北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章《圓錐曲線與方程》檢測(cè)(含答案解析)

一、選擇題1．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)滿足，且，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3．過(guò)橢圓上的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若內(nèi)切圓圓心為，則圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)為，，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為M，若，則E的離心率為（）A． B． C． D．7．已知、分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．8．已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線C：(，)的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線左支于P，交漸近線于點(diǎn)Q，點(diǎn)在第一象限，且，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若點(diǎn)P在雙曲線上，且為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．斜率為的直線與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，且過(guò)的左焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的右焦點(diǎn)為，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．12．在拋物線型內(nèi)壁光滑的容器內(nèi)放一個(gè)球，其通過(guò)中心軸的縱剖面圖如圖所示，圓心在軸上，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線方程是，圓的半徑為，若圓的大小變化時(shí)，圓上的點(diǎn)無(wú)法觸及拋物線的頂點(diǎn)，則圓的半徑的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題13．雙曲線右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在雙曲線上，則雙曲線的離心率是______．14．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，橢圓外一點(diǎn)，直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，過(guò)P作橢圓C的切線，切點(diǎn)為E，若，則____________．15．已知雙曲線(，)的兩條漸近線與直線所圍成的三角形的面積為4，則雙曲線C的離心率為________.16．橢圓的左焦點(diǎn)為，，，分別為其三個(gè)頂點(diǎn).直線與交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則___________.17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，過(guò)作交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的方程為_________．18．已知雙曲線，點(diǎn)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且滿足，若，則E的離心率為_________.19．對(duì)拋物線：，有下列命題：①設(shè)直線：，則直線被拋物線所截得的最短弦長(zhǎng)為4；②已知直線：交拋物線于、兩點(diǎn)，則以為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線相切；③過(guò)點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有1條或3條；④若拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)和拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，直線過(guò)點(diǎn)且與垂直，則平分；其中你認(rèn)為是正確命題的所有命題的序號(hào)是______.20．已知下列幾個(gè)命題：①的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，周長(zhǎng)為18，則C點(diǎn)軌跡方程為；②“”是“”的必要不充分條件；③已知命題，，則為真，為假，為假；④雙曲線的離心率為．其中正確的命題的序號(hào)為_____．三、解答題21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線、交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線、的斜率分別為，且，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，的周長(zhǎng)為.（1）求的方程：（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立(為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在求出坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由.23．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，離心率，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之積的最大值為4.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)為直線：上的任意一點(diǎn)，直線、與橢圓分別交于兩點(diǎn)、（不同于、兩點(diǎn)），求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，24．已知點(diǎn)是圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的弦，并使弦的中點(diǎn)恰好落在軸上．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，求證：．25．設(shè)命題方程表示雙曲線；命題不等式對(duì)恒成立.（Ⅰ）若命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若命題為真，命題為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.26．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)（）到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【分析】根據(jù)中線向量可得，平方后結(jié)合橢圓的定義可得，在焦點(diǎn)三角形中再利用余弦定理可得，從而可求離心率.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，所以，故，故，所以，又，故，故.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，注意利用橢圓的定義來(lái)轉(zhuǎn)化，還要注意利用余弦定理和向量的有關(guān)方法來(lái)計(jì)算長(zhǎng)度、角度等.2．D解析：D【分析】焦點(diǎn)三角形滿足，可根據(jù)三角形一邊的中線是該邊的一半，可判斷該三角形是直角三角形.算出該三角形的中位線，可得到，根據(jù)雙曲線定義和勾股定理計(jì)算出求解.【詳解】直線過(guò)點(diǎn)F，可得設(shè)右焦點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，故三角形為直角三角形.，故由點(diǎn)到直線距離公式有故，，故.可得故選：D【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．3．