【教無(wú)憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）5．5 三角恒等變換（十二大題型）

5．5三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 8題型一：兩角和與差的正（余）弦公式 8題型二：兩角和與差的正切公式 9題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 11題型四：給角求值 13題型五：給值求值 15題型六：給值求角 18題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題 21題型八：三角恒等式的證明 23題型九：輔助角公式的應(yīng)用 27題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合 30題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明 33題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 36

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡(jiǎn)捷地處理問(wèn)題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反．知識(shí)點(diǎn)二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對(duì)分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個(gè)角是的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡(jiǎn)時(shí)，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來(lái)，兩角和與差的余弦公式的等號(hào)右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式的等號(hào)右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的正切函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡(jiǎn)三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問(wèn)題．所以在處理問(wèn)題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過(guò)程簡(jiǎn)單明了．（4）公式對(duì)分配律不成立，即．知識(shí)點(diǎn)四：理解并運(yùn)用和角公式、差角公式需注意的幾個(gè)問(wèn)題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時(shí)，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡(jiǎn)便，不需要再用兩角和、差公式展開．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見(jiàn)的角的變換有：；；；等，常見(jiàn)的三角變換有：切化弦、等．知識(shí)點(diǎn)五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識(shí)點(diǎn)六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1、對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識(shí)點(diǎn)七：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)詮釋：利用二倍角公式的等價(jià)變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識(shí)點(diǎn)八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．知識(shí)點(diǎn)九：半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個(gè)公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無(wú)理式表示的．以上兩個(gè)公式稱作半角正切的有理式表示．知識(shí)點(diǎn)十：積化和差公式知識(shí)點(diǎn)詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號(hào)前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號(hào)中前后兩項(xiàng)的角分別為和．規(guī)律3：每個(gè)式子的右邊分別是這兩個(gè)角的同名函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)十一：和差化積公式知識(shí)點(diǎn)詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相加，右邊是兩個(gè)余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相減，右邊沒(méi)有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒(méi)扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時(shí)，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒(méi)有運(yùn)算錯(cuò)誤，其結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時(shí)需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式【典例1-1】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則，所以.故選：D【典例1-2】（2024·高二·新疆·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過(guò)程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．【變式1-1】（2024·高一·山東棗莊·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，故選：C.【變式1-2】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A【變式1-3】（2024·高一·江西贛州·階段練習(xí)）計(jì)算（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D．【變式1-4】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）將化簡(jiǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.題型二：兩角和與差的正切公式【典例2-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,-4，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則（

）A． B．7 C． D．【答案】B【解析】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,-4，則將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則.故選：B.【典例2-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則（

）A．-2 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，所以且，解得，所以，則．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運(yùn)用．【變式2-1】（2024·高一·河南·期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.【變式2-2】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，所以，所以故選：A【變式2-3】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，即故選：C【變式2-4】（2024·高一·江蘇連云港·期中）已知，則（

）A．－3 B．2 C．3 D．不存在【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例3-1】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】.故選：D.【典例3-2】（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）已知為鈍角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，解得或.因?yàn)闉殁g角，所以.故.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)（求值）的策略：化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．【變式3-1】（2024·高一·上海·課堂例題）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C【變式3-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?故選：A.【變式3-3】（2024·高二·北京·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，故選：A.【變式3-4】（2024·高三·湖南郴州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，即.故選：D題型四：給角求值【典例4-1】（2024·高一·湖北荊州·期中）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選：A【典例4-2】（2024·高一·江蘇蘇州·期中）計(jì)算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋栽焦蔬x：C【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡(jiǎn)求值，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．【變式4-1】（2024·廣東汕頭·二模）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故選：A.【變式4-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）．【答案】【解析】原式，故答案為：.【變式4-3】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求.【答案】/0.5【解析】故答案為：.【變式4-4】（2024·高一·四川南充·期中）______.【答案】1【解析】故答案為：1題型五：給值求值【典例5-1】（2024·高二·河北·學(xué)業(yè)考試）若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C【典例5-2】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，則，則.故選：A【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①；②；③；④．【變式5-1】（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得.故選：B.【變式5-2】（2024·高一·江蘇南通·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則，令，則所以故選：B.【變式5-3】（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以，?所以，且.因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所?因?yàn)?，所以，所?所以.故選：A.【變式5-4】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】，化簡(jiǎn)得，即，整理得.因?yàn)?，所?整理得，又，即，所以，即，進(jìn)而，于是.故選：D.題型六：給值求角【典例6-1】（2024·高一·江蘇鹽城·期中）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，，故，故，故.故選：C【典例6-2】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：D【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題的方法步驟（1）給值求角問(wèn)題的步驟．①求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過(guò)大或過(guò)小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．【變式6-1】（2024·高三·河北廊坊·期中）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，則．故選：B.【變式6-2】（2024·高一·遼寧遼陽(yáng)·期中）已知，，且，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因?yàn)樗詣t所以則，因?yàn)?，所以，又則，所以故因?yàn)樗詣t.故選：A.【變式6-3】（2024·高一·江蘇南京·期中）已知，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得：，所以，又由，可得，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.故選：A【變式6-4】（2024·高一·安徽亳州·期末）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，符號(hào)相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故選：A．題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【典例7-1】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若，，則．【答案】【解析】由，，得，所以.故答案為：【典例7-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）利用半角公式，求．【答案】【解析】，，則．故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】1、化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”（1）變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用計(jì)算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào)．【變式7-1】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，則．【答案】/【解析】由可知，故．故答案為：.【變式7-2】（2024·高一·上?！るA段練習(xí)）設(shè)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，從?故答案為：.【變式7-3】（2024·高一·江蘇南京·期末）已知，，則.【答案】【解析】，則，由半角公式可得.故答案為：【變式7-4】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，則.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：題型八：三角恒等式的證明【典例8-1】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，且，求證：．【解析】要證結(jié)論中等式成立，需證，即證，即證，即證．結(jié)合已知條件，故所證的等式成立．【典例8-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，求證：．【解析】因?yàn)椋裕矗シ帜?，得．又，所以，即，所以，于是，故．【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；（3）拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．【變式8-1】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）已知，求證：.【解析】左邊，右邊，因此，.【變式8-2】（2024·高一·江蘇泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式．對(duì)于，我們有可見(jiàn)也可以表示成的三次多項(xiàng)式．(1)利用上述結(jié)論，求的值；(2)化簡(jiǎn)；并利用此結(jié)果求的值；(3)已知方程在上有三個(gè)根，記為，求證：.【解析】（1），所以，因?yàn)?，因?yàn)?，，即，因?yàn)?，解得（舍?（2），故；（3）證明：因?yàn)?，故可令，故由可得：．由題意得：，因，故，故，或，或，即方程（*）的三個(gè)根分別為，，，又，故，于是，.【變式8-3】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，求證：．【解析】證明：因?yàn)?，所以，于是，因?yàn)?，所以，，同理可得，所以，從而，所以．【變?-4】（2024·高一·江蘇徐州·期中）求證下列恒等式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）左邊,原式得證.題型九：輔助角公式的應(yīng)用【典例9-1】（2024·高一·上海徐匯·期中）函數(shù)的最大值與最小值之和為．【答案】/【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則，即，解得，于是，所以函數(shù)的最大值與最小值之和為.故答案為：【典例9-2】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知：與沒(méi)有交點(diǎn)，因?yàn)椋?，可得，可知，所以?shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．【變式9-1】（2024·高一·江蘇淮安·期中）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．【答案】6【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，.故答案為：6【變式9-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)的最大值為．【答案】【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以的最大值?故答案為：【變式9-3】（2024·高一·山東菏澤·期末）已知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則.【答案】/【解析】令，，其中為銳角，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，則，所以，，所以，，，故.故答案為：.【變式9-4】（2024·高三·上海青浦·期中）已知關(guān)于的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，則的最小值為.【答案】9【解析】由題意得，解得，故可設(shè)，，其中，則原方程化為，即，其中，（不可能同時(shí)取0），顯然，，則，則，因?yàn)?，，所以，此時(shí)，，，，，即，，，.所以，即它的最小值為9，故答案為：9.題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合【典例10-1】（2024·高二·上海·階段練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)的最小正周期T；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【解析】（1），則；（2）令，，得，所以函數(shù)y=fx的單調(diào)增區(qū)間為；（3）由，得，所以，所以函數(shù)y=fx的值域?yàn)椋镜淅?0-2】（2024·高一·廣東茂名·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱軸方程；(2)求不等式的解集.【解析】（1）

