【教無(wú)憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第06講 5.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（3知識(shí)點(diǎn) 8題型 強(qiáng)化訓(xùn)練）【KS5U 高考】

.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）探索并掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；（2）掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用；（3）能運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（1）在推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的過(guò)程中達(dá)成邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；（2）在運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的過(guò)程中提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；（3）等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)與公比首項(xiàng)，末項(xiàng)與公比公式【即學(xué)即練1】（2023·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．12或3B．1或C．12D．【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，則，化為，解得或，則或，故選：A.知識(shí)點(diǎn)02等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見(jiàn)，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；（2）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)。（3）若一個(gè)非常數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列。2、與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)?！炯磳W(xué)即練2】（2023·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則點(diǎn)列在同一坐標(biāo)平面內(nèi)不可能的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，A選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.B選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.C選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.D選項(xiàng)，由圖可知，都是負(fù)數(shù)，所以，但圖象顯示時(shí)，或?yàn)檎龜?shù)，矛盾，所以D選項(xiàng)圖象不符合.故選：D知識(shí)點(diǎn)03等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1、運(yùn)算性質(zhì)：2、奇偶項(xiàng)性質(zhì)：等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則.3、片段和性質(zhì)：若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．【即學(xué)即練3】（2023·高二課前預(yù)習(xí)）（1）在等比數(shù)列中，已知，求；（2）一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).【答案】（1）；（2）公比為，項(xiàng)數(shù)為.【解析】（1）∵為等比數(shù)列，由知數(shù)列的公比不等于，也成等比數(shù)列，，則，；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，項(xiàng)數(shù)為．記，，則，則，根據(jù)，得，解得.此數(shù)列的公比為，項(xiàng)數(shù)為.【題型一：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量】例1．（2024·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．B．C．1D．3【答案】C【解析】由可得為等比數(shù)列且公比為，，故，故選：C變式1-1．（2024·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．8B．128C．32D．64【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題易知，由，且，解得（負(fù)舍）.由，即，解得.所以.故選：D.變式1-2．（2024·黑龍江哈爾濱·高二兆麟中學(xué)校聯(lián)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．48B．81C．93D．243【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，若，則，得，則，故，則，所以，所以，所以.故選：C.變式1-3．（2024·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則（否則，矛盾），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，而，所以，所以.變式1-4．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】使用等比數(shù)列求和公式時(shí)注意事項(xiàng)：（1）一定不要忽略的情況；（2）知道首項(xiàng)、公比和項(xiàng)數(shù)，可以用；知道首尾兩項(xiàng)；、和，可以用；（3）在通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：，，，，，知道其中任意三個(gè)，可求另外兩個(gè)?！绢}型二：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)】例2．（2024·河南開(kāi)封·高二校聯(lián)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．21B．18C．15D．12【答案】A【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和且，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，所以，所以．故選：A．變式2-1．（2024·河南·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．324B．420C．480D．768【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，顯然的公比不為，所以也成等比數(shù)列.由，解得.故選：C.變式2-2．（2023·甘肅甘南·高二校考期中）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，由，得，則，所以，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故選：C.變式2-3．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為10，前項(xiàng)和為60，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．360B．720C．1560D．1800【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為，由題可知，，，成等比數(shù)列，公比為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以．故選：C變式2-4．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則（）A．786B．240C．486D．726【答案】D【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，，…仍為等比數(shù)列．設(shè)，因?yàn)?，，所?，，成等比數(shù)列．由，解得或（舍去），所以數(shù)列，，…的公比為3．因?yàn)?，，，所以，，故?故選：D【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．【題型三：等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和】例3．（2022·高二單元測(cè)試）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（）A．8B．C．4D．2【答案】D【解析】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,由題意易知，設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為,偶數(shù)項(xiàng)之和為，易知奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，所以,即.所以這個(gè)數(shù)列的公比為2.故選:D.變式3-1．（2024·云南保山·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)等比數(shù)列的公比q＝.