【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第07講 5.4 數(shù)列的應(yīng)用（3知識(shí)點(diǎn) 4題型 強(qiáng)化訓(xùn)練）【KS5U 高考】

.4數(shù)列的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解并掌握“等額本金還款法”、“等額本息還款法”及應(yīng)用；（2）理解并掌握政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)及數(shù)列的其他應(yīng)用；（1）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記通項(xiàng)公式與求和公式；（2）能用數(shù)列知識(shí)求解分歧還款、政府支的“乘數(shù)”效應(yīng)以及其他的實(shí)際問題；（3）進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。知識(shí)點(diǎn)01分期還款1、等額本金還款法：將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率，一次這種方式中，每期還款金額=2、等額本息還款法：將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還，因此每一次還錢數(shù)相等，即，每期還款金額=，其中為貸款時(shí)的資金，為銀行貸款月利率，為還款總期數(shù)（單位：月）【即學(xué)即練1】（2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)在2013年年初貸款M萬元，年利率為m，從該年年末開始，每年償還的金額都是a萬元，并恰好在10年間還清，則a的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知條件和分期付款公式，可得，∴．故選：C知識(shí)點(diǎn)02政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)1、政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)定義：為落實(shí)惠民政策，假設(shè)正負(fù)增加某項(xiàng)支出為億元，每個(gè)受惠的居民會(huì)將額外收入以的比率用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)（最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)）。如果設(shè)第輪消費(fèi)的金額為億元，那么，經(jīng)過輪影響之后，最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額是。最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額將會(huì)是億元的倍數(shù)，也就是說有了“乘數(shù)”效應(yīng)。2、有關(guān)概念的理解（1）“乘數(shù)”效應(yīng)=1\*GB3①“乘數(shù)”效應(yīng)是一種宏觀的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，是指經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中某一變量的增減所引起的經(jīng)濟(jì)總量變化的連鎖反應(yīng)程度；=2\*GB3②財(cái)政政策乘數(shù)是研究財(cái)政收支變化對(duì)過國(guó)民經(jīng)濟(jì)的影響，其中包括財(cái)政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡預(yù)算乘數(shù)；（2）政府支出：政府的財(cái)政支出（把政府消費(fèi)支出和政府投資支出）是一種與居民投資十分類似的高效能支出，政府在商品和服務(wù)商的一項(xiàng)采購(gòu)，將會(huì)引發(fā)一系列的再支出。因此任何一屆政府在選擇經(jīng)濟(jì)政策時(shí)，究竟是采取擴(kuò)張性政策還是收縮性政策，在采取動(dòng)作前必須知道實(shí)際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會(huì)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)造成極大的傷害?！炯磳W(xué)即練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若某政府增加環(huán)境治理費(fèi)用a億元，每個(gè)受惠的居民會(huì)將50%的額外收入用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)，經(jīng)過10輪影響之后，最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額為400億元，則（最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)，結(jié)果精確到1，）．【答案】200【解析】由題意可知，，解得．知識(shí)點(diǎn)02銀行存款計(jì)息方式1、單利：僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，即利息=本金×利率×存起；2、復(fù)利：把上期末的本金和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額不同。3、計(jì)算公式：以符號(hào)代表本金，代表存期，代表利率，代表本金和利息和（簡(jiǎn)稱本利和）（1）單利計(jì)算：；（2）復(fù)利計(jì)算：【即學(xué)即練3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）比較下面兩種儲(chǔ)蓄方式，哪種方式更簡(jiǎn)便合算？（1）將1000元本金存入銀行一年后（年利率為5.67%），再把本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存兩次，存滿三年后，可得本利和多少元？（2）將1000元本金存入銀行三年期定期整存整取種類（年利率為6.21%），三年后可得本利和多少元？【答案】（1）約為1179.92元；（2）元，利用第二種儲(chǔ)蓄方式更簡(jiǎn)便合算【解析】（1）1000元本金參加一年整存整取，到期可得本利和為（元）．轉(zhuǎn)存一次時(shí)，本金為1056.70元，所以到期本利和為（元）．再轉(zhuǎn)存一次時(shí)，本金為1116.61元，所以到期本利和為（元）．即存一年，再轉(zhuǎn)存兩次，三年后本利和約為1179.92元．（2）1000元本金參加三年期整存整取，到期可得本利和為，這里r表示利率，n是計(jì)息期限，p是本金，即（元）．所以利用第二種儲(chǔ)蓄方式更簡(jiǎn)便合算．【題型一：分期付款問題】例1．