數(shù)學(xué)-吉林省吉林市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年高中畢業(yè)年級(jí)第二次調(diào)研測(cè)試（吉林二模）試題和答案

吉林地區(qū)普通高中2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬考試說(shuō)明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無(wú)效；在試卷上、草紙上答題無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1.命題p:x∈R，x2≥0，則p為A.x∈R，x2＜022.設(shè)全集U=Z，A={-1,0,1}，B={x∈N||x|≤2}，則圖中陰影部分表示的集合是A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}3.在ΔABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為ΔABC的重心，則OA+OB=A.COB.ODC.2COD.2DO4.已知隨機(jī)事件A和B，下列表述中錯(cuò)誤的是A．若B二A，則P(AB)=P(B)B．若B二A，則P(AUB)=P(A)C．若A，B互斥，則P(AB)=1D．若A，B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B)5.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足PF丄x軸，若|PF|=3，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為A.1B.2C.4D.86.定義：到定點(diǎn)(a,b)的距離為定值d的直線系方程為(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=d(θ∈R)，此方程也是以(a,b)為圓心，d為半徑的圓的切線方程.則當(dāng)θ變動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線xcos2θ+ysin2θ=2cos2θ(θ∈R)圍成的封閉圖形的面積為A.1B.2C.πD.4π7.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且a3，a5+1，2a6成等比數(shù)列，則數(shù)列{(-1)nan}的前2025項(xiàng)和為A.-1013B.-505C.505D.10138.定義：[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，區(qū)間[a,b]（或(a,b)，[a,b)，(a,b]）的長(zhǎng)度記為b-a.若關(guān)于x的不等式k[x]＜ln[x]的解集對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.k＜0B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。A.在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B.-1+iD.若z是關(guān)于x的方程x2+px+2=0(p10.數(shù)學(xué)與音樂(lè)有緊密的關(guān)聯(lián)，每個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asin①x.像我們平時(shí)聽到的音樂(lè)不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等，這些音叫諧音，因?yàn)檎穹^小，我們一般不易單獨(dú)聽出來(lái).所以我們聽到的聲音的函數(shù)是y=sinx+sin2x+sin3x+…，記fnsinkx則A.y=f2(x)的最大值為B.y=f3在上單調(diào)遞增C.y=f4(x)的周期為2π,|fn(x)|≤n|x|11.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b滿足f(ab)=af(b)+bf(a)，當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，則A.f(1)=0B.f(|x|)=f(x)C.f(x)有3個(gè)零點(diǎn)D.若f(x)＞0，則—1＜x＜0或x＞1三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分。12.已知函數(shù)則f.直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為.CE=3AE，側(cè)面SAB內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足CP=2PE，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為；直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin2A-sinAsinB=cos2B-cos2C.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(Ⅱ)若不等式f(x)＞m(x+1)在x∈(-1,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17.（本小題滿分15分）如圖，一個(gè)直三棱柱ABC-A1B1C1和一個(gè)正四棱錐P-ABB1A1組合而成的幾何體中，(Ⅱ)若平面BB1C1C與平面PBB1夾角的余弦值為，求正四棱錐P-ABB1A1的高.18.（本小題滿分17分）國(guó)家設(shè)立國(guó)家自然科學(xué)基金，用于資助基礎(chǔ)研究，支持人才培養(yǎng)和團(tuán)隊(duì)建設(shè).現(xiàn)對(duì)近4年的國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目支出（以下簡(jiǎn)稱項(xiàng)目支出）概況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下表：年份2023年年份序號(hào)1234項(xiàng)目支出/百億元(Ⅰ)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)年份序號(hào)與項(xiàng)目支出具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)求出項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年的項(xiàng)目支出；(Ⅱ)天元基金是國(guó)家自然科學(xué)基金中的數(shù)學(xué)專項(xiàng)基金之一，為促進(jìn)甲、乙兩個(gè)地區(qū)天元基金申報(bào)者的交流，天元基金委員會(huì)舉辦了論壇活動(dòng).經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩個(gè)地區(qū)共有200人參加此次論壇活動(dòng)，具體數(shù)據(jù)如下表：男生女生合計(jì)/人45合計(jì)/人(ⅰ)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為申報(bào)者所在地區(qū)與性別有關(guān)聯(lián)？