廣東省湛江市2023屆高三下學(xué)期3月普通高考測(cè)試（一）（一模）+數(shù)學(xué) 含解析

保密★啟用前湛江市2023年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)2023.3本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡指定位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的清潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知為虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．-1 C．2 D．-22．已知R為實(shí)數(shù)集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．3．小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，計(jì)劃將自己出生日期的后6個(gè)數(shù)字0，5，0，9，1，9進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)9相鄰，兩個(gè)0也相鄰，則小明可以設(shè)置多少個(gè)不同的密碼（）A．16 B．24 C．166 D．1804．在平行四邊形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，記，，則（）A． B．C． D．5．元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié)，很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈．下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm，則該花燈的體積為（）A． B．C． D．6．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與圓交于D，E兩點(diǎn)，A，D在y軸的同側(cè)，則（）A．1 B．4 C．8 D．167．已知，則（）A． B． C． D．8·已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且為奇函數(shù)，，，則（）A．13 B．16 C．25 D．51二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測(cè)了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：編號(hào)12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如下所示的散點(diǎn)圖：由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定（168，89）為離群點(diǎn)（對(duì)應(yīng)殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．則以下結(jié)論中正確的有（）A． B．C． D．10．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC與的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A．平面B．EF與所成的角為30°C．平面D．平面截正方體的截面面積為11．已知，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的有（）A．若的最小正周期，則B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是12．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交x軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．若，且，則雙曲線C的離心率三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則______．14．______．15．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則______．16．已知函數(shù)，記為函數(shù)的2次迭代函數(shù)，為函數(shù)的3次迭代函數(shù)，…，依次類推，為函數(shù)的n次迭代函數(shù)，則______；除以17的余數(shù)是______．（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若△ABC的面積為，，求a．18．（本小題滿分12分）已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為平行四邊形，且，，．（1）證明：點(diǎn)P在平面ABCD的正投影在直線AD上；（2）求平面PBC與平面PDC夾角的余弦值．20．（本小題滿分12分）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：（1）由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）（2）已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值．i．為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．ii．若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點(diǎn)，為各組的頻率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．21．（本小題滿分12分）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為，過且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）在區(qū)間上函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．湛江市2023年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2023.3一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】A【解析】由，得，所以．故選A．2．【答案】C【解析】圖中陰影部分表示，由，得或，所以，由，解得，所以，故，故選C．3．【答案】B【解析】將兩個(gè)0視為一個(gè)元素，將兩個(gè)9也視為一個(gè)元素，所以共有（種）不同的結(jié)果，故選B．4．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選D．5．【答案】C【解析】由題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺(tái)體積與下面的正六棱柱體積的和，正六棱臺(tái)的兩個(gè)底面積分別為，，所以花燈的體積，故選C．6．【答案】B【解析】由題可知，設(shè)直線的方程為，．由得，故．又，，所以．圓的圓心為，半徑，所以，．又，，所以，所以，故選B．7．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，，所以，故．又，所以，所以．故選A．8．【答案】C【解析】由，令，得，所以．由為奇函數(shù)，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得．又④，由③-④得，即，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，故，所以，所以．故選C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】AC【解析】因?yàn)殡x群點(diǎn)（168，89）的橫坐標(biāo)168小于平均值，縱坐標(biāo)89相對(duì)過大，所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，所以，，所以A正確，B錯(cuò)誤；去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選AC．10．【答案】ABD【解析】如圖1，設(shè)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則，所以四邊形為平行四邊形，又，平面，平面，所以平面，故A正確；由上可知，四邊形為平面截正方體的截口平面，易得，故四邊形為菱形，又其對(duì)角線，，故其面積為，故D正確；設(shè)的中點(diǎn)為N，連接EN，F(xiàn)N．因?yàn)镋，N分別為BC與的中點(diǎn)，所以，故為EF與所成的角，又，，由余弦定理可得，所以EF與所成的角為，故B正確；如圖2，假設(shè)平面正確，則，又，，所以平面，得．在正方形中，，顯然不成立，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即平面錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤．故選ABD．11．【答案】ACD【解析】由，得，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，所以B錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以只有當(dāng)時(shí)，此不等式有解，即，所以C正確；若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則解得，所以D正確．故選ACD．12．【答案】AB【解析】由，得，所以，則在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，又有，化簡(jiǎn)即可得切線方程為，所以，所以，故C錯(cuò)誤；由，得，又，所以，故A正確；由，得,故，由，得所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)A到x軸的距離為h，則，，，又，所以，故B正確；由上可得，因?yàn)?，則，得，，所以，解得，故D錯(cuò)誤，故選AB．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】-16【解析】因?yàn)椋?，又，所以，，所以，所以?4．【答案】【解析】15．【答案】【解析】因?yàn)椋x域?yàn)镽，所以，故，；又，所以．又，故，所以，所以．16．【答案】0【解析】由題意，，所以又為正整數(shù)，所以除以17的余數(shù)為0．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由，1分所以，故．由正弦定理得．2分又，所以，3分故，所以，4分所以，所以．5分（2）由題意，，所以．7分由余弦定理可得，9分所以．10分18．證明：（1）因?yàn)椋?，?分由，得，所以，3分所以，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．5分（2）由（1）得，故，9分所以．12分19．（1）證明：如圖，過點(diǎn)B在平面ABCD內(nèi)作BO垂直于AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，連接OP．1分因?yàn)?，，所以．又，PB，平面POB，，所以平面POB．2分又平面POB，所以，即．因?yàn)椋?，所以又，所以，故?分因?yàn)闉榈冗吶切危裕?，所以．又，所以?分又OA，平面ABCD，，所以平面ABCD，所以點(diǎn)O為點(diǎn)P在平面ABCD的正投影又點(diǎn)O在直線AD上，故點(diǎn)P在平面ABCD的正投影在直線AD上．5分（2）解：由（1）得PO，OB，OA兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OA，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．6分易得．又，所以，，，，故，，．7分設(shè)為平面PBC的法向量，則有即可?。?分設(shè)為平面PDC的法向量，則有即可取，10分所以，所以平面PBC與平面PDC夾角的余弦值為．12分20．解：（1）由頻率分布直方圖，得．2分．4分（2）i．由（1）可知，，所以，，5分顯然，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．7分ii．抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，8分故，所以，10分X的數(shù)學(xué)期望．12分21．解：（1）由題意得．1分由橢圓的定義可知，所以，所以．2分又，所以，3分所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分（2）設(shè)，直線的方程為，由整理得，則有，，6分故7分直線的方程為，設(shè)，，由整理得，則有，，8分則，9分所以四邊形ACBD的面積，10分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，11分所以，綜上，四邊形ACBD面積的最小值為．12分22．（1）證明：，1分當(dāng)時(shí)，，，所以，故，故在區(qū)間上無零點(diǎn)．2分當(dāng)時(shí)，，，，所以，3分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)0．綜上，函數(shù)