分類22 等腰三角形(含解析)

22等腰三角形（含解析）

一、選擇題

1.（2020?遼寧遼陽(yáng)，T6,3分）一個(gè)等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放,

若N1=2O°,則N2的度數(shù)是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形；JA：平行線的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：AB//CD,

.\Z3=Z1=2O°,

三角形是等腰直角三角形，

/.Z2=45O-Z3=25°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰宜角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2.（2020四川南充，T6,4分）如圖，在等腰AABC中，B。為NA8C的平分線，NA=36。,

AB=AC=a,BC=b,則CD=()

a+ba-b

A.-----B.-----C.a-bD.b-a

22

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出8O=BC=4O,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：；在等腰△ABC中，80為N48。的平分線，NA=36。，

AZABC=ZC=2ZABD=12\

：.480=36。=NA,

:.BD=AD,

???4BDC=ZA+ZABD=12°=NC,

:?BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：,CD=AC-AD=a-b,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC

=4。解答.

3.（2020?廣西玉林?T9?3分）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35。方

向，4島在A島的北偏東80。方向，C島在5島的北偏西55。方向，則A,B,。三島組成

C.直角三角形D.等邊三角形

【考點(diǎn)】IH：方向角；KK：等邊三角形的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力；64：幾何直觀

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD/ME交于點(diǎn)。，可得NDC4=NE4C=35。，根據(jù)他〃斯,

可得CD//BF,可得ZBCD=NCB尸=55。,進(jìn)而得A4BC是直角三角形.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CQ//AE交于點(diǎn)。，

.?.ZZXX=ZE4C=35°,

北北

AE//BF,

:.CD//BF,

:.ABCD=NCBF=55。,

ZAC8=ZACD+ZBS=35。+55。=90°,

.??A44c是直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形、方向角，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義.

4.（2020?四川宜賓，Tll,4分）如圖，AABC和AECD都是等邊三角形，且點(diǎn)8、C、。在

一條直線上，連結(jié)BE、AD,點(diǎn)、M、N分別是線段BE、A￡＞上的兩點(diǎn)，且BM=；BE,

AN=-AD,則△CMV的形狀是（）

3

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形

【考點(diǎn)】KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；KD-.全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】553：圖形的全等；64：幾何直觀

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出8C=AC,EC=CD,進(jìn)而利用SAS證明MCE與

AACO全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：AABC和AECD都是等邊三角形，

:.BC=AC,EC=CD,ZBG4=ZE8=60°,

..ZBC4+ZACE=ZECD+ZACE,

即NBCE=N48,

在MC石與AACD中

BC=AC

/BCE=NACO,

CE=CD

:.ABCE^^ACD（SAS）,

:.ZMBC=ZNAC,BE=AD,

BM=-BE,AN=-AD,

33

:.BM=AN,

在AMBC與&VAC中

BM=AN

"NMBC=ZNAC,

BC=AC

:.2/1BC=邱AC〈SAS）,

:.MC=NC,ZBCM=ZACN,

々CM+ZA/C4=60°,

.?.N/VC4+NMC4=60°，

.?.ZA/GV=60°,

」.AA/C7V是等邊三角形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)注意：兩邊及其夾角分別

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.根據(jù)已知得出MCE=AAC￡＞是解題關(guān)鍵.

5.（2020黑龍江龍東地區(qū)，T6,3分）如圖，菱形498的兩個(gè)頂點(diǎn)A,C在反比例函數(shù)y=-

x

的圖象上，對(duì)角線AC,%）的交點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)O,已知ZABC=120°,則k

的值是（）

【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì)；G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；KM：等邊三角形的

判定與性質(zhì)

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用；66：運(yùn)算能力

【分析】根據(jù)題意可以求得點(diǎn)4的坐標(biāo)，從而可以求得火的值.