(ⅱ)為了解此次論壇活動(dòng)的滿意度（滿意度評(píng)分滿分為10分現(xiàn)采用按男、女樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從上述200人中抽取40人進(jìn)行訪談，其中男生樣本的滿意度平均數(shù)為9分，方差為7.19，女生樣本的滿意度平均數(shù)為7分，方差為6.79，由這些數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出總樣本的滿意度的平均數(shù)和方差，并對(duì)全體參加此次論壇活動(dòng)的天元基金申報(bào)者的滿意度的平均數(shù)和方差作出估計(jì).ΛΛa=y-bxα0.0250.001xα2.7063.8415.0246.63519.（本小題滿分17分）已知An(xn,yn)(n=1,2,3...)在拋物線x2=2py(p＞0)上，其中A1(1,1)，An關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Bn，記直線BnAn+1的斜率為kn，k1=2且kn+1=2kn.(Ⅰ)證明數(shù)列{xn+1-xn}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)記an=log2(xn+1)，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)r，k，使ar1=2Tk+16成立？若存在，求出r，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.命題校對(duì)：高三數(shù)學(xué)核心組吉林地區(qū)普通高中2024—2025學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、單選題：本大題共8題，每小題5分，共40分。12345678CBACBCAD8.教學(xué)提示:原不等式的解集對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為1，:不等式k<的正整數(shù)解有且只有一個(gè).易知f(x)=在(0,e)上單調(diào)遞增，(e,+∞)上單調(diào)遞減，又:f(3)=，f(2)=f(4)=，ln2ln3二、多選題：本大題共3題，每小題6分，共18分。9ACBCDACD10.教學(xué)提示D.易證sinx≤x.:ifn(x)=sinx+sin2x+…+sinnx11.教學(xué)提示（法一）已知f(ab)=af(b)+bf(a)，令a=1,b=x，則f(一x)=f(x)，B選項(xiàng)不正確；令a=x,b=，則f(1)=xf()+f(x)=0，:當(dāng)x>1時(shí)，0<<1，:f(x)>0，:f()<0，即當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0.又:f(x)是奇函數(shù)，:當(dāng)一1<x<0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<一1時(shí)，f(x)<0.:f(0)=f(1)=f(一1)=0，:C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)正確.（法二）當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.即f(x)=xlogc|x|(c>0且c≠1).又:當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，:c>1，即f(x)=xlogc|x|(c>1).綜上f(x)={:易得ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.lxlogc|x|,x≠0.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。 14.教學(xué)提示（法一）由CP=2PE得，點(diǎn)P軌跡是以A為球心，1為半徑的球面，又:點(diǎn)P在平面SAB內(nèi)，:點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑，為圓心角的圓弧上，因此點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.建系如圖，設(shè)P(cosθ,0,sinθ)(θ∈[0,])AB.CP AB.CPABCP2·(cosθ1)2+3+sin2θ52cosθ.ABCP36故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為[0,].4（法二）設(shè)直線CP與直線AB所成角為θ,根據(jù)三余弦定理可知，cosθ=cosθ1cosθ2=，易知P從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至N處，tanθ1逐漸減小，則cosθ1逐漸增大，由圖可知，P從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至N處cosθ2逐漸增大，則P在點(diǎn)M處時(shí)，cosθ取得最小值，此時(shí)cosθ=0，則P在點(diǎn)N處時(shí)，cosθ取得最大值，此時(shí)cosθ=cosθ1cosθ2=×=， 故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為[0,].四、解答題：本大題共5小題，共77分。2AsinAsinB=cos2Bcos2C=(1sin2B)(1sin2C)=sin2Csin2B，得sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB.由正弦定理得a2+b2—c2=ab.···················································································2分i6)23ab，解得ab=1. 即ΔABC的面積S為.·························································································6分在ΔABC中，SΔABC=SΔACD+SΔBCD由CD=，得ab=a+b=(a+b)，所以ab=(a+b 所以a+b的最小值為.·······················································································13分xf’(x)=xe.····································································································4分:f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—∞,—1)，(—1,0).·····························································7分xx:x+1>0:m<e.