初三自主招生教學案08：分式

分式

知識梳理：

AA

1、分式的概念：一般地，用A、B表示兩個整式，A+B可以表示成二的形式。如果B中含有字母，式子叫

BB

做分式。

2、分式的基本性質：

(1)加減法：一±—=-----；—±—=

CCcCDCD

AC

(2)乘除法:AC-A.c也

BD=BDJB丁D=BCBC

AYAn

(3)乘方:

4、整數(shù)指數(shù)累

(1)正整數(shù)指數(shù)賽：an=aa--a

〈2)零指數(shù)寨；a°=l("O)

(3)負整數(shù)指數(shù)幕：廠。;工0,p是正整數(shù))

例題精講：

題型一：化簡求值

例1：若〃2=k一80,則卜+的值是________

a+ba+c

113a2-ab

例2：(i)。二」方=L則_______________=jn；

23^^5ab-2b2

x~+3，y+y

(2)若x2+xy-2y2=0,則--~~--二衛(wèi)；

k+y

例3：設〃、8是實數(shù)，且」------匚=」一，則二一二

1+?\+b~b-a

例42化簡分式，2。~+3。+2a'—(I—53〃--4a-512d?-8。+5

例5：已知abc=1,求一色—+—b—+---的值。

"+〃+1bc+b+\ca+c+\

第1頁

題型二：設及法

例1：已知〃、氏。均為非零實數(shù)，滿吊a+b-c=a-b+c「a+b+c.*+

題型三：拆項相消法

111

例h（1）試證:（其中n是正整數(shù)）；

n〃十1

（2）計算：1?_+---+____；

2^39x10

（3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n,有士+一十…+-J—.

2x33x44/?+1）2

例2;化簡分式：——1——

?+3x+2+.?+5x+6+?+7x+12

題型匹；因式分解法

例1：已知實數(shù)。、氏c滿足a+〃+c=O,ahc=^,則J_+!_+Lj為值為（）

A.正數(shù)B.零C,負數(shù)D.可為正數(shù)，也可以為負數(shù)

例2；化簡求值；二f+，豈/):+?一("J

(a+c)2-b2(a+/?)2-c2(b+cj2-a2

1+X2-2X(1+X2)

例3：化簡求值:

*+(l廣?-lA-ll+?+2r(l+x)

題型五；求倒拆分法

X(\)X2

例1：已知二Ja注，“40[,求分式的值6

x2+x+l\2)/+x2+l

例2：已知實數(shù)。、b、c滿足條件ab_\bc1acJ,求限的值。

―—=—,

。+力3b+c4a+c5ab+bc+ac

同步練習：

“「一、i3abc,a-\b-\。一1、，1II、

練習1：計算：------------（----+----+----）+（一+-十一）二

ab+bc+caabcabc

練習2：正數(shù)x,y滿足f一丁=2"，則^

x+y-

Vz

練習3；已知^^=4,——=b，——二C,求證：—」一+—J=1

y+22+.rx+y1+〃1+b1+c

練習冬若-_=_^==_（a,b,c互不相等），求證工+y+z=O

a-bb-cc-a

練習5：設正整數(shù)〃?、〃滿足m<n,且——1—in+n的值。

2

m2+m+（7M+1）2+（77I+1）n+n23

第3頁

參考答案

題型一：化簡求值

例卜答案：I

解析：直接通分，得到原式二￡+。2+訪+訛，根據(jù)已知條件〃2bc=b2,所以原式等于％

a2+bc+ab-ac+2

說明；如果方程或代數(shù)式?jīng)]有很強的規(guī)律性，可以先直接通分，找到與己知條件相關的結論得到答案。

3S1

例2：答案：⑴；(2)或-

725

解析；⑴原始心”公=一上3。

(3a-b)(a+2b)4+26~+2x-「

23

說明：若直接帶入求解較復雜，若分子分母能因式分解，然后能夠約分，可先化的再計算。

(2)已知方程可因式分解，求得x-y=O或1+2y=0,所以x=y或x=-2,，分別帶入原式求解即可。

例3：答案：3士?