【解答】解：四邊形ABC。是菱形，

:,BA=AD.AC1BD,

NABC=120°,

/.Za4￡>=60°，

.??A4B￡）是等邊三角形，

:.OB=>[2，

"。"品S

直線BD的解析式為y=-x,

直線AD的解析式為y=x,

OA=娓，

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（石，6）,

點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=&的圖象上,

x

/.k=J5x>/3=3，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

6.（2020黑龍江牡丹江，T18,3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是菱形A8C。對(duì)角線

皮）的中點(diǎn)，AO//X軸且4）=4,NA=60。，將菱形A38繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在x軸

上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（0,2揚(yáng)B.（2,-4）

C.（2石，0）D.（0,2折或（0,-2肉

【考點(diǎn)】即：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；L8：菱形的性質(zhì)；KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)

【專題】556：矩形菱形正方形；64：幾何直觀

【分析】分點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和），軸負(fù)半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.

【解答】解：根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：當(dāng)點(diǎn)。在x軸上時(shí)，

A、5、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，

ZE4D=60°,AD=4，

.?.Z（MD=3O°,

..8=2,

22

:.AO=y/4-2=2y/3=OCt

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-2豆），

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2百），

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,20）或（0,-25），

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)稱性，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要分情

況討論.

7.（2020湖北天門(mén)，T10,3分）如圖，已知AA5c和AADE都是等腰三角形，

Zfi4C=ZmE=90°，BD,C石交于點(diǎn)F,連接".下列結(jié)論：①8D=CE；②斯_LC/：

③AF平分NC4。；?ZAFE=45°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

B

E

CM/

D

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形：KD：全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】69：應(yīng)用意識(shí)；553：圖形的全等

【分析】如圖，作%）于M,ANJ.EC于N.證明主AGIE,利用全等三角形

的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：如圖，作AA/_L8。于ANLEC^N.

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC,AD=AE,

:.M3AD^^CAE(SAS),

:.EC=BD,4D4=NAEC,故①正確

ZDOF=ZAOE,

ZDPO=ZE4O=90。，

:.BD±EC,故②正確，

MiAD^^CAE,AMVBD.AN±EC,

:.AM=AN,

「.E4平分ZEFB,

「.NA/石=45。，故④正確，

若③成立，則NA￡F=/4瓦＞=4D8,推出9=4),顯然與條件矛盾，故③錯(cuò)誤,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

8.（2020湖北宜昌，T4,3分）如圖，點(diǎn)E,F,G,Q,”在一條直線上，且EF=GH,

我們知道按如圖所作的直線/為線段尸G的垂直平分線.下列說(shuō)法正確的是（）

I

1FG0H

A./是線段必的垂直平分線B./是線段EQ的垂直平分線

C./是線段中的垂直平分線D.m是/的垂直平分線

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理判斷即可.

【解答】解：如圖:

/

1F0GQH

A.直線/為線段FG的垂直平分線，

：.FO=GO,11FG,

EF=GH,

:.EF+FO=OG+GH,

即

.?./為線段的垂直平分線，故比選項(xiàng)正確；

B.EO工OQ,

二./不是線段EQ的垂直平分線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

C.FO^OH,

.?./不是線段"/的垂直平分線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D./為直線，EH不能平分直線/,

.?.E"不是/的垂直平分線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和判定定理，熟練運(yùn)用定理是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2020?棗莊，T6,3分）如圖，在AABC中，的垂直平分線交于點(diǎn)。，交3。于

點(diǎn)E,連接AE.若BC=6,AC=5,則A4CE的周長(zhǎng)為（）

A.8B.11C.16D.17

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】在AABC中，的垂直平分線交于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)E,連接他.若BC=6,

AC=5,則&4CE的周長(zhǎng)為

【解答】解：上垂直平分AB,

:.AE=BE，

.?.AACE的周長(zhǎng)=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=11.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分

線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

10.（2020?綿陽(yáng)，T7,3分）如圖，在四邊形438中，NA=NC=90°,DF//BC,ZABC

的平分線屏;交小于點(diǎn)G,GH上DF,點(diǎn)E恰好為DH的中點(diǎn),若AE=3,CD=2,則

GH=()

A

H

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)；KQ：勾股定理

【專題】66：運(yùn)算能力；55E：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】過(guò)七作交㈤于點(diǎn)N,可得￡7V_LG￡>,得到砌與GH平行，再由E

為770中點(diǎn)，得到〃G=2EN,同時(shí)得到四邊形NMC￡>為矩形，再由角平分線定理得到

AE=ME.進(jìn)而求出aV的長(zhǎng).得到HG的長(zhǎng).