C解析：C【分析】當(dāng)直線有一條斜率不存在時(shí)，可直接求得，當(dāng)直線的斜率都存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為k，則直線的斜率為，則可得直線的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可求得的表達(dá)式，同理可求得的表達(dá)式，令，則可得，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合t的范圍，即可求得的范圍，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)直線有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，則直線斜率為0，此時(shí)，，所以，當(dāng)直線的斜率都存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為k，則直線的斜率為，不妨設(shè)直線都過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，所以直線，直線，聯(lián)立與橢圓T，可得，，，所以，同理，所以，令，因?yàn)椋?，所?，令，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，綜上的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，求得的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解，易錯(cuò)點(diǎn)為需求直線中有一個(gè)不存在時(shí)，的值，考查計(jì)算求值的能力，屬中檔題.4．C解析：C【分析】作出圖形，可知是以為直角的直角三角形，可得出，可得出、、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，可知、均為銳角，所以，是以為直角的直角三角形，由題意可知，點(diǎn)、、，則，，，可得，即，在等式的兩邊同時(shí)除以可得，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.5．C解析：C【分析】設(shè)內(nèi)切圓與的三邊??的切點(diǎn)分別為??，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可得，即可得答案.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓分別與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，則，．又點(diǎn)在雙曲線右支上，，即，①，又②，由①＋②，解得，又，則，因?yàn)殡p曲線的，所以內(nèi)切圓圓心與在直線上，設(shè)，設(shè)圓的圓心為，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是由定義和已知得到和，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.6．A解析：A【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得，由勾股定理可得，則，，由此利用余弦定理可得到，的關(guān)系，由離心率公式計(jì)算即可得答案．【詳解】由題得，不妨設(shè)，則，，，，由余弦定理可知，化為，即有，故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．7．B解析：B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得，結(jié)合雙曲線的定義可得的關(guān)系，從而求得離心率．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的平分線，∴，，又是中點(diǎn)，所以，且，又，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的關(guān)系，解題方法是延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出，然后由雙曲線的定義得出關(guān)系式，從而求解．8．B解析：B【分析】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為N，連接AN，BN，因?yàn)锳F⊥BF，所以四邊形AFBN為長(zhǎng)方形，再根據(jù)橢圓的定義化簡(jiǎn)得，得到離心率關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的單調(diào)性求得離心率的范圍.【詳解】由題意橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為N，連接AN，BN，因?yàn)锳F⊥BF，所以四邊形AFBN為長(zhǎng)方形．根據(jù)橢圓的定義：，由題∠ABF＝α，則∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即橢圓離心率的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的取值范圍問(wèn)題，其中解答中合理利用橢圓的定義和題設(shè)條件，得到,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.9．A解析：A【分析】由得出，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，利用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得關(guān)于的等式，變形后可求得．【詳解】∵，是中點(diǎn)，∴，設(shè)（），則，又，故解得，即，，則，，解得，又在雙曲線上，∴，解得（舍去）．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的齊次式，本題利用在雙曲線上列式，由得，由表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求解．10．D解析：D【分析】由題意畫出圖形，不妨設(shè)在第一象限，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)，求出和為直角時(shí)的值，可得為銳角三角形時(shí)的取值范圍．【詳解】為銳角三角形，不妨設(shè)在第一象限，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)在處，，又由，，可得，此時(shí)；當(dāng)在處，，，易知?jiǎng)t此時(shí)∴為銳角三角形，則的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于求出和為直角時(shí)的值.11．C解析：C【分析】由已知得直線的方程可得，設(shè)代入橢圓的方程做差可得，然后利用可得，再利用橢圓定義可得答案.【詳解】易得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，，則，則，整理得，解得，則的周長(zhǎng)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的位置關(guān)系，在解答平面解析幾何中的某些問(wèn)題時(shí)，如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程，這類問(wèn)題通常與直線斜率和弦的中點(diǎn)有關(guān)或借助曲線方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍.12．A解析：A【分析】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，求出，當(dāng)?shù)淖钚≈翟谠c(diǎn)處取得時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)，可得此時(shí)圓半徑的范圍，半徑不在這個(gè)范圍內(nèi)的圓不過(guò)原點(diǎn)．【詳解】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，，若的最小值不在處取得，則圓不過(guò)原點(diǎn)，所以，即，此時(shí)圓半徑為．因此當(dāng)時(shí)，圓無(wú)法觸及拋物線的頂點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，題中圓不過(guò)原點(diǎn)，說(shuō)明拋物線上的點(diǎn)到圓心距離的最小值不是在原點(diǎn)處取得，由此得到解法，即設(shè)圓心為，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出，然后確定其最小值，由最小值點(diǎn)不是原點(diǎn)可得結(jié)論．二、填空題13．【分析】由題意可得Q點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程計(jì)算即可得出離心率【詳解】設(shè)則中點(diǎn)由題意可得由在雙曲線上可得兩邊同除可得解得（舍）故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：齊次式方程兩邊同除可得關(guān)于離心率的方程即可求出解析：【分析】由題意可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，計(jì)算即可得出離心率.