2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率§11.11.2隨機事件的概率教師用書教案北師大版必修3

PAGE7-§1隨機事務(wù)的概率1．1頻率與概率1．2生活中的概率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過試驗，理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并據(jù)此估計某一事務(wù)發(fā)生的概率，進(jìn)而理解概率的含義．(重點)2．對生活中的一些問題能從概率的角度作出合理的說明．(難點)3．經(jīng)驗試驗、統(tǒng)計等活動過程，在活動中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作溝通的意識和實力.1.通過估計某一事務(wù)發(fā)生的概率，進(jìn)而理解概率的含義提升，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過經(jīng)驗試驗、統(tǒng)計等活動過程，體會數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1．隨機事務(wù)的概率在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事務(wù)A的概率，記作P(A)．我們有0≤P(A)≤1.2．頻率與概率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大?。趯嶋H問題中，某些隨機事務(wù)的概率往往難以準(zhǔn)確得到，因此，我們經(jīng)常通過做大量的重復(fù)試驗，用隨機事務(wù)發(fā)生的頻率作為它的概率的估計值．3．生活中的概率概率和日常生活有著親密的聯(lián)系，對生活中的隨機事務(wù)，我們可以利用概率學(xué)問做出合理的推斷與決策．思索：頻率和概率可以相等嗎？[提示]可以相等．但因為每次試驗的頻率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．1．下列事務(wù)中，是隨機事務(wù)的是()A．長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個三角形B．長度為2,3,4的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形C．方程x2＋2x＋3＝0有兩個不相等的實根D．函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在定義域上為增函數(shù)D[A為必定事務(wù)；B、C為不行能事務(wù)；a>1時為增函數(shù)，0<a<1時減函數(shù)；D為隨機事務(wù)．]2．下列事務(wù)是確定事務(wù)的是()A．2024年北京冬奧會期間不下雨B．平分弦的直徑垂直于弦C．對隨意x∈R，有x＋1＞2xD．拋擲一枚硬幣，正面朝上[答案]B3．從6名男生、2名女生中任選3人，則下列事務(wù)中，必定事務(wù)是()A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生B[由于女生只有2人，而現(xiàn)在選擇3人，故至少要有1名男生．]4．從100個同類產(chǎn)品(其中有2個次品)中任取3個．①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少一個次品；⑥至少一個正品．其中必定事務(wù)是________，不行能事務(wù)是________，隨機事務(wù)是________．⑥④①②③⑤[從100個同類產(chǎn)品(其中有2個次品)中任取3個可能結(jié)果是：“三個全是正品”，“兩個正品，一個次品”，“一個正品，兩個次品”．]判定事務(wù)的類型【例1】在下列事務(wù)中，哪些是必定事務(wù)，哪些是不行能事務(wù)？哪些是隨機事務(wù)？①假如a，b都是實數(shù)，那么a＋b＝b＋a；②從分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；③沒有水分，種子發(fā)芽；④某電話總機在60秒內(nèi)接到至少15個電話；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時沸騰；⑥手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮．[思路探究]用隨機事務(wù)的定義進(jìn)行推斷．[解]依據(jù)必定事務(wù)、不行能事務(wù)及隨機事務(wù)的定義可知，①是必定事務(wù)，②④是隨機事務(wù)，③⑤⑥是不行能事務(wù)．要判定事務(wù)是何種事務(wù)，首先要看清條件，因為三種事務(wù)都是相對于肯定條件而言的.其次再看它是肯定發(fā)生，還是不肯定發(fā)生，還是肯定不發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定事務(wù)，不肯定發(fā)生的是隨機事務(wù)，肯定不發(fā)生的是不行能事務(wù).eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．給出下列事務(wù)：①明天進(jìn)行的某場足球賽的比分是2∶1；②下周一某地的最高氣溫柔最低氣溫相差10℃；③同時擲兩枚骰子，向上一面的點數(shù)之和不小于2；④射擊1次，命中靶心；⑤當(dāng)x為實數(shù)時，x2＋4x＋4<0.其中，必定事務(wù)有________，不行能事務(wù)有________，隨機事務(wù)有________．③⑤①②④[①②④可能發(fā)生也可能不發(fā)生是隨機事務(wù)，③是必定事務(wù)，⑤是不行能事務(wù)．]