2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.2棱柱棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1．了解多面體的有關(guān)概念．2．理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．3．會(huì)進(jìn)行與棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的計(jì)算．1．多面體的有關(guān)概念(1)定義：由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體叫做多面體．(2)相關(guān)概念如圖，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如面ABCD、面BCC′B′；相鄰的兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如頂點(diǎn)A、頂點(diǎn)A′；連接不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線，如對(duì)角線BD′．(3)凸多面體：把一個(gè)多面體的隨意一個(gè)面延展為平面，假如其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體．2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)名稱棱柱棱錐棱臺(tái)定義有兩個(gè)相互平行的面，而且?jiàn)A在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線都相互平行有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分圖形分類三棱柱四棱柱五棱柱?三棱錐四棱錐五棱錐?三棱臺(tái)四棱臺(tái)五棱臺(tái)?特別的幾何體側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱假如棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)假如四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等．()(2)五棱錐只有五條棱．()(3)用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相像．()解析：(1)不正確．四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等，也可以不相等．(2)不正確，五棱錐除了五條側(cè)棱外，還有五條底邊，故共有10條棱．(3)正確．答案：(1)×(2)×(3)√2．如圖所示的幾何體中，是凸多面體的是________．解析：①②是凸多面體，③④不是．答案：① ②3．直棱柱與正棱柱有什么區(qū)分？解：(1)直棱柱是在一般棱柱的基礎(chǔ)上加一個(gè)條件“側(cè)棱與底面垂直”．(2)正棱柱是在直棱柱的基礎(chǔ)上再加一個(gè)條件“底面是正多邊形”．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念給出下列幾個(gè)命題：①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且全部側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③多面體至少有四個(gè)面；④棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)．其中，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】明顯命題①、②均是真命題．對(duì)于命題③，明顯一個(gè)圖形要成為空間幾何體，則它至少須要有四個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形是三角形，當(dāng)有四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，易知它可圍成四個(gè)面，因而一個(gè)多面體至少應(yīng)有四個(gè)面，而且這樣的面必是三角形，故命題③是真命題．對(duì)于命題④，棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線就是被截原棱錐的側(cè)棱所在的直線，而棱錐的側(cè)棱都有一個(gè)公共的點(diǎn)，它便是棱錐的頂點(diǎn)，于是棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線均相交于同一點(diǎn)，故命題④為真命題．【答案】Aeq\a\vs4\al()只有理解并駕馭好各種簡(jiǎn)潔多面體的概念以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征，才能不至于被各個(gè)命題的表面假象所迷惑，從而對(duì)問(wèn)題做出正確的推斷．1．下列命題中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面相互平行B．棱柱中兩個(gè)相互平行的平面肯定是棱柱的底面C．在平行六面體中，隨意兩個(gè)相對(duì)的面均相互平行，但平行六面體的隨意兩個(gè)相對(duì)的面不肯定可當(dāng)作它的底面D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面肯定不是平行四邊形解析：選A．正四棱柱中兩個(gè)相對(duì)側(cè)面相互平行，故B錯(cuò)；平行六面體的隨意兩個(gè)相對(duì)面可作底面，故C錯(cuò)；棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯(cuò)．2．下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面肯定不會(huì)是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面只能是三角形；③由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是__________．解析：①正確，棱臺(tái)的側(cè)面肯定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；③正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．答案：①②③空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1．(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？假如不是，說(shuō)明理由．【解】(1)該長(zhǎng)方體是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當(dāng)然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱相互平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．假如本例條件不變，若用一個(gè)平面只截去側(cè)棱B1C1所在的一個(gè)角，剩余的幾何體是棱柱嗎？如何截取能得到一個(gè)棱柱？解：用一個(gè)平面只截去側(cè)棱B1C1所在的一個(gè)角，則剩余的幾何體不肯定是棱柱，如圖(1)所示，沿平面EFF1E1(其中EF≠E1F1)，所截得幾何體ABEFA1-DCE1F1D1不是棱柱，當(dāng)截面按平行于側(cè)棱BC的方向去截時(shí)，所得幾何體為棱柱，如圖(2)所示．