································9分2當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.······················································13分則g(x)min=g(1)=，:m<，即m的取值范圍是(—∞,17.【解析】【此處也可直接證明：正四棱錐P—ABB1A1中，A1B1丄AA1.】又:A1B1丄A1C1，AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1平面ACC1A1，:A1B1丄平面ACC1A1.····························································································5分又:A1B1平面PA1B1，:平面PA1B1丄平面ACC1A1.·················································································7分(Ⅱ)（法一）以A為原點(diǎn)，AA1，CA，AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,2),B1(2,0,2),C(0,—2,0).設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h，則P(1,h,1)，設(shè)平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1).取z1設(shè)平面PBB1的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2)，1設(shè)平面BB1C1C與平面PBB1夾角為θ,2102所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分（建系方式二）以A為原點(diǎn)，AC，AA1，AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n1=(1,0,1)，（法二）取BB1中點(diǎn)M,CC1中點(diǎn)N，連接PM，MN.:正四棱錐P—ABB1A1，:PB=PB1，:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四邊形BB1C1C是矩形，:M，N分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:∠PMN或其補(bǔ)角即為平面BB1C1C與平面PBB1的夾角，設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h,則PM=hh2·······················································11分:A1B1丄A1C1且A1B1=A1C1=2, :B1C1=MN=2·2.作PH⊥平面AA1C1C，垂足為H，連接NH，在ΔPMN中，由余弦定理得，PN2=PM2+MN2—2PM.MNcos上PMN,22222 所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分（法三）取AA1中點(diǎn)F,BB1中點(diǎn)M,CC1中點(diǎn)N,連接NF、MN、MP、MF,并延長(zhǎng)NF、MP交于點(diǎn)Q，取MN中點(diǎn)E,連接EP,EP、MF交于點(diǎn)G.:正四棱錐P—ABB1A1中，PB=PB1:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四邊形BB1C1C是矩形，:M，N分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:上NMQ或其補(bǔ)角即為平面BB1C1C與平面PBB1的夾角，即cos上NMQ=或.··················································································11分設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h，則PG即為四棱錐P—ABB1A1的高，MG2+GP2:MP=.:ΔMFQ中，GP丄MG2+GP2:MP=:GP//FQ，又G為MF的中點(diǎn)，:GP為ΔMFQ的中位線，:FQ=2h.2:MQ=2MP=2 2222 所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分18.【解析】2Λ所以b=(xix)(yiy) (xix)2295ΛΛΛ所以國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=5.8x+84.·······5分Λ預(yù)測(cè)2025年的國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出為118.8百億元.·········································6分xi4x422xi4xΛ所以國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=5.8x+84.······5分Λ預(yù)測(cè)2025年的國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出為118.8百億元.·········································6分H0:申報(bào)天元基金者的所在地區(qū)與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到2800·2800·依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為申報(bào)天元基金者的所在地區(qū)與性 (ⅱ)把男生樣本的滿意度平均數(shù)記為x，方差記為s；女生樣本的滿意度平均數(shù)記為y，方差記為s；總樣本的滿意度平均數(shù)記為z，方差記為s2.根據(jù)男、女樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，s22]2]19.【解析】(Ⅰ)證明：:點(diǎn)A1(1,1)在拋物線x2=2py(p>0)上，:2p=1，即拋物線方程為x2=y.····························································································1分:An(xn,x),Bn(一xn,x),An+1(xn+1,x+1).22n+1xn.···················································································3分:kn+1=2kn，:xn+2一xn+1=2(xn+1一xn).:{xn+1一xn}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即xn+1一xn=2n.································5分12n12n1(n:x1=1符合上式，:數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式是xn=2n一1.················