《微分與求導(dǎo)的法則》課件

微分與求導(dǎo)的法則by課程目標(biāo)理解微分與求導(dǎo)的概念掌握微分與求導(dǎo)的基本定義，并了解其在數(shù)學(xué)中的重要性。熟練運(yùn)用求導(dǎo)法則掌握基本求導(dǎo)公式，并能夠熟練運(yùn)用復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法則。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題理解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖像性質(zhì)、最值問題、曲線切線等方面的應(yīng)用，并能夠利用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)實際問題。微分概念微分是函數(shù)變化率的線性近似，表示函數(shù)在某一點附近微小變化量的變化趨勢。通俗地說，微分就是函數(shù)在某個點附近“幾乎是直線”的部分，也就是函數(shù)在該點附近的“切線”。微分可以用來解決各種問題，比如：*計算函數(shù)的瞬時變化率*近似計算函數(shù)的值*優(yōu)化函數(shù)微分的幾何意義切線斜率微分代表函數(shù)曲線在某一點的切線斜率。瞬時變化率它反映了函數(shù)值在該點處的變化速率。微分的性質(zhì)線性性微分運(yùn)算滿足線性性質(zhì)，即：d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)，d(kf(x))=kdf(x)，其中k為常數(shù)。乘積法則兩個函數(shù)乘積的微分等于第一個函數(shù)的微分乘以第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的微分。商法則兩個函數(shù)商的微分等于分母的平方乘以分子微分減分子乘以分母微分的商?；疚⒎止?常數(shù)d(c)=02冪函數(shù)d(x^n)=nx^(n-1)dx3指數(shù)函數(shù)d(a^x)=a^xln(a)dx4對數(shù)函數(shù)d(ln(x))=1/xdx復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1鏈?zhǔn)椒▌t如果y=f(u)且u=g(x)，則y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)乘以u對x的導(dǎo)數(shù)，即dy/dx=dy/du*du/dx。2舉例說明例如，y=sin(x^2)，則u=x^2，y=sin(u)，所以dy/dx=cos(u)*2x=2xcos(x^2)。3應(yīng)用場景鏈?zhǔn)椒▌t廣泛應(yīng)用于求解各種復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)等等。反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)定義若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x),則有f(f-1(x))=x.求導(dǎo)公式設(shè)y=f(x)可導(dǎo)且f'(x)≠0,則其反函數(shù)y=f-1(x)的導(dǎo)數(shù)為:(f-1(x))'=1/f'(f-1(x)).隱函數(shù)求導(dǎo)法則1方程兩邊同時求導(dǎo)對等式兩邊同時進(jìn)行求導(dǎo)2求解導(dǎo)數(shù)將導(dǎo)數(shù)表達(dá)式化簡，得到目標(biāo)導(dǎo)數(shù)3隱函數(shù)求導(dǎo)對包含兩個或多個變量的方程進(jìn)行求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)是指對函數(shù)進(jìn)行n次求導(dǎo)的結(jié)果。記號f(x)的n階導(dǎo)數(shù)記為f(n)(x)或dny/dxn。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在分析函數(shù)的性質(zhì)、求解微分方程、研究曲線的凹凸性等方面有著廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一：函數(shù)圖像的性質(zhì)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。凹凸性二階導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的凹凸性，如果二階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)圖像向上凹；如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)圖像向下凹。拐點拐點是函數(shù)圖像凹凸性發(fā)生改變的點，可以利用二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點來尋找拐點。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用二：函數(shù)最值問題求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值。利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，找到函數(shù)的駐點和拐點。比較函數(shù)在駐點、拐點和端點處的函數(shù)值，確定最值。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用三：曲線的切線和法線切線斜率在某一點處的切線斜率等于該點處的導(dǎo)數(shù)。切線方程利用點斜式方程可以求出切線方程。法線斜率法線與切線垂直，因此其斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)。法線方程利用點斜式方程可以求出法線方程。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用四：速度和加速度問題速度速度是物體位置隨時間變化的快慢，是位置函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。加速度加速度是速度隨時間變化的快慢，是速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用五：相關(guān)速率問題1動態(tài)關(guān)系分析兩個或多個變量之間隨時間變化的關(guān)系2求導(dǎo)應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)來求解變量的變化率3應(yīng)用場景例如，物體運(yùn)動速度、水池排水速度、影子變化速度等總復(fù)習(xí)一：基本求導(dǎo)公式常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為指數(shù)減1后的冪函數(shù)乘以原來的指數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為指數(shù)函數(shù)乘以自然對數(shù)底對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為1除以自變量乘以自然對數(shù)底總復(fù)習(xí)二：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).常見復(fù)合函數(shù)三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)等.練習(xí)題針對各種復(fù)合函數(shù)，進(jìn)行求導(dǎo)練習(xí)，鞏固鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用.總復(fù)習(xí)三：隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)定義當(dāng)一個方程不能直接寫成y=f(x)的形式，但可以表示y是x的函數(shù)時，該方程稱為隱函數(shù)。求導(dǎo)步驟對等式兩邊同時求導(dǎo)，然后解出y'的表達(dá)式。應(yīng)用場景求解無法直接表示為顯函數(shù)的曲線斜率和切線方程?？倧?fù)習(xí)四：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)圖像的性質(zhì)單調(diào)性，凹凸性，拐點函數(shù)最值問題求函數(shù)的最大值和最小值速度和加速度利用導(dǎo)數(shù)求解運(yùn)動學(xué)問題思考題一求函數(shù)y=ln(x+sqrt(x^2+1))的導(dǎo)數(shù)。思考題二求函數(shù)y=x^3+3x^2-9x+5的單調(diào)區(qū)間和極值。思考題三請嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)求解下列問題：-已知函數(shù)f(x)=x^3+2x^2-5x+1，求其導(dǎo)數(shù)。-已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求其導(dǎo)數(shù)。-已知函數(shù)f(x)=ln(x)+e^x，求其導(dǎo)數(shù)。-已知函數(shù)f(x)=(x^2+1)/(x-1)，求其導(dǎo)數(shù)。思考題四求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x的單調(diào)區(qū)間和極值.思考題五請解釋微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并舉例說明它們在實際應(yīng)用中的區(qū)別。課程總結(jié)1微分和求導(dǎo)微分與求導(dǎo)是數(shù)學(xué)分析的重要工具，它們描述了函數(shù)的變化率和切線斜率。2求導(dǎo)法則我們學(xué)習(xí)了各種求導(dǎo)法則，包括基本函數(shù)的求導(dǎo)、復(fù)