學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)研究報(bào)告

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)1/29/2025本章知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)的瞬時變化率運(yùn)動的瞬時速度曲線的切線斜率基本初等函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值、最值曲線的切線變速運(yùn)動的速度最優(yōu)化問題1/29/2025曲線的切線

以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點(diǎn)P臨近的一點(diǎn)，做割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C無限地趨近點(diǎn)P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點(diǎn)P處的切線。一．知識串講1/29/2025（一）導(dǎo)數(shù)的概念：

1．導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x=x0處給自變量x以增量△x，函數(shù)y相應(yīng)有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f’(x0)，或y|；1/29/2025

2．導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個確定的x0值，都相對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f’(x0)，這樣在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．簡稱導(dǎo)數(shù)．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=1/29/2025

3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程為

y

y0=f’(x0)·(x－x0)．

4．導(dǎo)數(shù)的物理意義：物體作直線運(yùn)動時，路程s關(guān)于時間t的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s’(t).1/29/2025返回1/29/2025導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差),即:法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即:法則3:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再除以第二個函數(shù)的平方.即:返回1/29/2025當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回1/29/20251)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在這個區(qū)間（a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在這個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).返回1/29/20252)如果a是f’(x)=0的一個根，并且在a的左側(cè)附近f’(x)<0，在a右側(cè)附近f’(x)>0，那么是f(a)函數(shù)f(x)的一個極小值.函數(shù)的極值1)如果b是f’(x)=0的一個根，并且在b左側(cè)附近f’(x)>0，在b右側(cè)附近f’(x)<0，那么f(b)是函數(shù)f(x)的一個極大值注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．2)在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回1/29/20251/29/20251/29/20251/29/20251/29/2025（五）函數(shù)的最大值與最小值：

1．定義：最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間(或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小值記為m.1/29/2025

2．存在性：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．3．求最大（小）值的方法：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值.1/29/20251/29/20251/29/20251/29/20251/29/20251/29/2025例1．已經(jīng)曲線C：y=x3-x+2和點(diǎn)A(1,2)。求在點(diǎn)A處的切線方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x1/29/2025變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？例1．已經(jīng)曲線C：y=x3-x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？解：變1：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x03－x0+2），∴切線方程為y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)又∵切線過點(diǎn)A(1,2)

∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化簡得(x0－1)2(2x0+1)=0，①當(dāng)x0=1時，所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x

解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②當(dāng)x0=－時，所求的切線方程為：

y－2=－(x－1),即x+4y－9=01/29/2025變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？例1：已經(jīng)曲線C：y=x3－x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？變式2：若曲線上一點(diǎn)Q處的切線恰好平行于直線y=11x－1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為____________,切線方程為_____________________．(2,8)或(－2,－4)y=11x－14或y=11x+181/29/20251/29/20251/29/2025（1）正確理解導(dǎo)數(shù)的概念和意義，導(dǎo)數(shù)是一個函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，