2023年廣東省深圳某中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷（3月）（解析版）

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期模擬考試初三年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1,下列各數(shù)中，絕對值最小的是（）

A.-2B.3C.0D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的意義，計算出各選項的絕對值，然后再比較大小即可.

【詳解】解:|—2|=2,|3|=3,|0|=0,|-3|=3,

所以絕對值最小的是0.

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值及有理數(shù)大小比較，正確求出各數(shù)的絕對值是解題的關(guān)鍵.

2.已知點4。，—1）與點3（T，力關(guān)于原點對稱，貝Ua—〃值為（）

A.-5B.5C.3D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得出b的值，即可計算a-人的值.

【詳解】：A（a,—1）與點3（—4,加關(guān)于原點對稱，

a—4,Z?=1,

a—Z?=4—1=3.

故選：C

【點睛】本題考查中心對稱，理解關(guān)于原點對稱的兩點的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是一個長方體切去部分得到的工件，箭頭所示方向為主視方向，那么這個工件的主視圖是（）

/正面

A.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】解：從正面看主視圖為長方形，且長方形內(nèi)有一條斜線.

故選：B.

【點睛】此題考查了三視圖的知識，解題的關(guān)鍵是知道主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

4.如圖，在YABCD中，對角線AC與6D相交于點。，如果添加一個條件，可推出YABCD是菱形，那

么這個條件可以是（）

A.AB=ACB.AC=BDC.ACJ.BDD.ABIAC

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)四邊形A3CD是平行四邊形，AC1BD,即可得四邊形A3CD是菱形.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，AC1BD,

...四邊形A3CD是菱形，

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法.

5.因深圳市委正緊緊圍繞打造“志愿者之城”4.0升級版，推動志愿服務(wù)事業(yè)朝著更專業(yè)、更精細(xì)、更規(guī)范

的方向不斷邁進(jìn)，截至2022年底，深圳市注冊志愿者已達(dá)3510000人，平均每5個深圳市民里就有一個志

愿者.其中數(shù)據(jù)3510000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.51X105B.3.51X106C.3.51xl07D.0.351xl07

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14時＜10,”為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，"是正

數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，”是負(fù)數(shù).

【詳解】解：3510000=3.5IxlO6,

故選：B.

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14同＜10,w

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

6.把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=45。，則N2的度數(shù)為（）

A.115°B.120°

C.145°D.135°

【答案】D

【解析】

【分析】由下圖三角形的內(nèi)角和等于180。，即可求得/3的度數(shù)，又由鄰補角定義，求得N4的度數(shù)，然

后由兩直線平行，同位角相等，即可求得/2的度數(shù).

【詳解】在RSABC中，ZA=90°,

VZ1=45°（已知），

.?.Z3=90°-Zl=45°（三角形的內(nèi)角和定理），

AZ4=180°-Z3=135°（平角定義），

VEF//MN（已知），

；./2=/4=135。（兩直線平行，同位角相等）.

故選D.

ML_____________*

【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì).注意兩直線平行，同位角相等與數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

7.如圖1是一個亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn).如

圖2是該臺燈的電流/（A）與電阻R（Q）成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過點尸（880,0.25）.根據(jù)圖象可

知，下列說法正確的是（)

A.當(dāng)H<0.25時，/<880B./與R的函數(shù)關(guān)系式是/=——(7?>0)

R

C.當(dāng)R>1000時，/>0.22D.當(dāng)880<H<1000時，/的取值范圍是

0.22</<0.25

【答案】D

【分析】由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式,根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)/與R的函數(shù)關(guān)系式是/=4(氏〉0),

R

:該圖象經(jīng)過點P(880,0.25),

/.U=220,

與R的函數(shù)關(guān)系式是/=理(尺>0),故選項B不符合題意；

R

當(dāng)尺=0.25時，/=880,當(dāng)尺=1000時，/=0.22

V反比例函數(shù)/=且(R>0),/隨R的增大而減小，

R

當(dāng)尺<0.25時，/>880,當(dāng)1000時，/<0.22,故選項A,C不符合題意；

：R=880時，/=0.25,當(dāng)H=1000時，/=0.22,

.?.當(dāng)880<R<1000時，/的取值范圍是0.22</<0.25,故D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小

正方形的面積為1,大正方形的面積為41,則直角三角形較短的直角邊。與較長的直角邊6的比巴的值是

b

1234

A.-B.-C.—D.一

2345

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理可以求得浮+爐等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到

2H的值，然后根據(jù)（。+6）2=々2+爐+2"即可求得Q+b）的值；根據(jù)小正方形的面積為（6-。）2=1

即可求得6也=1,進(jìn)而聯(lián)立方程組求得。與6的值，則可求出答案.

【詳解】解：：大正方形的面積是41,設(shè)邊長為c,

.'.c2=41,

a2+b2=c2=4l,

,/四個直角三角形的面積是41-1=40,

又；一個直角三角形的面積是:ab,

2〃。=40,

（a+b）2=a1+b2+2ab=c2+2ab=41+40=41+40=Sl,

.\a+b=9.

;小正方形的面積為(b—a)2=1,b>a,

b-a=l,

a+b-9

聯(lián)立《

b-a=l

[b=5

.a4

?.———.

b5

故答案為：D.