【解答】解：過(guò)E作EW_L8C,交FD于點(diǎn)、N,

DFIIBC，

s.ENLDF,

..EN//HG,

ENED

HGHD

E為HD中點(diǎn),

ED1

HD2

FN1

——二—,即HG=2EN,

HG2

:.ZDNM="MC=NC=好，

二.四邊形NMC。為矩形,

:.MN=DC=2,

BE平分ZABC,EAA.AB,EM±BC,

:.EM=AE=3,

:.EN=EM-MN=3-2=1，

則"G=2&V=2.

故選：B.

A

H

E

BMC

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，以及平行得比例，熟練

掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

11.（2020?廣東深圳，T8,3分）如圖，在AABC中，AB=AC.AB.AC上分別截取AP,

AQ,使小丑.再分別以點(diǎn)尸，。為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在N8AC

內(nèi)交于點(diǎn)R,作射線AR,交BC于點(diǎn)D.若BC=6,則%）的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】N2：作圖-基本作圖；KH：等腰三角形的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；13：作圖題；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到=進(jìn)而得出結(jié)淪.

2

【解答】解：由題可得，4?平分44C,

又AB=AC,

二?AD是三角形A5C的中線，

/.BD=-5C=-x6=3,

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊

上的中線、底邊上的高相互重合.

12.（2020?四川自貢，T9,4分）如圖，在RQABC中，N4C8=90。，ZA=50°,以點(diǎn)8

為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D,連接。），則N4CD的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；66：運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：:在RtAABC中，/ACB=90。，NA=50。，

???NB=40。，

,:BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC=-（180°-40°）=70°,

2

???ZACD=90°-70°=20°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題

的關(guān)鍵.

13.（2020?山東聊城，T3,3分）如圖，在AABC中，AB=AC,ZC=65°,點(diǎn)。是8。邊

上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF//AB文AC于點(diǎn)E,則NFEC的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145。D.150°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)：KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出4=NC=65。，由平行線的性質(zhì)得出NCDE=4=65。，

再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：AB=AC,ZC=65°,

一NC-65。，

DF//AB,

"CDE=4B=6￡，

.Z/^C=NCDE+NC=65。+65°=130°；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2020?山東臨沂，T5,3分）如圖，在A43C中，AB=AC,NA=40。，CD//AB,則

ZBCD=（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點(diǎn)】KHz等腰三角形的性質(zhì)；JA：平行線的性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NAC8,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求4CD.

【解答】解：在AABC'中，AB=AC,乙4=4（尸，

/.ZACB=700,

CD//AB,

.\ZACD=l80o-ZA=140°?

/BCD=ZACD-ZACB=70°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出NAC8和NA8.

15.（2020?山東臨沂，TI4,3分）如圖，在O中，為直徑，NAOC=80°.點(diǎn)。為弦AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)、E為BC上任意一點(diǎn).則NCED的大小可能是（）

c

B

A.10°B.20°C.30°D.40°

【考點(diǎn)】"5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】連接O。、OE,設(shè)=則/。0￡=100。一不，ZZX9E=100°-x+40°,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出N￡>￡O和NCEO,即可求出答案.

OC=OA,

.?.△O4C是等腰三角形，

點(diǎn)。為弦的中點(diǎn)，

ZDOC=40°,Z^OC=100°,

設(shè)4QE=x,則NCOE=100J,ZDG>E=100°-x+40°,

OC=OE,NCOE=100P-x,

ZOEC=AOCE=40°+-x,

2

OD<OE,ZZX>￡：=100o-x+40o=140o-x,

/.ZOFD<20°+-x,

2

:"CED=/OEC-ZOED>(40°+-x)-(20°+-x)=20°,

22

NCED〈ZABC=4O。,

20°<ZC￡D<40°

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),

能求出NOEC和NQED的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

1..(2020?廣西玉林?T9?3分)如圖是4,B,C三島的平面圖，。島在A島的北偏東35。

方向，8島在A島的北偏東80。方向，C島在8島的北偏西55。方向，則A,B,C三島組

成一個(gè)（）

北乎

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【考點(diǎn)】/，：方向角；KK：等邊三角形的性質(zhì)；KWz等腰直角三角形

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力；64：幾何直觀

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD//AE交4?于點(diǎn)O,可得=4c=35。，根據(jù)AE〃班

可得CD//8產(chǎn)，可得/BCD=NCBF=55。,進(jìn)而得AABC是直角三角形.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CQ〃他交45于點(diǎn)O,

:.ZDCA=ZEAC=35°,

AE//BF,

:.CD//BF,

:."CD=NCB卜=55。,

ZACB=ZACD+ZB8=35。+55。=90°,

??.AA8C是直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形、方向角，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義.

