【教無(wú)憂(yōu)】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）3.2.2 奇偶性（九大題型）

3.2.2奇偶性目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 3【知識(shí)點(diǎn)梳理】 3【典型例題】 5題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明 5題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式 11題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值 12題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù) 14題型五：已知奇函數(shù)+M 16題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題 19題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用 22題型八：利用函數(shù)奇偶性識(shí)別圖像 25題型九：奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合運(yùn)用 29

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿(mǎn)足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【典型例題】題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明【典例1-1】（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，則，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，所以將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.【典例1-2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，∴為偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，又f-x=-fx∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴是非奇非偶函數(shù)．（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，都有，且，∴是奇函?shù)．【方法技巧與總結(jié)】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒(méi)有考慮到函數(shù)的定義域．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會(huì)做無(wú)用功．【變式1-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由：(1)；(2)；(3)，（其中常數(shù)）.【解析】（1）是偶函數(shù)，理由如下：由題意得的定義域?yàn)?，所以，所以是偶函?shù)．（2）是奇函數(shù)，理由如下：由題意得的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，都有，且，所以是奇函?shù)．（3），（其中常數(shù)），既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)?，（其中常?shù)），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，（其中常數(shù)），既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【變式1-2】（2024·高一·浙江嘉興·期末）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，A滿(mǎn)足要求；對(duì)于B選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不滿(mǎn)足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不滿(mǎn)足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不滿(mǎn)足要求.故選：A.【變式1-3】（多選題）（2024·高一·湖南婁底·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以是偶函?shù)；故A是偶函數(shù)；令，則，所以是偶函數(shù)，故B是偶函數(shù)；令，則，所以是偶函數(shù)，故C是偶函數(shù)；令，則，所以是奇函數(shù)，故D是奇函數(shù)．故選：ABC.【變式1-4】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)【解析】（1）的定義域?yàn)镽，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．，故為奇函數(shù)；（2）的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（3）因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（4）由，得，且，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以．又，所以是奇函數(shù)；（5）對(duì)于函數(shù)，因?yàn)椋?，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，所以，f-x=-fx所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（6）因?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．故答案為：①奇函數(shù)；②非奇非偶函數(shù)；③非奇非偶函數(shù)；④奇函數(shù)；⑤即是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；⑥非奇非偶函數(shù)【變式1-5】（2024·高一·江蘇常州·期中）已知函數(shù)(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)在上的最小值為7，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）若，則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，故是奇函數(shù)；若，則不是奇函數(shù)，又，故不是偶函數(shù)，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（2）①當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，即，解得（舍）或；②當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即（舍去）；③當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即，得，均舍；當(dāng)時(shí)，，則，即，得（舍去），；④當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得，均舍.綜上，或.題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式【典例2-1】（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，則．【答案】【解析】設(shè)，則，則，函數(shù)y=fx是上的奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，.又，所以故答案為：.【典例2-2】（2024·高一·山東淄博·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí).【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則有，因函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，故得.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式．【變式2-1】（2024·高一·吉林·期中）若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿(mǎn)足．則．【答案】【解析】由題意，，則由可得，即由，可得故答案為：【變式2-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m，n使得，那么稱(chēng)為，在R上生成的函數(shù)．設(shè)，，若為，在R上生成的一個(gè)偶函數(shù)，且，則函數(shù)．【答案】【解析】．因?yàn)闉榕己瘮?shù)．所以①；又，則②；聯(lián)立①②解得，．所以．故答案為：【變式2-3】（2024·高一·全國(guó)·競(jìng)賽）已知是二次函數(shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則的表達(dá)式是.【答案】或【解析】設(shè).則.又為奇函數(shù)，，，對(duì)稱(chēng)軸為.