.

令，.

解得，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；由，得，，所以，函數(shù)的對(duì)稱軸方程，.（2）由，得.

所以，.

解得，.

所以不等式的解集為：.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的三個(gè)步驟：（1）運(yùn)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．【變式10-1】（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】（1），由，得，由，得，所以的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2），由，得，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增區(qū)間為和.【變式10-2】（2024·高一·湖南邵陽(yáng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意有：，在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，方程在內(nèi)恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與直線在內(nèi)恰有三個(gè)交點(diǎn)，令，則，則與直線在內(nèi)恰有三個(gè)交點(diǎn)，，解得，故的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，由題意，存在，使得，即成立，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式10-3】（2024·高一·陜西寶雞·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若，求的值．【解析】（1）由題知：所以函數(shù)的最小正周期為．

因?yàn)樵谏?，，為增函?shù)，同理在上，為減函數(shù),又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）由（1）可知，又因?yàn)?，所以，由，得，從而?/p>

所以題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明【典例11-1】（2024·高一·廣東東莞·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)單位圓O與x軸的非負(fù)半軸相交于點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊分別作任意角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出以x軸的非負(fù)半軸為始邊時(shí)角的終邊（與單位圓交于點(diǎn)P），并說(shuō)明AP與的長(zhǎng)度關(guān)系；(2)根據(jù)第（1）問(wèn)的發(fā)現(xiàn)，證明兩角差的余弦公式；(3)由兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角差的正弦公式．【解析】（1）作出以x軸的非負(fù)半軸為始邊時(shí)角的終邊如圖所示：作圖原理如下：首先作平分，然后作關(guān)于對(duì)稱的射線，最終作關(guān)于軸的射線即可得解.由題意在同一個(gè)單位圓中，所以.（2）由題意，而即，所以由勾股定理可得，即，所以.（3）由題意.【典例11-2】如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)以軸的非負(fù)半軸為始邊作角它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)連接若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.

……(未完待續(xù))(提示一：任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來(lái)的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性)(提示二：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式)（1）完善上述探究過(guò)程；（2）利用（1）中的結(jié)論解決問(wèn)題：已知是第三象限角，求的值.【解析】（1），，整理得：；（2）是第三象限角，，，.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．【變式11-1】（2024·高一·山西太原·期末）如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，．（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；（2）利用兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式．證明：．（附：平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式【解析】（1）兩角差的余弦公式為：.證明：作角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)連接，若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，與重合，從而，所以.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，容易證明上式仍然成立.（2）證明：由誘導(dǎo)公式可知，.而，故.即證結(jié)論.題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【典例12-1】（2024·高一·四川眉山·期中）如圖，已知直線是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到的距離分別是2，3，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)．則的面積的最小值是．

【答案】6【解析】設(shè)，則，故，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為.故答案為：6.【典例12-2】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，已知直線，A是，之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)A到，的距離分別為，，其中，，B是直線上一