eq\a\vs4\al()多面體的幾何特征(1)棱柱的幾何特征側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，兩個(gè)底面相互平行；(2)棱錐的幾何特征有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形；(3)棱臺(tái)的幾何特征上、下底面相互平行，各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)．1．若一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均相等，則該棱錐肯定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐解析：選D．因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)與它的外接圓半徑相等，所以滿意上述條件的棱錐肯定不是六棱錐．2．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．以上答案都不對(duì)解析：選B．剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′．棱柱、棱錐、棱臺(tái)中的有關(guān)計(jì)算如圖正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，已知AB＝10，棱臺(tái)一個(gè)側(cè)面的面積為eq\f(20\r(3),3)，O1、O分別為上、下底面正三角形的中心，D1D為棱臺(tái)的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的邊長(zhǎng)．【解】AB＝10，則AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝5eq\r(3)，所以O(shè)D＝eq\f(1,3)×AD＝eq\f(5\r(3),3)．設(shè)上底面邊長(zhǎng)為x，則O1D1＝eq\f(\r(3),6)x．過(guò)D1作D1H⊥AD于點(diǎn)H，則DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x．在△D1DH中，D1D＝eq\f(DH,cos60°)＝2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，所以在梯形B1C1CB中，S＝eq\f(1,2)(B1C1＋BC)·D1D，即eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(1,2)(x＋10)·2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，解得x＝2eq\r(15)．所以上底面的邊長(zhǎng)為2eq\r(15)．eq\a\vs4\al()在正棱臺(tái)的有關(guān)計(jì)算中，要留意找尋直角梯形，一般有：正棱臺(tái)兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線，側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成一個(gè)直角梯形．已知正三棱錐V-ABC，底面邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(6)，計(jì)算它的高和斜高．解：如圖所示，設(shè)O是底面中心，連接AO，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，所以△VAO和△VCD是直角三角形．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(6)，所以AO＝eq\f(\r(3),3)×8＝eq\f(8,3)eq\r(3)，CD＝4，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r((2\r(6))2－(\f(8,3)\r(3))2)＝eq\f(2,3)eq\r(6)．VD＝eq\r(VC2－CD2)＝eq\r((2\r(6))2－42)＝2eq\r(2)．即正三棱錐的高是eq\f(2,3)eq\r(6)，斜高是2eq\r(2)．1．棱錐是當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)形成的空間圖形，棱臺(tái)則可以看成是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形．應(yīng)留意：若一個(gè)幾何體是棱臺(tái)，則其側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于同一點(diǎn)，也就是說(shuō)若一個(gè)幾何體的各條側(cè)棱延長(zhǎng)后不交于同一點(diǎn)，則該幾何體肯定不是棱臺(tái)．駕馭好棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義和性質(zhì)，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．2．棱臺(tái)是由棱錐截得的，在處理與棱臺(tái)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要留意聯(lián)系棱錐的有關(guān)性質(zhì)，“還臺(tái)為錐”是常用的解題方法和策略．不能正確地理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及其幾何特征，簡(jiǎn)潔致錯(cuò)．對(duì)于正棱錐和正棱臺(tái)，要留意精確理解概念，把握?qǐng)D形的特征，尤其是圖中的一些重要的直角三角形和直角梯形．1．下面圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為()解析：選A．推斷一個(gè)幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵看它是否滿意以下條件：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，且是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故A不是棱錐；B是四棱錐；C，D是五棱錐．2．用一個(gè)平面去截四棱錐，不行能得到()A．棱錐 B．棱柱C．棱臺(tái) D．四面體答案：B3．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．多面體至少有四個(gè)面B．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C．長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱D．三棱柱的側(cè)面為三角形解析：選D．三棱柱的側(cè)面為平行四邊形．4．一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，全部的側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為_(kāi)_________cm．解析：因?yàn)槔庵?0個(gè)頂點(diǎn)，所以棱柱為五棱柱，共有五條側(cè)棱，所以側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f(60,5)＝12(cm)．