1.（2020?湘西州，T6,4分）已知NAQ8,作NAO8的平分線OM,在射線QM上截取線

段OC,分別以O(shè)、C為圓心，大于‘OC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交亍E,F.畫(huà)直線即，

2

分別交04于O,交OB于G.那么△（加?一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【考點(diǎn)】N2：作圖-基木作圖；KI：等腰三角形的判定

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據(jù)已知條件即可得到即可得到QD=OG,進(jìn)而得出△8G是

等腰三角形.

【解答】解：如圖所示，平分NAO8,

ZAOC=ABOC,

由題可得，ZX；垂直平分OC,

NOED=ZOEG=909，

ZODE=ZOGE,

:.OD=OG,

.?.△8G是等腰三角形，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的判定，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,

那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.

1.（3分）（2020?遼陽(yáng)）一個(gè)等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放，若Zl=20°,

則N2的度數(shù)是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形：JA：平行線的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：AB//CD,

.?.Z3=N1=2O°,

三角形是等腰直角三角形,

.\Z2=45O-Z3=25°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2.(2020湖南張家界,T7,3分)已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程f-6x+8=0

的兩根，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為()

A.2B.4C.8D.2或4

【考點(diǎn)】A8：解?元二次方程-因式分解法；K6：三角形三邊關(guān)系；KH：等腰三角形

的性質(zhì)

【專題】11：計(jì)算題；66：運(yùn)算能力

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長(zhǎng)，用三角形存在的條件分類討論

邊長(zhǎng)，即可得出答案.

2

【解答】解：x-6A+8=0

(x-4)(x-2)=0

解得：x=4或JV=2,

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，此時(shí)三

角形的底邊長(zhǎng)為2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程

的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵.

3.1.（2020溫州T5,4分）如圖，在A4BC中，ZA=40°,AB=AC,點(diǎn)。在AC邊上,

以CB,8為邊作BCDE,則ZE的度數(shù)為（）

C.60°D.70°

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)

【專題】555：多邊形與平行四邊形；554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求NE.

【解答】解：在A48C中，Z4=40°,AB=AC,

ZC=（180°-40°）-4-2=70°,

四邊形BCDE是平行四邊形，

/.Z￡=70°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出NC的度數(shù).

4.1.（2020安徽，T8,4分）如圖，RtAABC中，NC=90°,點(diǎn)。在AC上，ZDBC=ZA.若

4

AC=4,cos4=-,則8。的長(zhǎng)度為（）

【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；77：解直角三角形

【專題】66：運(yùn)算能力；67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形；55E：解直角三

角形及其應(yīng)用

【分析】在AABC中，由三角函數(shù)求得再由勾股定理求得8C,最后在MCO中由三

角函數(shù)求得比＞.

4

【解答】解：ZC=90°,AC=4,cosA=-,

cosA

BC=y/AB2-AC2=3,

ZDBC=ZA.

BC4

cosZ.DBC-cosZA==—，

BD5

BD=3x-=—,

44

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是解直角三角形.

2.（2020福建，T3,4分）如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，D,E,尸分別是

BC,C4的中點(diǎn)，則ADE廠的面積是（）

A

【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理：KK：等邊三角形的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形；552：三角形

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：D,E,尸分別是AB,BC,C4的中點(diǎn)，

:.DE=-ACDF=-BC,EF=-AB,

2f22

DFEFDE1

~BC~~AB~~AC~2f

:2EFS^BC,

等邊三角形ABC的面積為1,

」.AD所的面積是4，

4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2020福建，T5,4分）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5,則等

于（）

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5,

CD=5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

相互重合.