（2022·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購(gòu)買40套住房，總房?jī)r(jià)1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（）A．1205萬元B．1255萬元C．1305萬元D．1360萬元【答案】B【解析】由題意知，還的次數(shù)為次，每次付款本金均為50萬元，利息依次為構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，則所還欠款利息總額為萬元，故各次付款的總和為萬元.故選：B.變式1-1．（2023·河南南陽·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（）A．2192B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D變式1-2．（2023·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購(gòu)買一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過勤工儉學(xué)來分期還款.小明與銀行約定：每個(gè)月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為元，則下列說法正確的是（）A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法”B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C．小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為元D．【答案】BCD【解析】AB選項(xiàng)，由于每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法，A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)等額本息還款法可得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為，第二個(gè)月末所欠銀行貸款為，第三個(gè)月末所欠銀行貸款為，……第12個(gè)月末所欠銀行貸款為，由于分次還清所有的欠款，故，解得，D正確.故選：BCD變式1-3．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款100萬元購(gòu)買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還15000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6500元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為，.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)，，【答案】（1）290000元；（2）王先生該筆貸款能夠獲批【解析】（1）由題可知，等額本金還貨方式中，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)和.則，故.故王先生該筆貸款的總利息為：1290000-1000000=290000元.（2）設(shè)王先生每月還貨額為元，則有，即，故.因?yàn)?，故王先生該筆貸款能夠獲批.【方法技巧與總結(jié)】等額本金還款法的實(shí)質(zhì)是利用等差數(shù)列及求和公式解決實(shí)際問題的一種應(yīng)用。等額本息還款法的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一種實(shí)際應(yīng)用。【題型二：?jiǎn)卫麖?fù)利問題】例2．（2023·湖北·高二鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3【答案】C【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.變式2-1．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）小張計(jì)劃連續(xù)十年向某公司投放資金，第一年年初投資10萬元，以后每年投資金額比前一年增加2萬元，該公司承諾按復(fù)利計(jì)算，且年利率為10%，第十年年底小張一次性將本金和利息取回，則小張共可以取得萬元．（結(jié)果用數(shù)字作答）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】305【解析】依題意，小張每年向公司投資金額構(gòu)成以10為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，因此每年的投資到第十年年底的本金和利息和為，10次投資到第十年年底本金和利息總和為，則，于是得，兩式相減得，則有，所以小張共可以取得305萬元.變式2-2．（2022·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？计谥校┠车貐^(qū)2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，剩余14萬噸垃圾以填埋方式處理，預(yù)測(cè)顯示：在以2020年為第一年的未來十年內(nèi)，該地區(qū)每年產(chǎn)生的生活垃圾量比上一年增長(zhǎng)5%，同時(shí)，通過環(huán)保方式處理的垃圾量比上一年增加1.5萬噸，剩余的垃圾以填埋方式處理．根據(jù)預(yù)測(cè)，解答下列問題：（1）求2021年至2023年，該地區(qū)三年通過填埋方式處理的垃圾共計(jì)多少萬噸？(結(jié)果精確到0.1萬噸)（2）該地區(qū)在哪一年通過環(huán)保方式處理的垃圾量首次超過這一年產(chǎn)生生活垃圾量的50%？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）;（2）2025年【解析】（1）依題意得，從2021年起該地區(qū)每年產(chǎn)生的生活垃圾量(單位：萬噸)構(gòu)成等比數(shù)列，記為，每年通過環(huán)保方式處理的垃圾量(單位：萬噸)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，該地區(qū)年通過填埋方式處理的垃圾總量(單位：萬噸)記為，則，故，所以，當(dāng)時(shí)，，所以2021年至2023年，該地區(qū)三年通過填埋方式處理的垃圾總量約萬噸.（2）由（1）得，，即，整理得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以該地區(qū)在第年，即2025年通過環(huán)保方式處理的垃圾量首次超過這一年產(chǎn)生生活垃圾量的50%.變式2-3．（2023·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在購(gòu)買住房、轎車等商品時(shí)，一次性付款可能會(huì)超出一些買主的支付能力，貸款消費(fèi)不失為一種可行的選擇，但是也要量入為出，理智消費(fèi)．某家庭計(jì)劃在2021年元旦從某銀行貸款10萬元購(gòu)置一輛轎車，貸款時(shí)間為18個(gè)月．