2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）4.1 指數(shù)（六大題型）

4.1指數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：由根式的意義求范圍 2題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值 3題型三：有限制條件的根式的化簡 4題型四：根式與指數(shù)冪的互化 4題型五：利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值 6題型六：整體代換法求分數(shù)指數(shù)冪 7【重難點集訓】 9【高考真題】 16【題型歸納】題型一：由根式的意義求范圍1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．【答案】A【解析】直接根據(jù)開偶次方根，被開方數(shù)大于等于0，0的0次冪無意義.要使原式有意義，則解得且.故選：A.2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】要使有意義，需使，解得，表示為區(qū)間形式即.故選C.3．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因為，要使有意義，需滿足，即或，即或.故選：D.4．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義,則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或x>1【答案】D【解析】因為，要使有意義，需滿足，即或.故選：D.5．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以即，故選：D.題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值6．（2024·高一·江蘇南京·競賽），求．【答案】【解析】法一：因為，，所以.法二：.故答案為：7．（2024·高一·北京順義·開學考試）設，，則化簡為.【答案】【解析】由于，，所以故答案為：8．（2024·高一·四川·開學考試）化簡：.【答案】【解析】由二次根式的定義可知：，因為，所以，因此；故答案為：9．（2024·高一·上?！て谥校┊敃r，式子的值是.【答案】0【解析】因為，所以.故答案為：0.題型三：有限制條件的根式的化簡10．（2024·高一·上海黃浦·期中）當時，化簡.【答案】【解析】根據(jù)的正負，結(jié)合得到結(jié)果.因為，且，所以，故答案為：.11．（2024·高一·全國·專題練習）化簡的結(jié)果為【答案】3+2/【解析】.故答案為：.12．（2024·高一·四川宜賓·階段練習）化簡的結(jié)果是．【答案】【解析】.故答案為：.題型四：根式與指數(shù)冪的互化13．（2024·高一·江蘇·專題練習）將下列根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.14．（2024·高一·江蘇·專題練習）用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）15．（2024·高一·江蘇·專題練習）把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.16．用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）（3）．題型五：利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（1）化簡：（a＞0，b＞0）；（2）求值：.【解析】（1）.（2）.18．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（1）化簡：；（2）化簡：；（3）已知，求的值.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）因為，兩邊同時平方得，，整理得，，所以.19．化簡：．【解析】原式．20．（2024·高一·河南漯河·期末）計算．(1)；(2)．【解析】（1）=；（2）.題型六：整體代換法求分數(shù)指數(shù)冪21．（多選題）（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：因為，所以，顯然，所以，故正確；B：因為，故正確；C：因為，故正確；D：因為，所以，所以，所以，故錯誤；故選：ABC.22．（多選題）（2024·高一·河南漯河·階段練習）已知，下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D正確；故選：ABCD.23．設，且．求的值．【解析】因為，且，所以.24．（2024·高一·江蘇南通·階段練習）已知，求下列各式的值：(1)；(2)【解析】（1）因為，故，故，而，故，故.（2）由（1）可得，故，故，故.【重難點集訓】1．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，因為冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以，由上可知，故選：B.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，即，故，故故.故選：C3．估計的值應在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【解析】因為，且，所以.故選：C.4．若實數(shù)滿足等式，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】由條件知，根據(jù)非負性可知，所以，故選：A.5．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．16 B． C．8 D．4【答案】D【解析】由正數(shù)滿足，可得，即，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以又由，所以的最小值為.故選：D.6．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，則，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，C選項錯誤；對于D選項，，D選項正確.故選：D.8．若實數(shù)x，y滿足，則的值可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，又，所以，設，則，即.因為，即，當且僅當，即時等號成立，解得，，所以的取值范圍是故選：C.9．（多選題）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A，因為，，當且僅當時等號成立，所以，即，正確；B，，當且僅當時等號成立，因為，，所以，正確；C，，當且僅當時等號成立，所以，所以，錯誤；D，，當且僅當時等號成立，所以，正確．故選：ABD10．（多選題）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對選項A：，錯誤；對選項B：，正確；對選項C：，正確；對選項D：，錯誤；故選：BC11．（多選題）已知實數(shù)滿足，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故選項A正確；，故選項B錯誤；，故選項C正確；,,故選項D錯誤．故選：AC．12．已知，則.【答案】/【解析】因為，所以，即，所以，故答案為：13．已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】9【解析】，可得，又，所以，當且僅當，即時取得最小值.故答案為：14．若，，，則．【答案】【解析】，，，所以，原式，故答案為：15．若，則.【答案】【解析】因為，所以，所以所以，，所以.故答案為：.16．（1）計算：；（2）已知，求值：.【解析】（1），（2）因為，所以，所以，則，所以，所以17．（1）計算：；（2）已知且，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）原式；（2）①因為，所以，即，所以；②因為，又因為，所以18．計算求值：(1)；(2)若，求值.【解析】（1）原式（2）由，則，則，所以，則，所以.19．（1）計算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式.（2）因為，則，故，又，而，故，故.【高考真題】1．（2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）文科數(shù)學）設，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，