當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，的最小值為，又，故此時(shí)無(wú)解；當(dāng)即時(shí)，的最小值，，此時(shí)；當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)，的最小值為，，此時(shí).綜上，所求為或.故答案為：或.題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值【典例3-1】（2024·高一·山東濰坊·期中）已知，是分別定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則.【答案】【解析】和已知條件相加得故故故答案為：【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【解析】是奇函數(shù)，則，即時(shí)，，所以，從而．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】充分利用奇偶性進(jìn)行求解．【變式3-1】（2024·高一·河南洛陽(yáng)·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，則.【答案】/【解析】的定義域?yàn)?，而為奇函?shù)，故，而，故，故，所以，此時(shí)，故為奇函數(shù)，故，故答案為：【變式3-2】（2024·高三·廣東珠?！て谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則．【答案】５【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，即．，，，∴,∴,故答案為：.【變式3-3】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，，則.【答案】2【解析】因?yàn)闀r(shí)，，所以因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以故答案為：2題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【典例4-1】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【解析】因?yàn)?，為奇函?shù)，又奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，解得或，故答案為：或．【典例4-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則.【答案】【解析】令，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得，所以.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問(wèn)題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解．【變式4-1】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以f-x=fx即，即，兩邊平方，化簡(jiǎn)可得．要使上式恒成立，則，即．故答案為：【變式4-2】（2024·高一·吉林延邊·期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則【答案】【解析】是定義在的奇函數(shù)，，即，，且，解得，或當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，合題意，，.故答案為：.【變式4-3】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為偶函數(shù)，則.【答案】【解析】法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，解得.故答案為：【變式4-4】（2024·高一·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則．【答案】【解析】定義域?yàn)榍?，函?shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以，即，解得，所以.故答案為：.題型五：已知奇函數(shù)+M【典例5-1】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中，且，則．【答案】【解析】，得構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)镽．因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：．【典例5-2】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，則它的最大值與最小值的和為.【答案】0【解析】因?yàn)榈亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是奇函數(shù)，不妨設(shè)，則，所以的最大值與最小值的和為0.故答案為：0.【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）【變式5-1】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】2【解析】因?yàn)?，令，定義域?yàn)?且，所以為奇函數(shù).因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，的最小值?所以，所以.故答案為：【變式5-2】（2024·高一·廣東·期末）已知函數(shù)，若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：.【變式5-3】（2024·高一·江蘇鹽城·期末）若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，，都有，且時(shí)，有，若的最大值為，最小值為，則的值為.【答案】4048【解析】令得，所以，令得，所以，令，則，，因?yàn)?，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：4048【變式5-4】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為.【答案】1【解析】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故答案為：1【變式5-5】（2024·高一·重慶云陽(yáng)·階段練習(xí)）若關(guān)于的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為【答案】3【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，且令，可得：，所以是奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，故最大值與最小值互為相反數(shù)，所以，即，，解得：.故答案為：3【變式5-6】（2024·高三·河南周口·開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．【答案】4048【解析】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．故答案為：4048題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題【典例6-1】（2024·山西·一模）已知函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，若，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【解析】令，則，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，故為偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，又函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【典例6-2】（多選題）（2024·高三·江蘇南通·期中）設(shè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，且在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，則（