該銀行現(xiàn)提供了兩種可選擇的還款方案：方案一是以月利率0.4%的復(fù)利計(jì)息，每月底還款，每次還款金額相同；方案二是以季度利率1.2%的復(fù)利計(jì)息，每季度末還款，每次還款金額相同．（注：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和作為本金，再計(jì)算下一期的利息）（1）分別計(jì)算選擇方案一、方案二時(shí)，該家庭每次還款金額多少？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）（2）從每季度還款金額較少的角度看，該家庭應(yīng)選擇哪種方案？說明理由．【答案】（1）方案一還款額為萬元，方案二還款額為萬元；（2）選方案一，理由見解析.【解析】（1）方案一：若每月還款萬元，則，所以，可得萬元；方案二：若每季度還款萬元，則，所以，可得萬元；（2）由（1）知：方案一每季度還款額為萬元萬元，所以選方案一.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于這類問題的求解，關(guān)鍵是要搞清：（1）是單利還是復(fù)利；（2）存幾年。單利是指本金到期后的利息不再加入本金計(jì)算；復(fù)利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，在計(jì)算下一期的利息?！绢}型三：產(chǎn)值增長(zhǎng)問題】例3．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某超市去年的銷售額為a萬元，計(jì)劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為（）萬元．A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)今后10年每年的銷售額為，因?yàn)槌腥ツ甑匿N售額為a萬元，計(jì)劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加.所以今年的銷售額為，今后第年與第年的關(guān)系為，所以今后10年每年的銷售額構(gòu)成等比數(shù)列，公比為1.1，首項(xiàng)為.所以今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為故從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為萬元.故選：D變式3-1．（2024·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個(gè)電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個(gè)月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）154，5月或6月；（2）19604個(gè)【解析】（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設(shè)今年前個(gè)月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個(gè).變式3-2．（2023·江蘇無錫·高二無錫市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司2022年投資4千萬元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，計(jì)劃從2023年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資1千萬元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2022年新產(chǎn)品帶來的收入為0.5千萬元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里新產(chǎn)品帶來的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長(zhǎng).記2022年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第年，累計(jì)利潤(rùn)累計(jì)收入累計(jì)投入，單位：千萬元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為新產(chǎn)品贏利.（參考數(shù)據(jù)，，，）（1）試求的表達(dá)式；（2）根據(jù)預(yù)測(cè)，該新產(chǎn)品將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）該新產(chǎn)品將從2030年開始并持續(xù)贏利，理由見解析【解析】（1）由題意知，第1年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬元），設(shè)第年的收入為，前年的累計(jì)收入為，由題意得，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的一個(gè)等比數(shù)列，則有（千萬元），（千萬元），所以，即（千萬元）.所以的表達(dá)式為；（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，又，，，所以該新產(chǎn)品將從第9年開始并持續(xù)贏利.所以該新產(chǎn)品將從2030年開始并持續(xù)贏利.變式3-3．（2023·福建寧德·高二寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）總書記說：“綠水青山就是金山銀山．”某地響應(yīng)號(hào)召，投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，年投入萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加．（1）設(shè)年內(nèi)（年為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達(dá)式；（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1），（2）至少到年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入【解析】（1）年投入為萬元，第年投入為萬元，所以，年內(nèi)的總投入為.年旅游業(yè)收入為萬元，第年旅游業(yè)收入為萬元，所以，年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為.（2）設(shè)至少經(jīng)過年，旅游業(yè)的總收入才能超討總投入，由此得，即，令，代入上式得，即，解得或（舍去），即，不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)，，即.所以，，故至少到年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【方法技巧與總結(jié)】產(chǎn)值增長(zhǎng)問題的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列的應(yīng)用【題型四：濃度匹配問題】例4．