2

解析：觀察到題H中有兩處1+。和1+人且人。=(1+方)-(1+。)，所以不妨設l+a=x,l+b=y,則原方

程可億為x,y的二元二次方程52一30+12=。，根據(jù)公式法得丫以匚,上，所以原式三》臼巳。

2x2

說明；如果方程或代數(shù)式中有較強的規(guī)律性，可以用整體思想，必要的時候設未知數(shù)求解。

例4；答案：________________________

(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)

解析：原式二2a42a+a+l+1/+2。一3〃-6+13/-6。+2〃-4-1+2a-6a-2^+6-1

r制+1「ift2i]廠2i-I。-3

」(2〃+1)+=(〃-3)+」(3〃+2)-“(2〃-2)-1

4+1][。+2_||_0一2_|[a一3_|

=’(2〃+1)_(〃_3)-(3〃+2)+(2〃-2)]+(1_1?1_____二

a+1a+2a-2a-3

=1-1J_1

a+1a+2+a-2~a-3

1--------1

=-----------1

(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)

(a-2)(a-3)-(a+1)(a+2)

(a+1)(〃+2)(〃-2)(〃-3)

_-Sa+4

(〃+1)(〃+2)(Q-2)(〃-3)

說明：宜接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多。例

5：答案：1

第5頁

解析：本題可將分式通分后，再進行化簡求值，但較復雜，巧妙的利用"兒代替1，從而使化簡更簡潔。下

面提供三種化簡變形的方法，同學們可仔細體會，領會其化簡中的本質的東西。

解法一：因為abc=\,所以〃、b、c都不為零,

原式二—U，

ab+a-\-abcbc+h-i-\+bca-\-c-\

Ibbe

b+1+bebc+b+\bca+be+b

1bbe

b+\+bebe+h+\1+be+b

_\be

1+b+be

=1

解法二：因為abc=1,所以〃、b、c都不為零。

原式=一--十-?--—+血.---

ab+a+labeabca+c+l

=fl4.ab+abc

〃8+〃+labc+ab+aabca+abc+ab

二。;此]

ab+a+]\+ab+a+a+l+ab

aA-abA-\

ab+a±\

=1

解法三由abc=1,得。=_L,將之代入原式

be

1

^__Hbe

原式=_Lb+_L+i加+"ic-_L+c+1

bebebe

_1bbe

b+l+bebe+b+11be+b

_1+b+be

1+b+be

=1

題型二，設k法

例h答案：8或-1

解析：令^?二a-,+c「+6+

cba

/〃+力=(*l)c①

則4+C=0+i%②

b+c=(4l)〃③

①+②+@有_a_±b_z_c色.b+c—a+b+c

-c-~5-=7T-

所以(Q+b+c)(女-1)=(),故有k=I,或〃+b+c=()

當k=l時，（〃+b）（4+c）0+c）-2四21_

abc~abc~0

當〃+8+c=0時，（。++，'）伍+。）==7

ahcabc

說明：引進一個參數(shù)女表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用。

題型三：拆項相消法

例1：答案：⑴證明：.?.11一S+l)f_1,

nn+1〃(〃+1)〃(〃+1)

.?.」=)-1_(其中〃是正整數(shù))成立.

〃(〃+1)n/I+1

(2)解：由(1)可知

1I1

___++???+

1x22x39x10

=(1-1)+(1-1)+…+c!-JJ

22391()

(3)證明：?.?TG+不二+…+二百；

2x33x4n[n+\)

—(-)+(-)+?一+(一

2334n?+1

_11

一—----?