【詳解】設(shè)，則中點(diǎn)，由題意可得，由在雙曲線上，可得兩邊同除，可得，解得（舍）故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：齊次式方程，兩邊同除可得關(guān)于離心率的方程，即可求出離心率.本題考查了計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.14．【分析】設(shè)交點(diǎn)由兩點(diǎn)得直線方程由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去后應(yīng)用韋達(dá)定理得可計(jì)算代入在上半橢圓用函數(shù)解析式表示出上半橢圓并求導(dǎo)數(shù)設(shè)切點(diǎn)為求出切線方程切點(diǎn)坐標(biāo)可用表示從而求得代入已知等式后求得值【詳解解析：【分析】設(shè)交點(diǎn)，由兩點(diǎn)得直線方程，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去后應(yīng)用韋達(dá)定理得，可計(jì)算，代入，在上半橢圓，用函數(shù)解析式表示出上半橢圓，并求導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，求出切線方程，切點(diǎn)坐標(biāo)可用表示，從而求得，代入已知等式后求得值．【詳解】由題意，直線方程為，設(shè)，由，得，，，∵同向，∴，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，，切點(diǎn)在軸上方，由得，∴，切線方程為，化簡(jiǎn)得，直線過(guò)，則，，由橢圓方程得，，∵，∴，化簡(jiǎn)得，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓相交、相切問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方程，即設(shè)交點(diǎn)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后計(jì)算，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，得切線方程，代入坐標(biāo)可求得切點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），求出，再結(jié)合已知條件求出結(jié)果．15．【分析】求出雙曲線的漸近線方程求解時(shí)的值然后求解三角形的面積推出離心率即可【詳解】雙曲線的漸近線方程為將代入中解得故故故雙曲線的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率常用的方法有：（1解析：【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求解時(shí)，的值，然后求解三角形的面積，推出離心率即可．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，將代入中，解得，故，故，故雙曲線的離心率．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出的值再代離心率的公式求解）；（2）方程法（根據(jù)已知找到關(guān)于離心率的方程再解方程得解）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.16．【分析】做出圖像可知：利用兩角和的正切表示有根據(jù)離心率可求出代入正切公式即可求出結(jié)果【詳解】由圖像可知：所以因?yàn)殡x心率可設(shè)那么極有代入上式得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的基本性質(zhì)與平面幾何的轉(zhuǎn)化解析：【分析】做出圖像可知：，利用兩角和的正切表示，有，根據(jù)離心率可求出，，代入正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】由圖像可知：所以因?yàn)殡x心率，可設(shè)，，那么，極有，，代入上式得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的基本性質(zhì)與平面幾何的轉(zhuǎn)化，考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題型，思路點(diǎn)睛：（1）根據(jù)平面幾何將所求角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，；（2）結(jié)合兩角和的正切公式，直角三角形內(nèi)求角的正切，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的比值問(wèn)題．（3）根據(jù)離心率求出的比值，代入可求.17．【分析】先利用點(diǎn)坐標(biāo)和垂直關(guān)系求得直線的斜率并寫出直線方程聯(lián)立直線與橢圓利用韋達(dá)定理和垂直的向量關(guān)系得到的關(guān)系式再結(jié)合焦距的關(guān)系式解出即得方程【詳解】依題意橢圓的焦距為即即由點(diǎn)的坐標(biāo)為知直線OD的斜解析：【分析】先利用點(diǎn)坐標(biāo)和垂直關(guān)系求得直線的斜率，并寫出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理和垂直的向量關(guān)系得到的關(guān)系式，再結(jié)合焦距的關(guān)系式解出，即得方程.【詳解】依題意，橢圓的焦距為，即，，即，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，知直線OD的斜率，又，知直線的斜率為，即直線的方程為，即.設(shè)聯(lián)立方程得，故，即，由知，，即，所以，又，消去得，，解得或（舍去），故，橢圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解橢圓中的直線垂直問(wèn)題時(shí)，一般利用直線的斜率之積為-1，或者直線上的向量的數(shù)量積為0來(lái)處理，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果.18．【分析】由題意設(shè)即有由雙曲線定義及已知可得且結(jié)合點(diǎn)在曲線上聯(lián)立方程得到關(guān)于的齊次方程即可求得離心率【詳解】令則且①由題意知：E的左準(zhǔn)線為結(jié)合雙曲線第二定義知：又∴解得②∵知：∴聯(lián)立①②得：整理得∴故解析：【分析】由題意設(shè)，即有，由雙曲線定義及已知可得且，結(jié)合點(diǎn)在曲線上聯(lián)立方程得到關(guān)于的齊次方程，即可求得離心率.【詳解】令，則且①，由題意知：E的左準(zhǔn)線為，結(jié)合雙曲線第二定義知：，，又，∴，解得②，∵知：，∴聯(lián)立①，②得：，整理得，∴.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線第二定義：曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；結(jié)合點(diǎn)在曲線上及勾股定理即可得關(guān)于的齊次方程求離心率即可.19．①②④【分析】①將拋物線與直線聯(lián)立消去利用根與系數(shù)關(guān)系求出再由弦長(zhǎng)公式即可求出弦長(zhǎng)進(jìn)而可求出弦長(zhǎng)的最小值即可判斷①的正誤；②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出以為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)判斷圓心到直線的距離與半徑的解析：①②④【分析】①將拋物線與直線聯(lián)立消去，利用根與系數(shù)關(guān)系求出，，再由弦長(zhǎng)公式即可求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而可求出弦長(zhǎng)的最小值，即可判斷①的正誤；②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出以為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)，判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，即可判斷②的正誤；③將代入，可得在拋物線上，此時(shí)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，也只有一個(gè)交點(diǎn)，故與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有可能有2條，可判斷③錯(cuò)誤；④設(shè)的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立消去，利用判別式即可求出，進(jìn)而可求出直線的傾斜角，即可判斷④的正誤.