎn)，赤緯分別為，點(diǎn)繞天軸旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)，令兩點(diǎn)間大圓弧角為，那么：（3）如果太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度為，那么周日視運(yùn)動(dòng)即以地心為原點(diǎn)，圍繞地軸以的夾角做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)與觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度差為時(shí)，令太陽(yáng)方向與觀測(cè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角分別為，則觀測(cè)站到太陽(yáng)的單位矢量為：（4）應(yīng)用（2）式時(shí)參數(shù)系列可得如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：，，根據(jù)球面三角邊的余弦定理的等價(jià)公式（3），代入上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，則有：（5），（6），（7），令測(cè)竿投影與測(cè)竿矢量分別為：，（8），由于太陽(yáng)距離地球距離較遠(yuǎn)，其光線可近似視作平行的直射光線，從桿頂?shù)酵队包c(diǎn)的指向：（9），與太陽(yáng)方向矢量平行則有：，解得投影坐標(biāo)：（10），（11），即立桿測(cè)影的太陽(yáng)投影坐標(biāo)表達(dá)式.對(duì)立竿測(cè)影坐標(biāo)計(jì)算公式（10）、（11），要得到這些坐標(biāo)點(diǎn)的整體曲線方程，其關(guān)鍵在于消除這個(gè)與時(shí)間相關(guān)參數(shù)，讓投影軌跡只用測(cè)竿長(zhǎng)度、觀測(cè)站和太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度來表示.由（10）式可得：，再由（11）式并使用上式結(jié)果，可得：，通過三角恒等式，代入時(shí)角正余弦的計(jì)算式，則有：，兩邊同時(shí)加上：，化簡(jiǎn)可得：（12），即立竿見影時(shí)在觀測(cè)平面上的太陽(yáng)投影的軌跡公式.蘇州地區(qū)位于31°N，因此可以將代入式（12）中，得到雙曲線型的太陽(yáng)投影（如下左圖）.當(dāng)，即直射赤道（即二分日）時(shí)，會(huì)出現(xiàn)結(jié)果是直線（如下右圖）的特殊情況.故選：BC11．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，是一個(gè)八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個(gè)這種形狀棱長(zhǎng)為，重量為的實(shí)心玩具，則下列說法正確的是（

）

A．將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為.B．將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.C．將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.D．將玩具放至水中，其會(huì)飄浮在水面上.【答案】AD【詳解】將該幾何體放置在如圖的正方體中，

對(duì)于A，將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為圖中正方體的棱長(zhǎng)，由題意，該幾何的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，正確；對(duì)于B，將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，根據(jù)正方體和多面體的對(duì)稱性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對(duì)角線，即，解得，所以包裝盒的半徑最小為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面與平面的距離，證明求解過程如下：如圖，

不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長(zhǎng)為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對(duì)稱性知，所以，則平面與平面的距離為，即該玩具的高度為，錯(cuò)誤；對(duì)于D，該幾何體的體積為.因?yàn)橥婢叩拿芏葹?，小于水的密度，所以將玩具放至水中，其?huì)飄浮在水面上，正確.故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為2，則的極大值點(diǎn)為．【答案】3【詳解】由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)為2，所以，即，解得，則，令，則或，因?yàn)?，函?shù)的極小值點(diǎn)為2，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以，由，故，所以的極大值點(diǎn)為.故答案為：3.13．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一排個(gè)座位上，由于某種原因，甲旁邊要留一個(gè)空座位，則共有種坐法．【答案】【分析】先將四名同學(xué)任意排序，再插入空座位即可.【詳解】將四名同學(xué)任意排序，有種排法；將空座位插入到甲左右兩邊的位置，有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：不同的坐法有種.故答案為：.14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．【答案】4【詳解】方法一：可知直線過左焦點(diǎn)F1?c,0，斜率，且直線與雙曲線相交，可知，則，聯(lián)立方程，消去x可得，設(shè)Ax1,由可知，與聯(lián)立可得，代入可得，則，所以雙曲線的離心率；方法二：由題意可知：直線的斜率，則直線的傾斜角，可得，，因?yàn)?，可知，即，整理可得，所以雙曲線的離心率；方法三：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，將直線方程寫為參數(shù)方程，代入雙曲線可得，整理得，可知兩解為，由可知，則，即，整理可得，所以雙曲線的離心率；方法四：若以為極點(diǎn)、軸方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則雙曲線方程可以寫為，其中為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離．由直線的傾斜角為可知，取可得兩點(diǎn)，由條件知在的延長(zhǎng)線上，則當(dāng)時(shí)為負(fù)值，可得，則，即，解得.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15（13分）．在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知tanB(1)若，求tanC的值：(2)已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）利用同角關(guān)系式可得或sin，然后利用和角公式即得；（2）由題可得，利用角平分線定理及條件可得，進(jìn)而可得，，即得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得或sin,當(dāng)時(shí)，，，所以，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，又，所以．?）∵，∴，，∴，即，∴，由角平分線定理可知，，又，所以，由，可得，∴，，所以．16（15分）．某旅游景區(qū)在手機(jī)APP上推出游客競(jìng)答的問卷，題型為單項(xiàng)選擇題，每題均有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一項(xiàng)是正確選項(xiàng).對(duì)于游客甲，在知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，可選出唯一的正確選項(xiàng)；在不知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，則隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng).已知甲知道答題涉及內(nèi)容的題數(shù)占問卷總題數(shù)的(1)求甲任選一題并答對(duì)的概率;(2)若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個(gè)題組由2道單項(xiàng)選擇題構(gòu)成，每道選擇題答對(duì)得2分，答錯(cuò)扣1分，放棄作答得0分.假設(shè)對(duì)于任意一道題，甲選擇作答的概率均為，且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為，①求和②求【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用條件概率以及互斥事件的概率加法公式求解得出結(jié)論；（2）①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；②依題意，隨機(jī)變量，，0，1，2，4，求出相應(yīng)的概率，再利用期望公式可得期望.【詳解】（1）記“甲任選一道題并答對(duì)”為事件M，“甲知道答題涉及內(nèi)容”為事件A，依題意，，，，，因?yàn)槭录c互斥，所以；（2）①，即兩題均選擇作答，且均正確作答，故，，即兩題均選擇作答，且均作答錯(cuò)誤，故②依題意，隨機(jī)變量，，0，1，2，4，由①得，，，即選擇一道題作答且作答錯(cuò)誤，另一題不作答，故，，即兩題均不作答，故，，即選擇兩題均作答，且一題作答正確，另一題作答錯(cuò)誤，故，，即甲選擇一題作答且作答正確，另一題不作答，，故17（15分）．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)已知不與軸垂直且過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，利用弦長(zhǎng)公式求出，求出直線的方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，即可得證.【詳解】（1）依題意，解得，故雙曲線的方程為；（2）依題意，得，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，因此當(dāng)時(shí)，，，，則，即，故直線：，令，得，則，故，故.18（17分）．如圖，已知斜四棱柱，底面為等腰梯形，，點(diǎn)在底面的射影為，且，，，.(1)求證：平面平面；(2)若為線段上一點(diǎn)，且平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：等腰梯形中，，，作交于，如圖，則是菱形，，是等邊三角形，則，，，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）點(diǎn)