四川省眉山市東坡區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2023級高二年級期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間:120分鐘第I卷（選擇題）一、單選題（40分）1.圓心為且過點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【詳解】∵圓心為（﹣3，2）且過點(diǎn)A（1，﹣1），∴圓的半徑，則圓的方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝25．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，兩點(diǎn)間距離，是基礎(chǔ)的題型．2.平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由題意，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，故根據(jù)橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的面積的最大值為，則（）A. B.3 C.9 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的面積為，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知橢圓半焦距，設(shè)點(diǎn),，，那么，所以的面積，所以，所以，化簡得，即或9．又因?yàn)椋獾?，因此．故選：D．4.在如圖所示的電路圖中，開關(guān)閉合與斷開的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈滅的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求燈泡能亮的情況，然后根據(jù)對立事件的概率即可求解.【詳解】由電路圖可知：要使燈泡亮，必須閉合，或閉合，故燈亮的概率為，則燈滅的概率是，故選：C.5.已知直線與直線，則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先證明充分性是否成立，即由m＝2能否推出l1⊥l2；再證必要性是否成立，即由l1⊥l2能否推出m＝2，從而做出結(jié)論．【詳解】當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，兩直線的斜率之積等于﹣1，故l1⊥l2，充分性成立．當(dāng)l1⊥l2時(shí)，∵m﹣1≠0，m≠0，由斜率之積的等于﹣1得：1，∴m＝2或m＝﹣1，故不能由l1⊥l2推出m＝2，故必要性不成立．綜上，“m＝2”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的定義，兩直線垂直的條件和性質(zhì)．6.已知直線過橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得所以若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線，即，所以，又過點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以解得，所以C的方程為故選：C7.已知橢圓左、右焦點(diǎn)為，，上一點(diǎn)滿足，A為線段的中垂線與的交點(diǎn)，若的周長為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義，求出，，然后勾股定理得出a、c的關(guān)系即可.【詳解】A為線段的中垂線與的交點(diǎn)，所以，，三角形的周長為，所以，又，所以，又，所以，故選：B.8.如圖，在正方體中，點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，設(shè)，根據(jù)求出的關(guān)系，然后可求出點(diǎn)到直線和直線的距離，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，設(shè)，故，因?yàn)?，所以，即，所以，則點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.二、多選題（共18分）9.若橢圓焦距為2，則（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】CD【解析】【分析】討論橢圓焦點(diǎn)所在位置，結(jié)合之間的關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：，若焦點(diǎn)在x軸上，則，解得；若焦點(diǎn)在y軸上，則，解得；綜上所述：或故選：CD.10.已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，B.C的長軸長為C.直線l的方程為D.【答案】AB【解析】【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程確定，即可得到選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；利用點(diǎn)差法可求直線方程，得到選項(xiàng)C正確；聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式可得選項(xiàng)D正確.【詳解】由，得橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，，則，，，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，長軸長為，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；設(shè)，，則，，兩式作差得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以直線的方程為，即，所以選項(xiàng)C正確；由，得，則，，所以，所以選項(xiàng)D正確．故選：AB．11.已知直線和圓，則下列說法正確的是（）A.存在，使得直線與圓相切B.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為C.對任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D.當(dāng)時(shí)，對任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷A不正確；根據(jù)圓心到直線的距離的最大值求出的最小值，可判斷B正確；根據(jù)圓心到直線的距離，可判斷C正確；將曲線的方程化為，可判斷D正確.【詳解】對于A，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以不存在，使得直線與圓相切，故A不正確；對于B，因?yàn)閳A心到直線的距離的最大值為，所以的最小值為，故B正確；對于C，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，所以對任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即就是過直線與圓的交點(diǎn)的曲線方程，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.已知圓和點(diǎn)，則過點(diǎn)的的切線方程為__________.【答案】或【解析】【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，假設(shè)切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓方程可得圓心，半徑；當(dāng)過點(diǎn)直線斜率不存在時(shí)，即時(shí)，圓心到其距離，與相切；當(dāng)過點(diǎn)的的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)為，即，圓心到切線的距離，解得：，切線方程為，即；綜上所述：所求切線方程為或.故答案為：或.13.在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為______.【答案】##【解析】【分析】寫出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得到答案.【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,所以甲和乙分在不同小組的概率為.故答案為：.14.已知橢圓：（）的離心率為，左焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率可得的值，根據(jù)通徑可得的值，求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題設(shè)有，故，解得，故，故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：.四、解答題（共77分）15.已知圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切．（1）求圓的方程．（2）過的直線與圓相交所得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】(1)根據(jù)與軸相切得圓心坐標(biāo)為，再根據(jù)與直線相切得圓心C到直線距離等于半徑2，解出參數(shù)a即得圓的方程；(2)先根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，計(jì)算圓心到直線距離，再根據(jù)垂徑定理列方程解出斜率，最后討論斜率不存在時(shí)是否滿足題意．【小問1詳解】∵圓與軸相切，且半徑為，圓心在第一象限，∴圓心C的坐標(biāo)可設(shè)為，，又圓與直線相切，∴，解得，∴圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為，即，易知圓心到的距離為，∴，解得，∴的方程為：；當(dāng)l斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)圓心到l的距離為1，符合條件；綜上所述，的方程為或．16.已知橢圓．（1）若雙曲線以橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且與橢圓有相同的離心率的橢圓方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出、的值，即可求得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由已知條件可得出，，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得的值，由此可得出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）在橢圓中，，，，且橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由已知條件可得，，，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）橢圓的離心率為，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則，所以，，，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求橢圓的方程得，解得，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定、的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程；②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出、；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為．17.已知圓過原點(diǎn)，圓心在射線，且與直線相切.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).若求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，，由圓過原點(diǎn)且與直線相切可得方程，解方程即可得解；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得不合題意；若直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立兩直線方程得，轉(zhuǎn)化條件得，即可得方程，解方程即可得解.【詳解】（1）圓心在射線上，設(shè)，，又圓過原點(diǎn)，且與相切，，即即，.，，，半徑，圓的方程為.（2）①若的斜率不存在，則，代入，得，即.代入，得，.即，，.，，，，不合題意.②若的斜率存在，設(shè)，由，得，即，是的中點(diǎn)，，即..又，，，解得.的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和直線與圓的交點(diǎn)問題，考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題.18.如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如圖2．（1）求證：A1O⊥BD；（2）求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；（3）線段A1C上是否存在點(diǎn)F，使得直線DF和BC所成角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面BCED，從而可得A1O⊥BD；（2）根據(jù)向量法即可求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)F，由直線DF和BC所成角的余弦值可得，從而可求得.【小問1詳解】，且D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，即，又O為DE的中點(diǎn)，所以，又平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE平面BCED，所以平面BCED，而平面BCED，所以A1O⊥BD.【小問2詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)锳B=AC=，BC=4，所以，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：則，，，，，，，設(shè)平面A1BD的法向量為，則有，即，令，則，則，設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，則,所以直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)線段A1C上是否存在點(diǎn)F，且，，，則，因?yàn)橹本€DF和BC所成角的余弦值為，則，即有，解得：或（舍）即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，直線DF和BC所成角的余弦值為，此時(shí)：.19.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)為橢圓上非長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若與的內(nèi)切圓面積相等，求證：線段的長度為定值．【答案】（1）（2）存在，，理由見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)的面積計(jì)算出，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的值由此可求出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，代入，求出實(shí)數(shù)的值，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)，，，由題意得出，化簡得出，可求出正數(shù)的值，從