2〃+1

又n>2,且〃是正整數(shù)，

.」_一定為正數(shù)，

力+1

11+■?-+<

/.-----+______—

2x33x4〃(〃+1)2

解析：J1是?？嫉囊环N變形。

?(7?+1)n〃+1

例2：答案：—I----

x2+5x+4

1□1_E

解析：原式=,+2)(x+1)+(x+27+3)(x+3)(x+4)

=—+—+—

(x+1x+2J[x+2x+3J[x+3x+4J

%+1x+4-r+5x+4

第7頁

說明：三個分式?起通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡c本題在將每個分式的分

1、的一般形式，與分式運算的通分思想方法相反，這種化簡的方

母因式分解后，各個分式具有產(chǎn)十十〃十。

加簡糊傭的技巧。

法叫*拆項相消”法，它是分式

題型四：因式分解法

例1：答案：c

解析：常見的代數(shù)式化簡：1+1+1三斜+慶+",常用的三數(shù)和平方公式:

abcabc

(a+b+c)=a~^-b~^-c~+l(ab+bc+cc)

例2：答案：1

解析：原式二(〃-1+e)(>+c-c+〃)(c+4-b)(c—〃+力)

(a+c+b)(a+c-b)(〃+b+c)(Q+b-c)(b+c+4)(b+c-4)

a-^-b-cb+c-aa+c-ba^-b+c

=------+-------+-------=-------=1t

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

例3：答案：-------

*二產(chǎn)\-3x+x2_L)-2?+X2-2X+1-X2-\-Zt(x2+l)+(x2+l)

解析；原式二卜+x+「4-1卜八獷+*-77(+/+，)+(1+川)

(2+1)」+1)(2rT)_Zx±lA--1

(X-1)(A^+X+1)(x2+x+l)(x+l)(x-l)(2x-l)2X2-3X+1

題型王：求倒拆分法

例1：答案：-2—

1-2a

x2+x+l111121nYI-2a-a2

=2

解析：由題意得，x=x+x+1=所以x+x=-1,x+2l一H一2=，所

21)。

x4+x2+l211-2a2"2

二4YCl

以X++1=,所以1-

222x4++11-2a

說明：總分式的分子為余積式，娘母為和時，可考慮求例數(shù)。

例2：答案：

?,a+bI-b+c11.

解A析r：=+=3=+=4l+C11-山八］1113+4+5

=_+±5,所以_+_+_==f6

abbabecbaccaabc2

口-5ab+bc+ac111,-abc1

所以-----------=-+-+-=6,所Cr以Hl一；--------=-

abcabcab+bc+ac6

同步練習：

練習1：答案：1

解析：原式二3abe一[3-(土土_；1+(++)=3abe3abe+1=1

ab+be+caabcabcab+be+caab+be+ca

練習2：答案：-1也

解析：解法一：由求根公式法得不二(1士④)y，分別帶入解得原式二?1±a。

解法二：觀察發(fā)現(xiàn)/_),2=々一),)(、+),),&+),)+々_y)=2x,(x+y)-(x-y)=2y,所以不妨設

"y=mx+y=4所以原方程可化為曲二七日，整理得〃2+2〃6—/=0,a=(-]±42)b,所以

x+yb

練習3,證明略

解析：觀察式子。bc很有規(guī)律，不妨先算其中一個找到規(guī)律：。+l=x+)'+z,

1+al+bl+cy+z1+?x+y+z

所以abC=xVzx+V+z.

1+a\+b1+cx+y+zx+y+zx+y+z~x+y+z~

練習4：證明略

解析：用設A法，設原式為K得到三個方程，相加即可。

練習5；青案；527][[1

解析：++…+=++…+=1_1=1

m2+m(/n+l)2+(/n+l)it+nm(m+l)(m+l)(/M+2)〃(〃+l)m〃+l23

1111111?]

-

M------二-=--------=-，山以加=22,〃+1=22x23

根熱(+1)n〃+1,r所CKI以〃+1nnn+k,因為232222乂外

練習6：證明略

11n+2-n2?,

_]=____________=,所以

解析：因為,〃+1)(w+1)(?+2)從〃+1)(〃+2)乂〃+1)(〃+2)

I+1+…+1=ij1一11+11一11+'''+16兒)-1

1x2x32x3x4?(/?+1)(/?+2)2[_vx2x3)(2x33x4j((〃+1)(〃+2)

1「1ill11

=____丁__________=_—____________<_

21lx2(〃+1)(〃+2y42(〃+1)(〃+2)4

練習7：答案：0或±1XMn

I+C+C+CX4X

力r

解析：不妨設〃+8+c=工++r-l+c-++++

—

--「

"Macbaab^lk+ac