北京海淀區(qū)2024-2025高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案

年北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷本試卷共9頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A B.C. D.2.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.4.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則（）A. B. C. D.5.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.7.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，則（）A.在外 B.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C.在內(nèi) D.的焦距為8.設(shè)函數(shù)，則“”是“沒(méi)有極值點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.平面截正方體表面所得的交線形成的圖形可以是菱形B.存在點(diǎn)，使得直線與平面垂直C.平面把正方體分割成的兩個(gè)幾何體的體積相等D.點(diǎn)到平面的距離不超過(guò)10.2023年，甲、乙兩公司的盈利規(guī)律如下：從2月份開(kāi)始，甲公司每個(gè)月盈利比前一個(gè)月多200萬(wàn)元；乙公司每個(gè)月盈利比前一個(gè)月增加.記甲、乙兩公司在2023年第個(gè)月的盈利分別為，（單位：萬(wàn)元）.已知，，則最大時(shí)，的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________．12.已知向量，，則_________，的最小值為_(kāi)________.13.已知為等腰三角形，且，則_________.14.已知函數(shù)存在最小值，則的取值范圍是_________.15.已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線上恰好有個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均是整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于；④曲線所圍成區(qū)域的面積大于.其中，所有正確結(jié)論序號(hào)為_(kāi)________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).（1）求曲線的兩條對(duì)稱軸之間距離的最小值；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，，是的中點(diǎn)，在棱上，且平面.（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）再?gòu)臈l件①，條件②中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.某校為評(píng)價(jià)學(xué)生參加選修課的學(xué)習(xí)效果，組織了選修課學(xué)習(xí)的過(guò)程性評(píng)價(jià)測(cè)試.選修課程甲的所有學(xué)生的原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：原始成績(jī)8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（1）從這12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人原始成績(jī)不同的概率；（2）對(duì)課程甲采取“四分位數(shù)賦分法”進(jìn)行賦分，記選修該課程的總?cè)藬?shù)為，規(guī)定原始成績(jī)排名為的學(xué)生賦分成績(jī)?nèi)缦拢寒?dāng)時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?00分；當(dāng)，賦分成績(jī)?yōu)?5分；當(dāng)時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?0分；當(dāng)時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?0分.①?gòu)恼n程甲的原始成績(jī)不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記為這人賦分成績(jī)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②選修課程乙的所有學(xué)生的原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：原始成績(jī)9.7588757.565.755.75排名12244677原始成績(jī)54.754.54.542543.753.5排名910111113141516對(duì)課程乙也采取“四分位數(shù)賦分法”進(jìn)行賦分.現(xiàn)從課程甲、課程乙的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1人，記這2人的賦分成績(jī)分別為，直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望和的大小關(guān)系.19.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)作的平行線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)與不重合時(shí)，求證：.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：若，，則.（參考數(shù)據(jù)：，，）21.已知為各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，且.對(duì)于中的任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，使得或.（1）若，，寫(xiě)出的所有可能值；（2）若.①當(dāng)時(shí)，求的最大值；②當(dāng)時(shí)，求的最小值.2025年北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷1.B2.A3.A4.C5.B6.B7.A8.C9.B10.B11.12.0,1；13.14.15.②④三、解答題共6小題，共85分16.（1）函數(shù)由，解得所以曲線的兩條對(duì)稱軸之間的距離最小值為．（2）當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上的最大值為，得，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，因此，，解得，所以的值是.17.（1）取的中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，則且，由在棱上，底面為矩形，則，故，由平面，且面面，則，所以為平行四邊形，故，所以是的中點(diǎn)，得證；（2）選①：面面，面面，，面，所以面，又底面為矩形，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然面的一個(gè)法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值；選②：連接，底面為矩形，則，而，，所以，即，又，都在面內(nèi)，所以面，又底面為矩形，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然面的一個(gè)法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值；18.（1）設(shè)“從這12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，且2人原始成績(jī)不同”為事件，依據(jù)題中數(shù)據(jù)，僅有排名為2和4的兩對(duì)學(xué)生原始成績(jī)相同，由古典概型，得.（2）①根據(jù)題中數(shù)據(jù)，課程甲中原始成績(jī)不低于的學(xué)生共有6人，賦分依次為100，100，100，85，85，85，則的所有可能值為170，185，200，，所以的分布列如下：170185200.②對(duì)課程甲進(jìn)行賦分，賦分依次為：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60，對(duì)課程乙進(jìn)行賦分，賦分依次為：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60，因此，；，，所以.19.（1）依題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，則，，得直線的斜率.由得直線的斜率.由經(jīng)過(guò)點(diǎn)得直線的方程.由，得，由韋達(dá)定理得.所以.因?yàn)椋?，由于不重合，所以，所以所?因?yàn)閮蓷l直線不重合，所以.20.（1）由題設(shè)，則，故定義域?yàn)?（2）由，則必有，且，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上恒成立，令且，則，在上，則單調(diào)遞增，故，所以.（3）當(dāng)，則，且，設(shè)，則，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，00單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增；當(dāng)，，，故使，00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由，又，則，綜上，得證.21.（1）或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，符合條件；則或或或，又因?yàn)闉楦黜?xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，則或.當(dāng)時(shí)，則或或或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)或27，此時(shí)不滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，故舍去，綜上，的所有可能值為7，9，15，17．（2）①的最大值為1013，理由如下：（i）當(dāng)時(shí)符合題意且．（ii）假設(shè)中存在偶數(shù)，且首個(gè)偶數(shù)為，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以存在，使得ak=2aj-ai所以為奇數(shù)，此時(shí)均不為偶數(shù)，與為偶數(shù)矛盾．所以中各項(xiàng)均為正奇數(shù)，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，即．綜上的最大值為1013．②的最小值為7，理由如下：（i）首先證明時(shí)存在符合條件的