【詳解】①聯(lián)立方程，消去可得，恒成立，設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值4，所以最短弦長(zhǎng)為4，故①正確，②由①可知，則，故以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故圓心到準(zhǔn)線的距離，所以以為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線相切，故②正確，③將代入，解得，所以當(dāng)時(shí)，即在拋物線上，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在且只與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)該直線為切線時(shí)滿足條件，所以過(guò)點(diǎn)只與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有可能有2條，故③錯(cuò)誤，④因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，又，，所以三角形為直角三角形且過(guò)的切線斜率一定存在，設(shè)的方程為，代入，可得，由可得，即直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與垂直，所以一定平分，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題的解題思路：(1)求交點(diǎn)問(wèn)題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組；(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．20．③④【分析】根據(jù)橢圓定義可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)必要不充分條件定義可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)復(fù)合命題的真假可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)雙曲線的離心率公式可對(duì)④進(jìn)行判斷【詳解】①的兩個(gè)頂點(diǎn)為周長(zhǎng)為18則C點(diǎn)軌跡方程為當(dāng)解析：③④【分析】根據(jù)橢圓定義可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)必要不充分條件定義可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)復(fù)合命題的真假可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)雙曲線的離心率公式可對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，周長(zhǎng)為18，則C點(diǎn)軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，構(gòu)不成三角形，錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，所以不一定有，錯(cuò)誤；③已知命題是真命題，是假命題，根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷，為真，為假，為假，正確；④雙曲線，，所以，，正確．其中正確的命題的序號(hào)是③④，故答案為：③④.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓定義、雙曲線離心率、必要不充分條件及復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題21．（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，可求得，從而可求橢圓方程；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及，可得直線的方程，從而可得直線過(guò)定點(diǎn)；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，求出直線的方程，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意，聯(lián)立，得由已知，設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，整理得故直線方程為，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，由已知得，解得，此時(shí)直線方程為，顯然過(guò)點(diǎn)；綜上，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法及易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù)(如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線方程等)，利用題目的條件和橢圓方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)題目條件進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，從而可得出結(jié)論，另外設(shè)直線方程時(shí)常常不要忽略斜率是否存在的問(wèn)題．22．（1）；（2）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為.【分析】（1）利用焦半徑公式表示，代入坐標(biāo)，求的長(zhǎng)度，并表示的周長(zhǎng)，求；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，求定點(diǎn)的值.【詳解】（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，，，從而有解得，所以的方程為；（2）設(shè)，，，由題可知直線斜率不為零，設(shè)，代入拋物線方程消去，得，從而，，①由可得，而將①代入，從而得恒成立，所以，因此存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：定點(diǎn)問(wèn)題解決步驟：（1）設(shè)直線代入二次曲線方程，整理成一元二次方程；（2）韋達(dá)定理列出兩根和及兩根積；（3）寫出定點(diǎn)滿足的關(guān)系，整體代入兩根和及兩根積；（4）整理（3）所得表達(dá)式探求其恒成立的條件.23．（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）利用橢圓的定義可得，根據(jù)基本不等式求出，再由離心率求出，由即可求解.（2）當(dāng)點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，求出，進(jìn)而求出點(diǎn)，寫出直線的方程，得出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)上任意點(diǎn)，設(shè)，，寫出直線的方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出，同理求出，若直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需三點(diǎn)共線，利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）由橢圓的定義知，所以，已知，所以，.因?yàn)椋?因?yàn)椋裕詸E圓的方程為.（2）當(dāng)點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，可得，則與聯(lián)立解得，所以直線的方程為：，由橢圓的對(duì)稱性可知，直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).以下證明一般性：設(shè)上任意點(diǎn)，設(shè)，則直線的方程為聯(lián)立消去得由韋達(dá)定理得，解得因?yàn)橹本€的方程為聯(lián)立消去得由韋達(dá)定理得，解得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即三點(diǎn)共線因?yàn)?，因?yàn)樗?，那么三點(diǎn)共線所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，求出定點(diǎn)，再證明一般性，借助三點(diǎn)共線求解，考查了運(yùn)算求解能力.24．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)，利用在圓上及弦