2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.2數(shù)學(xué)探究活動知識基礎(chǔ)練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE5．2數(shù)學(xué)探究活動必備學(xué)問基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層學(xué)問點(diǎn)一用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1.為了了解甲、乙兩人的工作效率，隨機(jī)抽取了甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)，用莖葉圖表示如圖所示，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則估計(jì)甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為________和________．2．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成果的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,903．從某項(xiàng)綜合實(shí)力測試中抽取100人的成果，統(tǒng)計(jì)如下表，則這100人的成果的標(biāo)準(zhǔn)差為()分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(10),5)C．3D.eq\f(8,5)4．高一(3)班有男同學(xué)27名，女同學(xué)21名．在一次語文測驗(yàn)中，男同學(xué)得分的平均數(shù)是82，中位數(shù)是75，女同學(xué)得分的平均數(shù)是80，中位數(shù)是80.(1)求這次測驗(yàn)全班成果的平均數(shù)(精確到0.01)；(2)估計(jì)全班成果不超過80分的同學(xué)至少有多少人；(3)分析男同學(xué)得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大的主要緣由．學(xué)問點(diǎn)二用樣本的分布來估計(jì)總體的分布5.在用樣本頻率分布估計(jì)總體分布的過程中，下列說法中正確的是()A．樣本容量肯定時(shí)總體容量越大，估計(jì)越精確B．總體容量與估計(jì)的精確度無關(guān)C．總體容量肯定時(shí)樣本容量越大，估計(jì)越精確D．總體容量肯定時(shí)樣本容量越小，估計(jì)越精確6．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測．如圖是依據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是()A．90B．75C．60D．457．為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的實(shí)力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．8.已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合計(jì)(2)作出頻率分布直方圖；(3)以這組數(shù)據(jù)為樣本估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．關(guān)鍵實(shí)力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練其次層一、選擇題1．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征相同的是()A．眾數(shù)B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差2．為了普及環(huán)保學(xué)問，增加環(huán)保意識，某高校隨機(jī)抽取30名學(xué)生參與環(huán)保學(xué)問測試，得分(非常制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為eq\o(x,\s\up6(－))，則()A．me＝m0＝eq\o(x,\s\up6(－))B．me＝m0＜eq\o(x,\s\up6(－))C．me＜m0＜eq\o(x,\s\up6(－))D．m0＜me＜eq\o(x,\s\up6(－))3．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.64．200輛汽車通過某一段馬路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值為()A．62,62.5B．65,62C．65,62.5D．62.5,62.55．從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm)．依據(jù)數(shù)據(jù)估計(jì)()A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊6．(易錯(cuò)題)為了解某校學(xué)生的視力狀況，隨機(jī)抽查了該校的100名學(xué)生，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)和為40，后6組的頻數(shù)和為87.設(shè)最大頻率為a，視力在4.5到5.2之間的學(xué)生人數(shù)為b，則a，b的值分別為()A．0.27,0.96B．0.27,96C．27,0.96D．27,96二、填空題7．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為________．8．某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠的產(chǎn)量分布如圖所示．現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行運(yùn)用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為________；測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均運(yùn)用壽命分別為1020小時(shí)，980小時(shí)，1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均運(yùn)用壽命為________小時(shí)．9．(探究題)對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)年齡組[25,30)對應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)為________．三、解答題10．為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，從兩廠各隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖：(1)分別計(jì)算甲、乙兩廠供應(yīng)的10個(gè)輪胎寬度的平均數(shù)；(2)若輪胎的寬度在[194,196]內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎．試比較甲、乙兩廠分別供應(yīng)的10個(gè)輪胎中全部標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，依據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動狀況，推斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)的輪胎相對更好．學(xué)科素養(yǎng)升級練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選題)下列說法正確的是()A．一個(gè)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不行能是同一個(gè)數(shù)B．統(tǒng)計(jì)中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)既不行能大于也不行能小于這個(gè)樣本中的全部數(shù)據(jù)D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢2．若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是________，標(biāo)準(zhǔn)差是________．3．(學(xué)科素養(yǎng)—數(shù)據(jù)分析)為了普及法律學(xué)問，達(dá)到“法在心中”的目的，某市法制辦組織了一次普法學(xué)問競賽，統(tǒng)計(jì)局調(diào)查隊(duì)從甲、乙兩單位中各隨機(jī)抽取了5名職工的成果，用莖葉圖表示如下：(1)依據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，分別求出樣本中甲、乙兩單位職工成果的平均數(shù)和方差，并推斷哪個(gè)單位職工對法律學(xué)問的駕馭更為穩(wěn)定；(2)求被抽取的這10名職工成果的平均數(shù)和方差．(分層抽樣的平均數(shù)和方差公式：設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，…，eq\o(x,\s\up6(－))n，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，w2，…，wn，則這個(gè)樣本的平均數(shù)和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\o(x,\s\up6(－))i，s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\o(x,\s\up6(－))i－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中eq\o(x,\s\up6(－))為樣本平均數(shù)．)