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二中?？茧A段練習(xí)）調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超過如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時(shí)的速度減小，問他至少要經(jīng)過幾小時(shí)才可以加強(qiáng)機(jī)動(dòng)車（精確到小時(shí))A．1小時(shí)B．2小時(shí)C．4小時(shí)D．6小時(shí)【答案】C【解析】設(shè)n個(gè)小時(shí)后才可以駕車，根據(jù)題意可知，每小時(shí)酒精下降的量成等比數(shù)列，公比為進(jìn)而可得方程得，即，所以至少要經(jīng)過4小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車．故選C．變式4-1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度分別為，．（1）試用，表示，．（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項(xiàng)．【答案】（1），．（2）證明見解析，，．【解析】（1）由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以①，又因?yàn)?/p>

②．聯(lián)立①②得，．變式4-2．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預(yù)防.規(guī)定每人每天定時(shí)服用一次，每次服用m毫克.已知人的腎臟每24小時(shí)可以從體內(nèi)濾除這種藥物的80%，設(shè)第n次服藥后（濾除之前）這種藥物在人體內(nèi)的含量是毫克，（即）.（1）已知，求?；（2）該藥物在人體的含量超過25毫克會(huì)產(chǎn)生毒副作用，若人需要長(zhǎng)期服用這種藥物，求m的最大值.【答案】（1），；（2）20毫克【解析】（1），；（2）依題意，，所以，，所以是等比數(shù)列，公比為，所以，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，且，所以，即，所以m的最大值是毫克．變式4-3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某學(xué)校實(shí)驗(yàn)室有濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液各300ml分別裝入兩個(gè)容積都為500ml的錐形瓶A，B中，先從瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再?gòu)腂瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上兩次混合過程完成后算完成一次操作．設(shè)在完成第n次操作后，A瓶中溶液濃度為ang/ml，B瓶中溶液濃度為bng/ml.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)（1）請(qǐng)計(jì)算a1，b1，并判定數(shù)列{an－bn}是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）若要使得A，B兩個(gè)瓶中的溶液濃度之差小于0.01g/ml，則至少要經(jīng)過幾次？【答案】（1）是，an－bn＝0.9·()n-1；（2）8次.【解析】（1）由題意，得b1＝＝0.65g/ml，a1＝＝1.55g/ml.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，∴an－bn＝(an－1－bn－1)，∴等比數(shù)列{an－bn}的公比為，其首項(xiàng)a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，∴an－bn＝0.9·()n-1.（2）由題意可知，問題轉(zhuǎn)化為解不等式0.9·()n-1<10－2，∴n>1＋≈7.49，∴至少要操作8次才能達(dá)到要求.【方法技巧與總結(jié)】解數(shù)列應(yīng)用題的主要事項(xiàng)：（1）抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)；（2）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求練習(xí)起來，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式。一、單選題1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）我國(guó)新型冠狀病毒感染疫情的高峰過后，關(guān)于藥物浪費(fèi)的問題引發(fā)了廣泛的社會(huì)關(guān)注．過期藥品處置不當(dāng)，將會(huì)給環(huán)境造成危害．現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)年產(chǎn)量為（單位：萬件），但如果年產(chǎn)量超過60萬件，將可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費(fèi)．因此從避免藥物浪費(fèi)和環(huán)境保護(hù)的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為（）A．7年B．8年C．9年D．10年【答案】B【解析】第一年年產(chǎn)量為，以后各年年產(chǎn)量為，，當(dāng)時(shí)也符合上式，∴．令，得．設(shè)，對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，則最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為8年，，故選：B．2．（2022·高二校考課時(shí)練習(xí)）某銀行在某段時(shí)間內(nèi)，規(guī)定存款按單利計(jì)算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2．252．42．732．88某人在該段時(shí)間存入10000元，存期兩年，利息稅為所得利息的5%．則到期的本利和為（）元．A．10373B．10396C．10422D．10456【答案】D【解析】由題意存期兩年的利息與本金為10000×(1＋2×2.4%)，利息稅為10000×2×2.4%×5%，所以到期的本利和為10000×(1＋2×2.4%)－10000×2×2.4%×5%＝10456．故選：.3．（2022·高二校考課時(shí)練習(xí)）復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢元，存入銀行，年利率為；若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶，年利率可達(dá).如果將這元選擇合適方式存滿年，可以多獲利息（）元.