概率的意義【例2】(1)下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男、生女的概率均為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則肯定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，肯定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1(2)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，假如連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.eq\f(1,999) B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000) D.eq\f(1,2)(1)D(2)D[(1)一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確；D正確．(2)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).]理解概率意義應(yīng)關(guān)注的三個方面1．概率是隨機事務(wù)發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事務(wù)A的本質(zhì)屬性，大量重復(fù)試驗中，隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率是事務(wù)A發(fā)生的概率的近似值．2．由頻率的定義我們可以知道隨機事務(wù)A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是揭示其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．3．正確理解概率的意義，要清晰與頻率的區(qū)分與聯(lián)系．對詳細(xì)的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個詳細(xì)的事務(wù)．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4個病人都未治好，則第5個病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0(2)有以下說法：①服治愈率為99%的藥物肯定能把病治好；②中獎的概率為0.001，那么買1000張彩票能中獎；③高一(1)班數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率是90%，高一(2)班的優(yōu)秀率是50%，那么高一(1)班的同學(xué)肯定比高一(2)班的同學(xué)成果好；④今日下雨，則說明氣象局昨天預(yù)報的“明天下雨的概率為10%”錯誤．依據(jù)所學(xué)的概率學(xué)問，其中說法錯誤的有________．(1)B(2)①②③④[(1)治愈率為eq\f(1,5)，表明第n個病人被治愈的概率為eq\f(1,5)，并不是5個人中必有1個人治愈，故選B.(2)治愈率為99%的藥物說明治愈的可能性比較大，但是不能說明肯定能治好病，所以①錯誤；彩票中獎的概率為0.001，買1000張彩票也可能一張也沒有中獎，所以②錯誤；高一(1)班數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率為90%，大于高一(2)班數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率50%，只能說明高一(1)班同學(xué)數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的可能性大于高一(2)班同學(xué)數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的可能性，所以③錯誤；降雨的概率為10%說明降雨的可能性是10%，故降雨也是可能的，所以④錯誤．]頻率與概率的關(guān)系[探究問題]在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了隨機數(shù)表．下面我們用隨機數(shù)表來模擬擲硬幣的試驗．用0,1，…，9這10個數(shù)字中的隨意5個表示“正面朝上”，其余5個表示“反面朝上”，每產(chǎn)生一個隨機數(shù)就完成一次模擬．例如，可用0,1,2,3,4表示“正面朝上”，用5,6,7,8,9表示“反面朝上”．詳細(xì)過程如下：(1)制作一個如下形式的表格，在隨機數(shù)表中隨機選擇一個起先點，完成100次模擬，并將結(jié)果記錄在下表中．(2)依據(jù)表中的記錄，得出100次模擬試驗中出現(xiàn)“正面朝上”的頻率．(3)匯總?cè)嗤瑢W(xué)的結(jié)果，給出出現(xiàn)“正面朝上”的頻率．1．依據(jù)上面的模擬結(jié)果，你對出現(xiàn)“正面朝上”的頻率有怎樣的相識？提示：出現(xiàn)“正面朝上”的頻率是一個改變的量，但是當(dāng)試驗次數(shù)比較大時，出現(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5旁邊搖擺，這與歷史上大量拋擲硬幣的試驗結(jié)果是一樣的．2．在實際問題中，隨機事務(wù)A發(fā)生的概率往往是未知的(如在肯定條件下射擊命中目標(biāo)的概率)，你如何得到事務(wù)A發(fā)生的概率？提示：通過大量重復(fù)試驗得到事務(wù)A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值，即概率．