5.I.（2020湖南懷化，T7,4分）在RsABC中，N8=90。，AD平分N84C,交8C于

點(diǎn)O,OEJLAC,垂足為點(diǎn)E,若BO=3,則的長(zhǎng)為（）

2

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；552：三角形；67：推理能力.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得.

【解答】解：???NB=90。，

又??'AD平分NBAC,DELAC.

???由角平分線的性質(zhì)得DE=BE=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵

1.（2020?荊門(mén)?T6?3分）AAHCN，A/i=ACN44C=120°,6c=20,。為AC的

中點(diǎn)，則AE8D的面積為（）

4

C.TD.T

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形

【專?題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】連接4力,作火1y于尸.根據(jù)二線合一得到4。垂直干RC./VT為角平分線.

以及底角的度數(shù)，在直角三角形題中，利用三角函數(shù)求得然后利用30角所對(duì)的直

角邊等于斜邊的一半得到AD的長(zhǎng)，再利用三角形相似求出互'的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式

求得結(jié)果.

【解答】解：連接AD,作EF_LBC于尸，

AB=AC,ZfiAC=120°,。為3C的中點(diǎn)，

:.AD±BC,A￡>平分ZBAC,Zfi=ZC=30°

在RtAABD中，BD==BC=6,ZB=30°,

2

2

/.AD=-AB=i,

2

AE=-AB,

4

BE3

/.1=一，

AB4

EF上BC,ADIBC,

s.EFUAD,

:ZEFSMAD,

.EF_BE

"'AD=~AB'

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和

性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解木題的美鍵.

6.1.（2020江蘇常州，T7,2分）如圖，45是O的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)（C不

與A、B重合），CHLAB,垂足為“，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).若。的半徑是3,則長(zhǎng)

的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】KP：直角三角形斜邊上的中線

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及直徑是圓中最大的弦，即可求得的最大

值是3.

【解答】解：CH_LAB,垂足為"，

NC77B=90°,

點(diǎn)M是8c的中點(diǎn).

2

BC的最大值是直徑的長(zhǎng)，。的半徑是3,

??.M”的最大值為3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊直線的性質(zhì)，明確AC的最大值為。的直徑的長(zhǎng)是解

題的關(guān)鍵.

7.2.（2020?煙臺(tái)T7.3分）如圖，△04,4為等腰直角三角形，燃=1，以斜邊。人為直

角邊作等腰直角三角形。44,再以外為直角邊作等腰直角三角形…，按此規(guī)律

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；38：規(guī)律型：圖形的變化類

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案.

【解答】解：△34為等腰直角三角形，。4=1，

O4=應(yīng)：

△O44為等腰直角三角形，

.?.。4=2=（揚(yáng)2；

△O&A4為等腰直角三角形，

:.0%=2近=@）L

△。4人為等腰直角三角形，

.?.04=4=（揚(yáng)九

的長(zhǎng)度為（女尸.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰直隹三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解

題關(guān)鍵.

8.1.（2020貴州畢節(jié)，T9,3分）己知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7,則此等腰三角

形的周長(zhǎng)為（）

A.13B.17C.13或17D.13或10

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；K6：三角形三邊關(guān)系

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形；32：分類討論

【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和7,具體哪條是底邊，哪條是腰沒(méi)有明確說(shuō)明，因此要

分兩種情況討論.

【解答】解：①當(dāng)腰是3,底邊是7時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去.

②當(dāng)?shù)走吺?,腰長(zhǎng)是7時(shí)，能構(gòu)成三角形，貝IJ其周長(zhǎng)=3+7+7=17.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒(méi)有明確腰和

底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵.