5．2數(shù)學(xué)探究活動必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：甲10天每天加工零件的個(gè)數(shù)分別為：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙10天每天加工零件的個(gè)數(shù)分別為：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.答案：24232．解析：由平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義可知，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×75,1＋1＋2＋4＋1＋1)＝87；因?yàn)榈?5分的有4人，所以眾數(shù)是85；把成果由大到小排列為100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位數(shù)是85.答案：C3．解析：平均數(shù)為eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3.故s2＝eq\f(1,100)×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝eq\f(8,5).故s＝eq\r(\f(8,5))＝eq\f(2\r(10),5).答案：B4．解析：(1)利用平均數(shù)計(jì)算公式，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈81.13.(2)因?yàn)槟型瑢W(xué)得分的中位數(shù)是75，所以至少有14名男生得分不超過75分．又因?yàn)榕瑢W(xué)得分的中位數(shù)是80，所以至少有11名女生得分不超過80分．所以全班至少有25人得分不超過80分．(3)男同學(xué)得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大，說明男同學(xué)中兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)峻，得分高的和得分低的相差較大．5．解析：當(dāng)樣本容量越大時(shí)，估計(jì)總體越精確．答案：C6．解析：產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，設(shè)樣本容量為n，則eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是120×0.75＝90.答案：A7．解析：(1)在[55,75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)由圖可知，中位數(shù)在[55,65)范圍內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13(2)62.5(3)648．解析：(1)分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合計(jì)201(2)(3)在[124.5,126.5)中的數(shù)據(jù)最多，取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為125.5.設(shè)中位數(shù)為x，則0.25＋(x－124.5)×0.2＝0.5，解得x＝125.75.運(yùn)用“組中值”求平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.所以可估計(jì)總體的眾數(shù)為125.5，中位數(shù)為125.75，平均數(shù)為125.8.關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：依據(jù)題意，B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得，則平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都增加2，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式可知，標(biāo)準(zhǔn)差不變．故選D.答案：D2．解析：由題目所給的統(tǒng)計(jì)圖可知，30個(gè)數(shù)據(jù)按大小依次排列好后，中間兩個(gè)數(shù)為5,6，故中位數(shù)為me＝eq\f(5＋6,2)＝5.5.又眾數(shù)為m0＝5，平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)＝eq\f(179,30)≈5.97，∴m0＜me＜eq\o(x,\s\up6(－)).答案：D3．解析：每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加60，而方差保持不變．答案：D4．解析：∵最高的矩形為第三個(gè)矩形，∴時(shí)速的眾數(shù)的估計(jì)值為65.前兩個(gè)矩形的面積為(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，eq\f(0.1,0.4)×10＝2.5，∴中位數(shù)的估計(jì)值為60＋2.5＝62.5.故選C.答案：C5．解析：由題中的莖葉圖可知，甲種玉米的株高主要集中在20～30cm段，乙種玉米的株高主要集中在30～40cm，則甲種玉米的平均株高小于乙種玉米的平均株高，但乙種玉米的株高較分散．故選D.答案：D6．解析：由頻率分布直方圖知組距為0.1，由前4組的頻數(shù)和為40，后6組的頻數(shù)和為87，知第4組的頻數(shù)為40＋87－100＝27，即視力在4.6到4.7之間的頻數(shù)最大，為27，故最大頻率a＝0.27.視力在4.5到5.2之間的頻率為1－0.01－0.03＝0.96，故視力在4.5到5.2之間的學(xué)生人數(shù)b＝0.96×100＝96.答案：B7．解析：已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝16.答案：168．解析：由分層抽樣可知，第一分廠應(yīng)抽取100×50%＝50(件)．由樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，可知這批電子產(chǎn)品的平均運(yùn)用壽命為1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015(小時(shí))．答案：5010159．解析：(1)設(shè)年齡組[25,30)對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)由(1)得志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)44010．解析：(1)甲廠10個(gè)輪胎寬度的平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195，乙廠10個(gè)輪胎寬度的平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194.(2)甲廠10個(gè)輪胎中寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195，平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,6)×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，方差：seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,6)×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝eq\f(2,3)，乙廠10個(gè)輪胎中寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,195,195，平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,6)×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，方差：seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,6)×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝eq\f(1,3)，∵兩廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙廠的方差更小，∴乙廠的輪胎相對更好．學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：用樣本估計(jì)總體狀況時(shí)，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個(gè)數(shù)，例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,11,11,12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11.所以A錯(cuò)誤．其他均正確，故選BCD.答案：BCD2．解析：設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，40)，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－)).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\o(x,\s\up6(－))2－2eq\o(x,\s\up6(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56＋40×\f(1,2)－40))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(