）A．不具有奇偶性，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)B．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定【答案】ABD【解析】，在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增，單調(diào)性沒(méi)有辦法確定，C錯(cuò).因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以不具有奇偶性，A，B正確.，所以為偶函數(shù)，令，設(shè)任意，則，而所在區(qū)間無(wú)法確定，故的正負(fù)無(wú)法判斷，所以單調(diào)性不能確定，D正確.故選：ABD.【方法技巧與總結(jié)】判斷抽象函數(shù)的奇偶性，可用特殊值賦值法來(lái)求解．在這里，由于需要判斷與之間的關(guān)系，因此需要先求出的值才行．【變式6-1】（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，滿(mǎn)足，且，.(1)求，f1；(2)判斷的奇偶性，并證明；【解析】（1）取，得，即，所以，因?yàn)?，又，得，可得；?）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，取，得，移項(xiàng)得，所以函數(shù)是奇函數(shù).【變式6-2】（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．【解析】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）為奇函數(shù)，理由如下：，而，得故在上是奇函數(shù)（3）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，則，得，又在上是奇函數(shù)，所以當(dāng)，則，設(shè)，則，所以，，故，在上單調(diào)遞減.【變式6-3】（2024·高三·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，，.(1)證明：；(2)請(qǐng)判斷的奇偶性；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【解析】（1）令，則有，，因?yàn)槭侨我獾?，，由得，，；?）令，由①②得，將代入，解得或（，舍去），代入③得；令，則有，兩式相加得，由（1）的運(yùn)算結(jié)果，代入上式，得：，由可知如果，則有，不可能，所以，，由于x是任意的，必有，兩式相加得，是偶函數(shù)，，是奇函數(shù)；（3）由于，不等式即為：，由，得，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以m的最大值為；綜上，m的最大值為.題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用【典例7-1】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因是定義在R上的奇函數(shù)，由可得，又因時(shí)，單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，故得，，解得，.故選：C.【典例7-2】（2024·高一·云南楚雄·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，解得，所以，即，易得在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以為奇函?shù)．又，故等價(jià)于，則，解得.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是兩個(gè)性質(zhì)交融在一起（如本例），此時(shí)要充分利用奇偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，從而得到其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性；另一類(lèi)是兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單組合，此時(shí)只需分別利用函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)解題．【變式7-1】（2024·高一·云南普洱·期末）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，令，則是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則，即得解得或.故選：C.【變式7-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍為．【答案】【解析】由題意可知：的定義域?yàn)?，若，則，可得；同理可得：當(dāng)時(shí)，；且時(shí)，；綜上所述：是偶函數(shù)．因?yàn)殚_(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式等價(jià)于，即，整理得，解得或，所以x的取值范圍為.故答案為：.【變式7-3】（2024·高一·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，又函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿(mǎn)足，解得，即的取值范圍為.故答案為：【變式7-4】（2024·高一·山東淄博·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，若，則x的范圍是．【答案】或【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由在上為增函數(shù)，則，即在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，則對(duì)可得，即，則，化簡(jiǎn)得，即或.故答案為：或.【變式7-5】（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，且又因，所以，又因在為增函數(shù)，在上，在上，又因在為減函數(shù)，所以上，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，不等式可化簡(jiǎn)變形為，綜上所述可知當(dāng)時(shí)，.故選：D題型八：利用函數(shù)奇偶性識(shí)別圖像【典例8-1】（2024·高一·安徽蚌埠·階段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)；令，則，故B錯(cuò)；令，則，故D錯(cuò).選項(xiàng)A正確.故選：A【典例8-2】（2024·高一·重慶·期中）函數(shù)的圖像大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項(xiàng)，由，得，則排除C、D兩項(xiàng).故選：A.【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性進(jìn)行排除．【變式8-1】（2024·高三·上海靜安·期中）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】設(shè)，則，故為奇函數(shù)，A，D符合，排除B，C.又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故A滿(mǎn)足，D排除.故選：A【變式8-2】（2024·高一·新疆烏魯木齊·期中）函數(shù)的圖像大致是（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又由時(shí)，，所以函數(shù)圖象為B選項(xiàng).故選：B.【變式8-3】（2024·高一·湖北·期中）函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以該函?shù)為偶函數(shù)，下面只討論時(shí)的情況：，當(dāng)時(shí)，，圖象為C；當(dāng)時(shí)，，圖象為B；若時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象為D；所以函數(shù)的圖象可能為：BCD.故選：A.【變式8-4】（2024·高一·云南昆明·期末）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，其定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故AC錯(cuò)誤；由選項(xiàng)圖可知，都是討論的情況，當(dāng)時(shí)，，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B題型九：奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合運(yùn)用【典例9-1】（2024·高一·廣東佛山·期末）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像共有n個(gè)交點(diǎn)：，，…，，則（

）A．0 B．n C．2n D．4n【答案】C【解析】是偶函數(shù)，則，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)兩兩關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則,故選：C.【典例9-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知函數(shù)（常數(shù)）．條件：（1）在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）在定義域上函數(shù)值恒為負(fù)值；（3）對(duì)稱(chēng)中心為．問(wèn)：是否存在整數(shù)a，使該函數(shù)滿(mǎn)足條件（1）（2）（3）中的兩個(gè)條件，若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域．所以（2）成立只能．要使得在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則；因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由（1）（3）得，．由（2）（3）可得．綜上所述，且．【方法技巧與總結(jié)】奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合運(yùn)用在函數(shù)性質(zhì)探討中至關(guān)重要。技巧與方法包括：定義法：直接利用