定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問題、蝴蝶問題（四大題型）（學(xué)生版）

題型一：定比點(diǎn)差法例1．已知橢圓C:+=1（a>b>0）的離心率為過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AF=3FB，求k例2．已知=1，過點(diǎn)P的直線交橢圓于A，B（可以重合求若λ=2，求μ的值.變式1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若，求點(diǎn)A的坐標(biāo)變式2．已知橢圓+y2=1，設(shè)過點(diǎn)P(2,2)的直線l與橢圓C交于A，B，點(diǎn)Q是線段AB上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程.題型二：齊次化例4．已知拋物線C:y2=4x，過點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：2例5．如圖，橢圓E:+y2=1，經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A(0,1)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.21，設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2(0,1)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：直線l過定點(diǎn).變式3．已知橢圓+y2=1，B(0,1)，P，Q為上的兩個不同的動點(diǎn)，kBPkBQ=，求證：直線PQ過定點(diǎn).題型三：極點(diǎn)極線問題例72023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓方程平面上有一點(diǎn)P(x0,y0)．定義直線方程是橢圓Γ在點(diǎn)P(x0,y0)處的極線．已知橢圓方程.(1)若P(1,y0)在橢圓C上，求橢圓C在點(diǎn)P處的極線方程；(2)若P(x0,y0)在橢圓C上，證明：橢圓C在點(diǎn)P處的極線就是過點(diǎn)P的切線；(3)若過點(diǎn)P(—4,0)分別作橢圓C的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為X，Y，割線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點(diǎn)Q．證明：Q，X，Y三點(diǎn)共線.例82023·全國·高三專題練習(xí)）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點(diǎn)P(x0，y0)和直線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線G的一對極點(diǎn)和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(x0，y0)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓=1，與點(diǎn)P對應(yīng)的極線方程為對于雙曲線=1，與點(diǎn)P(x0，y0)對應(yīng)的極線方程為對于拋物線y2=2px，與點(diǎn)P(x0，y0)對應(yīng)的極線方程為y0y=p(x0+x).即對于確定的圓錐曲線，每一對極點(diǎn)與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)、定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線③當(dāng)P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)M--=T-時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.例92023秋·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓b＞0）過A，B（0，1）兩點(diǎn).（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn).變式42023·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線x2—y2=9與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線A1P與A2Q的斜率分別為k1，k2，且k1—k2=0．試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.變式52023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為且過點(diǎn)A，B分別為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，P為直線x=3上的動點(diǎn)（不在x軸上PA與橢圓E的另一交點(diǎn)為C，PB與橢圓E的另一交點(diǎn)為D，記直線PA與PB的斜率分別為k1，k2.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅲ)證明：直線CD過一個定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).題型四：蝴蝶問題例102003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0,r)(b>r>0).(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0)；直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn)G(x3,y3)，(3)對于（2）中的中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）例112023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，四點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，AB為圓O的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，過M作圓O的兩條弦CD，EF.若CF，ED分別與直線AB交于點(diǎn)P，Q，則MP=MQ.該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓C中，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為且兩條弦CD，EF所在直線斜率存在，證明：MP=MQ.例122021·全國·高三專題練習(xí)蝴蝶定理）過圓AB弦的中點(diǎn)M，任意作兩弦CD和EF，CF與ED交弦AB于P、Q，求證：PM=QM.變式62023·全國·高三專題練習(xí)）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓M的方程為x2+(y—b)2=r2，直線x=my與圓M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線x=ny與圓M交于E(x3,y3)，F(xiàn)(x4,y4).原點(diǎn)O在圓M內(nèi).求證：（2）設(shè)CF交x軸于點(diǎn)P，ED交x軸于點(diǎn)Q.求證：OP=OQ.變式72023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且AB=4，橢圓C離心率為1（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)，且斜率不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，BN的交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在直線x=4上.變式82023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為為橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值.變式92021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)是F(2，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知P(0,—b)是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；過點(diǎn)D作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由.變式102023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為，A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)F，BF=1，過F且斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，M在x軸上方.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記△AFM，△BFN的面積分別為S1，S2，若，求k的值；(3)設(shè)線段MN的中點(diǎn)為D，直線OD與直線x=4相交于點(diǎn)E，記直線AM，BN，F(xiàn)E的斜率分別為k1，k2，k3，求k2.(k1k3)的值.變式112023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)A在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：的斜率與直線OA的斜率乘積為—（1）求橢圓C的方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y=3x+t與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為R（與點(diǎn)A不重合直線AQ，AR與y軸分別交于兩點(diǎn)M，N，求證：AM=AN.變式122022·全國·高三專題練習(xí)）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對于圓x22，與點(diǎn)(x0,y0)對應(yīng)的極線方程為x0x+y0y