【例3】表一和表二分別表示從甲、乙兩個廠家隨機抽取的某批籃球產(chǎn)品的質(zhì)量檢查狀況：表一抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)表二抽取球數(shù)n7013031070015002000優(yōu)等品數(shù)m6011628263713391806優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)(1)分別計算表一和表二中籃球是優(yōu)等品的各個頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)；(2)若從兩個廠家生產(chǎn)的這批籃球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率分別是多少？(3)若該兩廠的籃球價格相同，你準(zhǔn)備從哪一廠家購貨？[思路探究](1)隨機抽取的某批籃球產(chǎn)品的質(zhì)量檢查中“籃球是優(yōu)等品”是隨機事務(wù)；(2)計算隨機事務(wù)“籃球是優(yōu)等品”的頻率f＝eq\f(m,n)；(3)利用表中隨機事務(wù)“籃球是優(yōu)等品”的頻率去估算概率．[解](1)依據(jù)頻率公式計算表一中“籃球是優(yōu)等品”的各個頻率為0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“籃球是優(yōu)等品”的各個頻率為0.86,0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的籃球數(shù)不同，隨機事務(wù)“籃球是優(yōu)等品”的頻率也不同．表一中的頻率都在常數(shù)0.95的旁邊搖擺，則在甲廠隨機抽取一個籃球檢測時，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率大約為0.95；表二中的頻率都在常數(shù)0.90的旁邊搖擺，則在乙廠隨機抽取一個籃球檢測時，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率大約為0.90.(3)依據(jù)概率的定義可知：概率是從數(shù)量上反映一個隨機事務(wù)發(fā)生可能性的大?。驗镻甲>P乙，表示甲廠生產(chǎn)出來的籃球是優(yōu)等品的概率更大，因此應(yīng)當(dāng)選擇甲廠生產(chǎn)的籃球．概率的確定方法1．理論依據(jù)：頻率在肯定程度上可以反映隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，在大量重復(fù)試驗的條件下可以近似地作為這個事務(wù)的概率．2．計算頻率：頻率＝eq\f(頻數(shù),試驗次數(shù)).3．得出概率：從頻率估計出概率．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某教授為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10道智力題，每道題10分，然后作了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下：貧困地區(qū)：參與測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū)：參與測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率(1)計算兩地區(qū)參與測試的兒童得60分以上的頻率，完成表格；(2)估計兩個地區(qū)參與測試的兒童得60分以上的概率．[解](1)貧困地區(qū)：參與測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率0.5330.5400.5200.5200.5120.503發(fā)達(dá)地區(qū)：參與測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率0.5670.5800.5600.5550.5520.550(2)估計貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)參與測試的兒童得60分以上的概率分別為0.520和0.550.1．辨析隨機事務(wù)、必定事務(wù)、不行能事務(wù)時要留意看清條件，在給定的條件下推斷是肯定發(fā)生(必定事務(wù))，還是不肯定發(fā)生(隨機事務(wù))，還是肯定不發(fā)生(不行能事務(wù))．2．隨機事務(wù)在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗的狀況下，隨機事務(wù)的發(fā)生呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事務(wù)發(fā)生的頻率去估算概率，3．寫試驗結(jié)果時，要按依次寫，特殊要留意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依次”“依次”“放回”“不放回”等.1．思索辨析(1)沒有空氣和水，人類可以生存下去是不行能事務(wù)． ()(2)三角形的兩邊之和大于第三邊是隨機事務(wù)． ()(3)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰是不行能事務(wù)，它的概率為0. ()(4)隨意事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)總滿意0＜P(A)＜1. ()[解析](1)√.由不行能事務(wù)的概念可知．(2)×.三角形兩邊之和大于第三邊是必定事務(wù)．(3)√.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃不會結(jié)冰．(4)×.0≤P(A)≤1.[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．“李曉同學(xué)一次擲出3枚骰子，3枚全是6點”的事務(wù)是()A．不行能事務(wù)B．必定事務(wù)C．可能性較大的隨機事務(wù)D．可能性較小的隨機事務(wù)[答案]D3．給出下列三個結(jié)論：①小王隨意買1張電影票，座號是3的倍數(shù)的可能性比座號是5的倍數(shù)的可能性大；②高一(1)班有女生22人，男生23人，從中任找1