【答案】【解析】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，由題意得，，則，解得.變式3-2．（2023·重慶·高二重慶一中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，所以前項(xiàng)的和為，解得.故選：B變式3-3．（2023·廣東佛山·高二石門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.變式3-4．（2023·山東威?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，且，則.【答案】120【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，所以.【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則.【題型四：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】例4．（2024·河北邢臺(tái)·高二博野中學(xué)校聯(lián)考期末）現(xiàn)有一根4米長(zhǎng)的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】設(shè)第天截掉的木頭長(zhǎng)度為，則是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項(xiàng)和.由，得，得.故選：B.變式4-1．（2023·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.變式4-2．（2024·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）在《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難：次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”，其意思是：“某人到某地需走的路程為378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地”，則此人（）A．第二天走的路程占全程的B．第三天走的路程為24里C．第一天走的路程比第四天走的路程多144里D．第五天和第六天共走路程18里【答案】D【解析】由題意可知，設(shè)每天所走路程為數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，設(shè)首項(xiàng)為，則，得，則，，故A錯(cuò)誤；第三天走的路程，故B錯(cuò)誤；第四天走的路程，，故C錯(cuò)誤；第五天和第六天共走路程為，故D正確.故選：D變式4-3．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面規(guī)格為：，，，…，，所有規(guī)格的紙張的長(zhǎng)度（以表示）和幅寬（以y表示）的比例關(guān)系都為；將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為規(guī)格；將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為規(guī)格；…，如此對(duì)開(kāi)至規(guī)格．現(xiàn)有，，…，紙各一張，已知紙的幅寬為1m，則，，…，這8張紙的面積之和是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，可得的長(zhǎng)、寬分別為，1，的長(zhǎng)、寬分別為1，，的長(zhǎng)、寬分別為，，…，所以，，…，的面積是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，…，這8張紙的面積之和為.故選：C變式4-4．（2023·山東青島·青島第五十八中學(xué)?？家荒＃┰茖撸欧Q為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn)．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個(gè)數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則是以2為公比的等比數(shù)列，，，解得，所以，．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題需要注意兩點(diǎn)：（1）抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型；（2）深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式，或是求前項(xiàng)和，還是求項(xiàng)數(shù)?！绢}型五：分組求和法求前n項(xiàng)和】例5．（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，則（）A．6B．5C．3D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C變式5-1．（2024·河南·高二滑縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，故，，所以，所?故選：D.變式5-2．（2024·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，由可得：，即①，由可得：，即②，聯(lián)立①②解得：或，因，故，于是，.（2）由（1）得：，，則，故.變式5-3．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：（2）將數(shù)列和的公共項(xiàng)從小到大排成的數(shù)列記為，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，，；（2）【解析】（1）由題可知，，所以，，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以（常?shù)），所以是等比數(shù)列，所以，即．（2）為從開(kāi)始的奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，故．．【方法技巧與總結(jié)】分組求和法（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見(jiàn)類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.【題型六：裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和】例6．（2024·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上，可得，則有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.變式6-1．（2024·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，且．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為（），因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，得，所以，所以，，整理得，解得或（舍去），得，所以；?）因?yàn)?，所以，所?變式6-2．（2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）且，有，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.變式6-3．（2024·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，.（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，，解得，所以，所以.（2），，所以.【方法技巧與總結(jié)】把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）【題型七：錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和】例7．（2024·河南·高二滑縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由，得，令，則，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，有，又滿足上式，所以，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，故，兩式相減，得，所以.變式7-1．（2024·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知遞增的等差數(shù)列滿足：成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，由題意得，即，解得或（舍去）.（2）由（1）可得，則，①可得：，②①-②可得：，設(shè).③，④③-④可得：，則，，.變式7-2．（2024·陜西西安·高二校考期末）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為．則，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即．（2）由（1）得：．所以，，，．變式7-3．（2024·浙江紹興·高二校聯(lián)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以等比數(shù)列的公比是4，所以，即，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，從而.（2）由（1）知，，故.則，，兩式相減得，，故.【方法技巧與總結(jié)】如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．