2.（2020貴州畢節(jié)，T15,3分）如圖，在一個(gè)寬度為A8長(zhǎng)的小巷內(nèi)，一個(gè)梯子的長(zhǎng)為a,

梯子的底端位于回上的點(diǎn)P,將該梯子的頂端放于巷子一側(cè)墻上的點(diǎn)C處，點(diǎn)。到"的

距離為力，梯子的傾斜角NBPC為45。；將該梯子的頂端放于另一側(cè)墻上的點(diǎn)。處，點(diǎn)O

到A8的距離4）為c,且此時(shí)梯子的傾斜角NAPD為75。，則AB的長(zhǎng)等于（）

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；553：圖形的全等；556：矩形菱形正方形；67：

推理能力

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE_LAO于E,則四邊形A8CE是矩形，得出A5=CE,易證ACPD是

等邊三角形，得CD=DP,NPDC=3,由A4S證得=AAPQ,得出CE=4O,即

可得出結(jié)果.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作CE_L4力于E,如圖所示:

則四邊形48CE是矩形，

:.AB=CE,ZCED=ZDAP=9(y,

ZBPC=45°,ZAPD=150>

Z.CPD=1800-45o-75o=60°,

CP=DP=a，

「.△CP。是等邊三角形，

:.CD=DP,NPDC=60°,

ZAnP=90o-75°=15°,

.?.Z￡ZX?=15°+60o=75°,

:.ZEDC=ZAPD,

在AEDC和AATO中，

NCED=NDAP

<NEDC=ZAPD,

CD=DP

:.^EDC=^APD(AAS),

:.CE=AD?

:.AB=AD=Cf

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1.（2020益陽(yáng)，T10,4分）如圖，在矩形ABCD中，七是DC上的一點(diǎn)，是等邊三

角形，4c交班于點(diǎn)尸，則下列結(jié)論不成立的是（）

DE

A.ZZME=30°B.ABAC=45°C.—=-D.—=—

FB2AB2

【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形；553：圖形的全等；55D：

圖形的相似；67：推理能力

【分析】由矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得==ZE4B=ZEE4=60°,

AD=BC,ZDAB=ZCBA=90°,AB!/CD,AB=CD,可得=NCBE=30°,由銳

角三角函數(shù)可求COSNDAC=3=42=42,由可證.?.MOEwMC,可得

2AEAB

DE=CE=-CD=-AB,通過(guò)證明/SACM,可得C￡=竺=」，通過(guò)排除法可求解.

22ABBF2

【解答】解：四邊形AACD是矩形，A4BE是等邊三角形，

:.AB=AE=BE,NEAB=NEBA=3,AD=BC,ZZMB=ZCRA=90°,AB//CD,

AB=CD,

:.ZDAE=ZCBE=3(r,故選項(xiàng)A不合題意，

.-.coszmc=^=—=—,故選項(xiàng)。不合題意,

2AEAB

在AAZ汨和MCE中，

AD=BC

<ZDAE=4CBE,

AE=BE

:.^ADE=^BCE(SAS),

:.DE=CE=-CD=-AB

22f

AB//CD,

:.^ABFsACEF,

.故選項(xiàng)C不合題意，

ABBF2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是木題的關(guān)鍵.

3.（2020甘肅金昌，T8,3分）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根

據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)AE間的距離.若AE間的距離調(diào)節(jié)到60c利，菱形的邊長(zhǎng)A8=20cm,

則NZMB的度數(shù)是（）

B

A.90。R.1000C.120。D.150°

【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì)；K9：全等圖形

【專題】64：幾何直觀；556：矩形菱形正方形

【分析】連結(jié)他，根據(jù)全等的性質(zhì)可得AC=20cm,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定

可得A4C8是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形和菱形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：連結(jié)AE,

他間的距離調(diào)節(jié)到6（勸〃，木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，

/.AC=20皿，

菱形的邊長(zhǎng)=20cm,

/.AB=BC=2dcm，

AC=AB=BC，

.?.AAC8是等邊三角形，

.,.N8=60°,

..ZZMB=120°.

故選：C.