答案：12[學(xué)生用書P79(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．視察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中推斷不正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺(tái)解析：選B．由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知，①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺(tái)，③不是棱錐．2．下列說(shuō)法正確的是()A．棱柱的底面肯定是平行四邊形B．棱錐的底面肯定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不行能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱解析：選D．棱柱和棱錐的底面可以是隨意多邊形，故選項(xiàng)A、B均不正確；可沿棱錐的側(cè)棱將其分割成兩個(gè)棱錐，故C錯(cuò)誤；用平行于棱柱底面的平面可將棱柱分割成兩個(gè)棱柱．3．具備下列條件的多面體是棱臺(tái)的是()A．兩底面是相像多邊形的多面體B．側(cè)面是梯形的多面體C．兩底面平行的多面體D．兩底面平行，側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)的多面體解析：選D．由棱臺(tái)的定義可知，棱臺(tái)的兩底面平行，側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．4．如圖所示，在棱錐A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△DBC的周長(zhǎng)是18，則△EFG的周長(zhǎng)為()A．2 B．4C．6 D．9解析：選C．由已知得EF∥BD，F(xiàn)G∥CD，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以eq\f(△EFG的周長(zhǎng),△DBC的周長(zhǎng))＝eq\f(EF,BD)．又因?yàn)閑q\f(EF,BD)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(△EFG的周長(zhǎng),△DBC的周長(zhǎng))＝eq\f(1,3)，所以△EFG的周長(zhǎng)＝18×eq\f(1,3)＝6．5．五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱共有對(duì)角線()A．20條 B．15條C．12條 D．10條解析：選D．如圖，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A動(dòng)身的對(duì)角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點(diǎn)動(dòng)身的對(duì)角線均有兩條，共有2×5＝10(條)．6．四棱柱有________條側(cè)棱，________個(gè)頂點(diǎn)．解析：四棱柱有4條側(cè)棱，8個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體視察求得)．答案：487．一個(gè)棱臺(tái)至少有________個(gè)面，面數(shù)最少的棱臺(tái)有________個(gè)頂點(diǎn)，有________條棱．解析：面數(shù)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，共有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱．答案：5698．在下面的四個(gè)平面圖形中，是側(cè)棱都相等的四面體的綻開(kāi)圖的為_(kāi)_________．(填序號(hào))解析：由于③④中的圖組不成四面體，只有①②可以．答案：① ②9．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長(zhǎng)為2eq\r(11)，求該棱錐的高．解：取正方形ABCD的中心O，連接VO、AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因?yàn)榈酌婷娣e為16，所以AO＝2eq\r(2)．因?yàn)橐粭l側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(11)，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r(44－8)＝6．所以正四棱錐V-ABCD的高為6．10．如圖在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P．問(wèn)：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長(zhǎng)為2a，則每個(gè)面的三角形面積為多少？解：(1)如圖折起后的幾何體是三棱錐．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2．[B實(shí)力提升]11．關(guān)于如圖所示幾何體的正確說(shuō)法為()①這是一個(gè)六面體．②這是一個(gè)四棱臺(tái)．③這是一個(gè)四棱柱．④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．A．①②③ B．①③④C．①②④⑤ D．①③④⑤解析：選D．①正確．因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍．②錯(cuò)誤．因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確．③正確．假如把幾何體放倒就會(huì)發(fā)覺(jué)是一個(gè)四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．12．正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是5和7，體對(duì)角線長(zhǎng)為9，則棱臺(tái)的斜高等于________．解析：如圖，四邊形BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5eq\r(2)，BD＝7eq\r(2)，BD1＝9，所以O(shè)O1＝eq\r(BDeq\o\al(2,1)－(\f(BD＋B1D1,2))2)＝3．又E1，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)1E1＝eq\f(5,2)，OE＝eq\f(7,2)．所以在直角梯形OEE1O1中，斜高E1E＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋(OE－O1E1)2)＝eq\r(10)．答案：eq\r(10)13．正四棱錐S-ABCD的高為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(7)．(1)求側(cè)面上的斜高；(2)求一個(gè)側(cè)面的面積；(3)求底面的面積．解：(1)如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，高SO＝eq\r(3)，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，解Rt△