（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．B．C．D．【答案】B【解析】將元錢存入微信零錢通或者支付寶的余額寶，選擇復(fù)利的計(jì)算方法，則存滿年后的本息和為，故而共得利息元.將元存入銀行，不選擇復(fù)利的計(jì)算方法，則存滿年后的利息為，故可以多獲利息.故選：B4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）小蕾2018年1月31日存入銀行若干萬元，年利率為1.75%，到2019年1月31日取款時(shí)，銀行按國(guó)家規(guī)定給付利息469元，則小蕾存入銀行的本金介于（）元之間，并說明理由．A．1萬~2萬B．2萬~3萬C．3萬~4萬D．4萬~5萬【答案】B【解析】設(shè)小蕾存入銀行的本金元，依題意，，解得（元），所以小蕾存入銀行的本金介于2萬~3萬元之間.故選：B5．（2023·全國(guó)·高二期末）血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患者A給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為（）A．11小時(shí)B．13小時(shí)C．17小時(shí)D．19小時(shí)【答案】B【解析】檢測(cè)第n次時(shí)，給藥時(shí)間為，則是以3為首項(xiàng)，2為公差的的等差數(shù)列，所以，設(shè)當(dāng)給藥時(shí)間為小時(shí)的時(shí)候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為，故選：B.6．（2022·河南·高二校聯(lián)考期末）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A．781萬元，60萬元B．525萬元，200萬元C．781萬元，200萬元D．1122萬元，270萬元【答案】C【解析】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．二、多選題7．（2023·河北秦皇島·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)在預(yù)測(cè)人口變化趨勢(shì)上有直接推算法、灰色預(yù)測(cè)模型、VAR模型、隊(duì)列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則下列說法正確的有（）A．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)B．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)C．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)擺動(dòng)變化D．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變【答案】ABD【解析】由，得當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，所以，，則，此時(shí)，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?duì)任意的，，所以，，則，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變，D對(duì).故選：ABD.8．（2023·海南儋州·高二?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)為一個(gè)高科技項(xiàng)目注入了啟動(dòng)資金2000萬元，已知每年可獲利20%，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需從利潤(rùn)中取出200萬元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率．設(shè)經(jīng)過n年之后，該項(xiàng)目的資金為萬元．（取，），則下列敘述正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列的遞推關(guān)系是C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．至少要經(jīng)過6年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過翻一番（即為原來的2倍）的目標(biāo)【答案】ACD【解析】根據(jù)題意：經(jīng)過1年之后，該項(xiàng)目的資金為萬元，A正確；，B不正確；∵，則即數(shù)列以首項(xiàng)為1200，公比為1.2的等比數(shù)列，C正確；，即令，則至少要經(jīng)過6年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過翻一番（即為原來的2倍），D正確；故選：ACD．三、填空題9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國(guó)慶節(jié)盛大開業(yè)，商場(chǎng)為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款．【答案】【解析】由題意得，，.10．（2023·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某人實(shí)施一項(xiàng)投資計(jì)劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個(gè)項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計(jì)未來十年每年工資都會(huì)逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動(dòng)轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計(jì)劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】24【解析】由題知，2021年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，2022年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，則結(jié)算時(shí)的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則。四、解答題11．（2023·上海閔行·高二七寶中學(xué)?？计谥校┠彻旧a(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1000萬元，出售產(chǎn)品后收入40萬元，預(yù)計(jì)以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬元．同時(shí)，當(dāng)預(yù)計(jì)投入資金低于20萬元時(shí)，就按20萬元投入，且當(dāng)年出售產(chǎn)品的收