2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE6-課時(shí)分層作業(yè)(十二)獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列事務(wù)中，A，B是相互獨(dú)立事務(wù)的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“其次次為反面”B．袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“其次次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”A[把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A項(xiàng)是相互獨(dú)立事務(wù)；B中是不放回地摸球，明顯A事務(wù)與B事務(wù)不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B應(yīng)為互斥事務(wù)，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事務(wù)B受事務(wù)A的影響．故選A.]2．若0＜P(A)＜1，且P(B|A)＝P(B)．若P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.6，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(AB)等于()A．0.12 B．0.8C．0.32 D．0.08D[由P(B|A)＝P(B)可知事務(wù)A，B相互獨(dú)立，∴P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(B)＝0.2，又P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.6，∴P(A)＝0.4，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.2＝0.08.故選D.]3．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個(gè)球，則eq\f(2,3)表示()A．2個(gè)球不都是紅球的概率B．2個(gè)球都是紅球的概率C．至少有1個(gè)紅球的概率D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率C[分別記從甲、乙袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭聞?wù)A，B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A，B相互獨(dú)立，所以1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依據(jù)互斥事務(wù)可知C正確．]4．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)須要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)每局勝的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,2)A[問(wèn)題等價(jià)為兩類(lèi)：第一類(lèi)，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次類(lèi)，需競(jìng)賽2局，第一局甲負(fù)，其次局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4).]5．如圖所示，在兩個(gè)圓盤(pán)中，指針落在圓盤(pán)每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)A[“左邊圓盤(pán)指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右邊圓盤(pán)指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(2,3)，事務(wù)A，B相互獨(dú)立，所以?xún)蓚€(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，故選A.]二、填空題6．在甲盒內(nèi)的200個(gè)螺桿中有160個(gè)是A型，在乙盒內(nèi)的240個(gè)螺母中有180個(gè)是A型．若從甲、乙兩盒內(nèi)各取一個(gè)，則能配成A型螺栓的概率為_(kāi)_______．eq\f(3,5)[“從200個(gè)螺桿中，任取一個(gè)是A型”記為事務(wù)B.“從240個(gè)螺母中任取一個(gè)是A型”記為事務(wù)C，則P(B)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))，P(C)＝eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240)).∴P(B∩C)＝P(B)·P(C)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))·eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240))＝eq\f(3,5).]7．甲、乙兩個(gè)袋子中有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)球，則取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,9)[由題意知，“從甲袋中取出紅球”和“從乙袋中取出紅球”兩個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立，且從甲袋中取出紅球的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，從乙袋中取出紅球的概率為eq\f(1,6)，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9).]8．臺(tái)風(fēng)在危害人類(lèi)的同時(shí)，也在愛(ài)護(hù)人類(lèi)．臺(tái)風(fēng)給人類(lèi)送來(lái)了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對(duì)均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8,0.7,0.9，各衛(wèi)星間相互獨(dú)立，則在同一時(shí)刻至少有兩顆預(yù)報(bào)精確的是________．0.902[設(shè)甲、乙、丙預(yù)報(bào)精確依次記為事務(wù)A，B，C，不精確記為eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1，至少兩顆預(yù)報(bào)精確的事務(wù)有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，這四個(gè)事務(wù)兩兩互斥且獨(dú)立．所以至少兩顆預(yù)報(bào)精確的概率為P＝P(A∩B∩eq\x\to(C))＋P(A∩eq\x\to(B)∩C)＋P(eq\x\to(A)∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]三、解答題9.三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，且是相互獨(dú)立的．將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，在如圖所示的電路中，求電路不發(fā)生故障的概率．[解]記“三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作”分別為事務(wù)A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不發(fā)生故障的事務(wù)為(A2∪A3)∩A1，∴不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).10．從1～100共100個(gè)正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一個(gè)數(shù)不大于50，求此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率．[解]設(shè)事務(wù)C為“取出的數(shù)不大于50”，事務(wù)A為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事務(wù)B為“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”．則P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率為P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(PAC,PC)＋eq\f(PBC,PC)－eq\f(PABC,PC)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq\f(33,50).11．(多選題)設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則下列說(shuō)法正確的是()A．事務(wù)A與B發(fā)生的概率相同B．P(A)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(2,3)D．P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\f(2,9)ACD[因?yàn)槭聞?wù)A，B相互獨(dú)立，由P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．又P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，即1－P(A)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).∴P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).結(jié)合選項(xiàng)可知ACD正確，故選ACD.]12．甲、乙兩人獨(dú)立解某道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，已知該題被甲單獨(dú)解出的概率為0.6，被甲、乙至少一人解出的概率為0.92，則該題被乙單獨(dú)解出的概率是()A．0.32 B．0.2C．0.68 D．0.8D[設(shè)該題被乙單獨(dú)解出的概率為P，由題意可知甲、乙都沒(méi)有解出該題的概率為1－0.92＝(1－0.6)(1－P)，解得P＝0.8，故選D.]13．(一題兩空)已知A，B是相互獨(dú)立事務(wù)，且P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－)))＝________，P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝________.eq\f(3,4)eq\f(1,12)[∵A，B是相互獨(dú)立事務(wù)，∴eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也是相互獨(dú)立事務(wù)，∴P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12).]14．本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多，某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)，有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游(各租一車(chē)一次)．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．則甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率為_(kāi)_______．eq\f(5,16)[由題意可知，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四個(gè)小時(shí)還車(chē)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，設(shè)甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率為eq\f(5,16).]15．紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋競(jìng)賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán)．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤(pán)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立．求：(1)紅隊(duì)中有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率；(2)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率．[解]設(shè)甲勝A的事務(wù)為D，乙勝B的事務(wù)為E，丙勝C的事務(wù)為F，則eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事務(wù)．因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對(duì)立事務(wù)的概率公式知P(eq\x\to(D))＝0.4，P(eq\x\to(E))＝0.5，P(eq\x\to(F))＝0.5.(1)紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的事務(wù)有D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F))，eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F)，eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F，以上3個(gè)事務(wù)彼此互斥且獨(dú)立．∴紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率P1＝P[(D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F)))∪(eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F))∪(eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F)]＝P(D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F)))＋P(eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F))＋P(eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：紅隊(duì)至少兩人獲勝的事務(wù)有：D∩E∩eq\x\to(F)，D∩eq\x\to(E)∩F，eq\x\to(D)∩E∩F，D∩E∩F.由于以上四個(gè)事務(wù)兩兩互斥且各盤(pán)競(jìng)賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(D∩E∩eq\x\to(F))＋P(D∩eq\x\to(E)∩F)＋P(eq\x\to(D)∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