B

【點(diǎn)評(píng)】考杳了菱形的性質(zhì)，全等圖形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到A4CB

是等邊三角形

二、填空題

1.（2020黑龍江牡丹江，T8,3分）如圖，在RtAABC中，CA=CB,M是45的中點(diǎn)，點(diǎn)

。在5M上，AELCD,BFLCD,垂足分別為E,F,連接EA/.則下列結(jié)論中：

①RF=CE：

②Z4￡iVf=ZDfiV/；

?AE-CE=y/2ME；

@DE2+DF2=2DM2；

⑤若他平分ZaAC,則律：8尸=0:1；

?CFDM=BMDE,

正確的有①②③@（⑤⑥.（只填序號(hào)）

【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì);

KW：等腰直角三角形；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KF：角平分線的性質(zhì)

【專題】16：壓軸題；64：幾何直觀

【分析】證明ABC尸二△C4E,得至l」M=CE,可判斷①；再證明A23FM二△CKW,從而判

斷AEW/為等腰直角三角形，得至1］律=拉用以，可判斷③，同時(shí)得至ij4WEF=4/莊=45。，

可判斷②；再證明ADEW蘭NVEM,得到ADMN為等腰直角三角形，得到ON=VI,DM,

可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出再證明AAZ把二AACE,得到

DE=CE,則有空=空=絲=叵乜■=庭,從而判斷⑤；最后證明AaWsADE,得

BFCEDEDE

到位=也，結(jié)合=AE二CF,可判斷⑥.

AEDE

【解答】解：ZAC8=90°,

:.ZBCF+ZACE=90°,

ZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

又NWD=90°=NA￡C,AC=BC,

.\ABCF^ACAE(AAS),

:.BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF=CE=EF,

連接產(chǎn)M,CM,

點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，

:.CM=-AB=BM=AM,CMLAB,

2

在MQP和ACnV/中，NBFD=/CMD,ZBDF=Z.CDM,

"DBF=/DCM,

又BM=CM,BF=CE,

^^CEM(SAS),

:.卜M=EM,"Mk=NCME,

NBMC=90。，

/.Z￡MF=90°,即為等腰直角三角形，

;.EF=?EM=AE-CE,故③正確，NMEF=NMFE=45。,

ZA￡C=90°,

ZMEF=ZAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接ON,

ZDMF=/LNME,FM=EM,4DFM=/DEM=NAEM=45。，

:.△DFMwANEM(ASA),

;.DF=EN,DM=MN,

.?.ADMV為等腰直角三角形，

:.DN=y/2DM,而“￡4=90°,

/.DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正確：

AC=BC,ZACB=90°,

:.ZCAB=45°,

AE平分4AC,

ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

ZDEW=45°,

ZEMD=67.50,即DE=EM,

AF=AF,/AED=/AEC.7DAF：=/CAE,

:.^ADE=^ACE(ASA),

DE=CE?

NVffiF為等腰直角三角形，

EF=應(yīng)EM,

EFEFEFyflEMr-缶3Tm.

—=——=—=--------=x/2,故⑤正確；

BFCEDEDE

NCDM=ZADE,NCMD=ZAED=90。,

:.ACDMSADE,

?_C_D=_C_M_=_D_M_

~i\D~~AE~~DE，

BM=CM,AE=CF,

BMDM

-----=------，

CFDE

:.CFDM=BMDE,故⑥正確；

故答案為：①②③??⑥.

B

F

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的判定和性質(zhì)，等量代換，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，找到全等三角形說(shuō)明角相

等和線段相等.

2.（2020?眉山，T17.4分）如圖.等腰A40C中，AR=AC=\O.邊AC的垂直平分線交AC

于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E.若AABZ）的周長(zhǎng)為26,則DE的長(zhǎng)為—.

一4-

A

BDC

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據(jù)即意求得BC=16,作AMJL8C于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到8"=8,

根據(jù)勾股定理求得AM,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AWC是等腰三角形，易證得

△ABCS&MC,根據(jù)相似二角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可求得上

【解答】解：邊AC的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,

.?.ZAED=90°,AE=CE=-AC=-xl0=5,AD=CD,

22

.-.zmc=zc,

4曲的周長(zhǎng)為26,

:.AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=26,

AB=AC=10,

.-.BC=16,4=NC,

:.ZB=ZDAC,

..^ABC^^DAC,

AM_BC

DE=7CJ

作AW_L8C于M,

AB=AC,

:.BM==BC=8,

2

AM=>JAB2-BM2=71O2-82=6,

616

---=--,

DE10

故答案為*

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì),

根據(jù)三角形周長(zhǎng)求得8C的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020湖北黃岡，T12,3分）已知：如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊8C上，AB=AD=DC,

NC=35。，則ZE4P=40度.

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；66：