形如，其中為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為;為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，首先列出，記為①式；再把①式中所有項(xiàng)同乘等比數(shù)列的公比，即得，記為②式；然后①②兩式錯(cuò)開(kāi)一位作差，從而得到的前項(xiàng)和。注：等差數(shù)列的通項(xiàng)常見(jiàn)形式為(其中A、B為常數(shù))，等比數(shù)列通項(xiàng)常見(jiàn)的形式為(其中A、m為常數(shù))【題型八：數(shù)列與不等式綜合】例8．（2024·福建福州·高二福州高新區(qū)第一中學(xué)（閩侯縣第三中學(xué)）校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作差可得，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，所以.，，以上兩式相減可得，則，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得?變式8-1．（2024·甘肅·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的方前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，解得或（舍），所以；（2）證明：由（1）得：，所以，對(duì)于任意的有，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以.變式8-2．（2024·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列、滿足，，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，，則，等式兩邊同時(shí)乘以可得，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.且，，等差數(shù)列公差為，所以，，故.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則，所以，，兩式相減可得，所以.又，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即.變式8-3．（2024·浙江·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）∵，∴，由及，得，即，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴；（2）∵，∴，從而，∵，∴；又，∴，綜上所述：．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題：一是利用基本不等式求解數(shù)列中的項(xiàng)；而是與數(shù)列中的求和問(wèn)題相聯(lián)系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍，此類問(wèn)題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，多采用先求和后利用放縮法活數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍。一、單選題1．（2023·山西呂梁·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的公比（）A．3B．2C．D．【答案】B【解析】由題意知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，若，則，故，所以，解得，（q的負(fù)值舍去），故選：B2．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．48B．90C．96D．162【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，.故選：B.3．（2023·福建龍巖·高二龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則，解得：，又，所以，故選：C.4．（2022·高二單元測(cè)試）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長(zhǎng)高3尺，以后蒲草每日長(zhǎng)高前一日的半數(shù)，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長(zhǎng)的高度成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項(xiàng)和，（尺），故選：D.5．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，且，則（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】由題知成等差數(shù)列可得：.由題知時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列不滿足題義舍去.即：，故選：6．（2024·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.7．（2023·安徽合肥·高二合肥一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（），則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，則，且，兩式相減得：，因?yàn)?，所以，故，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，由于隨n的增大而減小，故單調(diào)遞增，所以，綜上，.故選：C8．（2024·湖南株洲·高二?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，則“”是“無(wú)最大值”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，可得或，又，當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)單調(diào)增，則無(wú)最大值，當(dāng)時(shí)，，,單調(diào)增,則無(wú)最大值；必要性：當(dāng)時(shí)，，又，則無(wú)最大值.可得“”不是“無(wú)最大值”的必要條件；由此可知“”是“無(wú)最大值”的充分不必要條件.故選：A.二、多選題9．（2024·廣東湛江·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則（）A．B．或2C．D．【答案】ACD【解析】設(shè)的公比為q，∵，，，∴，∴，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤．，∴選項(xiàng)C，D正確．故選：ACD.10．（2024·河北滄州·高二校聯(lián)考期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比為q（），前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A．（m，）B．C．是等比數(shù)列D．【答案】ABD【解析】，，兩式相除可得，故A正確；因?yàn)?，由等比?shù)列求和公式，可得，故B正確；因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是等差數(shù)列，故C不正確；對(duì)于D，，，…，，可看作是以為首項(xiàng)，（）為公比的等比數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（）A．為單調(diào)遞增數(shù)列B．C．為的最大項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)【答案】BC【解析】由，因此.又因?yàn)閯t.當(dāng)時(shí)，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而，故，選項(xiàng)B正確.又因?yàn)闉閱握{(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則.因此的最大項(xiàng)為，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.12．（2024·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎枪葹榈牡缺葦?shù)列，且其前n項(xiàng)和滿足對(duì)任意恒成立，則給出的下列結(jié)論中正確的是（）A．是遞增數(shù)列B．時(shí)，是遞增數(shù)列C．是遞減數(shù)列D．時(shí)，是遞減數(shù)列【答案】ABD【解析】依題意可知，移項(xiàng)整理得對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，得恒成立，所以或，所以為遞增數(shù)列，A對(duì)C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，由上面結(jié)論可知，所以，故是遞增數(shù)列，B對(duì)；當(dāng)時(shí)，由上述結(jié)論可知，所以，故是遞減數(shù)列，D對(duì)；故選：ABD．三、填空題13．（2023·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．【答案】【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，則，所以；由，得，即，所以，解得，則．法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，…成等比數(shù)列，其公比為，設(shè)，顯然，則，，所以，所以．14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，所以，，又，則，因此，.15．（2023·江蘇·高二