【點睛】本題考查了勾股定理、解二元一次方程組以及完全平方公式.注意完全平方公式的展開：（。+

b）2=02+按+2",還要注意圖形的面積和a,6之間的關(guān)系.

9.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=W,用尺規(guī)作圖的方法作線段和線段。E,保留作圖痕

跡如圖所示，認(rèn)真觀察作圖痕跡，則的周長是（）

D

A.8B.5J2C.”也D.10

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NB=45。，根據(jù)尺規(guī)作圖可知AD平分NCAB,根據(jù)角平分線的性

質(zhì)定理解答即可.

【詳解】解：???NACB=90。,AC=BC,

ZB=45°,

由尺規(guī)作圖可知，AD平分/CAB,DE_LAB又，ZACB=90°,

；.DE=DC,又/B=45°,

；.DE=BE,

/.ABDE的周長=BD+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10,

故選D.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和基本尺規(guī)作圖是解

題關(guān)鍵.

10.如圖，在AABC中，NACB=90。，作CDLAB于點，以AB為邊作矩形使得=

延長CD,交EF于點G,作交所于點H,作分別交。G,BE于點M.N,若

HM=MN,FH=1,則邊的長為（）

RV5-1r6-1八A/2

222

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)條件可判定△ADC=AAF"(ASA),即可得到CD=m=l,AC=AN,易證四邊形AFGD是

矩形，四邊形5EGD是矩形，則A5=EE,AD=FG,GE=BD,CG//BE,又HM=MN,則

HG=GE,設(shè)HG=GE=x,貝UFG=l+x=AD,BD=GE=x,AB=AD+DB=l+x+x=l+2x,再證

△ACBsAADC,得喋=若，則AC2=ADA5=(i+x)(i+2x),在Rt~4EH中，由勾股定理，得

2T-Z-/AC

AH2=AF~+FH2=(1+%)2+12,因為=所以(l+x)(l+2x)=(l+x)2+心，即三+%=1，

解之求出x值，即可求解.

【詳解】解：'.-CD1AB,ZF=90°,

:.ZADC=ZF=90°,

■.AHVAC,ZZMF=90°,

ZFAH+ZDAH=ZDAC+ZDAH=90°,

:.ZFAH=ZDAC.

在八4。。和△AEH中，

ZADC=NF

<AD=AF,

ZDAC=ZFAH

.■.△ADC^AATW(ASA),

.-.CD=FH=\,AC=AH.

?矩形ABER,CDA.AB,

...四邊形AFG。是矩形，四邊形BEG。是矩形，

AB=FE,AD=FG,GE=BD,

:.CG〃BE,

又,：HM=MN,

:.HG=GE,

設(shè)HG=GE=x,則FG=l+x=A￡>,BD=GE=x,AB=AD+DB=1+x+x=l+2x,

?/CD1.AB,

.,.ZADC=90°

ZACB=90°,

ZACB=ZADC

?/ZCAB=ZDAC

:.AACB^AADC

.ACAB

"AC?

，AC2ADAB，

：.AC2=AD-AB=(l+x)(l+2x),

在R仄AFH中，由勾股定理，得

AH2=AF~+FH2=(l+x)2+l2,

：AC=AH

：.(1+X)(1+2X)=(1+X)2+12,

化簡整理，得f+x=L

解得：x=1二1或%=至二1(不符合題意，舍去),

22

故選：B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成

比例，勾股定理，解一元二次方程，本題屬四邊形綜合題目，熟練掌握相似三角形判定與性質(zhì)，全等三角

形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11-因式分解：尤2y-y=.

【答案】y(x+l)(x-1).

【解析】

【分析】首先提公因式y(tǒng),再利用平方差進(jìn)行二次分解即可.

【詳解】解：原式=y(X2-1)=y(x+1)(X-1),

故答案為y(x+1)(X-1).

【點睛】本題考查因式分解.熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

12.一個不透明的箱子里裝有2個白球，3個紅球，它們除顏色外均相同.從箱子里摸出1個球，是紅球的

概率為.

3

【答案】-

【解析】

【分析】先求出總的球數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：在一個不透明的箱子里裝有2個白球，3個紅球，共5個球,

3

隨機(jī)從中摸出一個球，摸到紅球的概率是

3

故答案為：—.

【點睛】此題考查了概率公式，如果一個事件有W種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)

優(yōu)種結(jié)果，那么事件A的概率尸(A)=—,熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵.

n

13.紫砂企是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為

“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1.當(dāng)制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口

邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上.圖2是正確使用該工具時的示意

圖.如圖3,0。為某紫砂壺的壺口，已知A,8兩點在。。上，直線/過點。，且/LAB于點。，交

于點C.若AB=30mm,CD=5mm,則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為mm.

圖1圖2圖3

【答案】25

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到OD=(r—5)mm,BD=AB=15mm,OB=rmm,利用勾股定理計算即可.

【詳解】AB—30mm,CD=5mm,半徑r,I±AB,

(?D=(r-5)mm,BD=AB=15mm,OB=rmm,

根據(jù)勾股定理，得(r—5)2+15?=/,

解得廠=25(mm),

故答案為：25.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在直角坐標(biāo)系中點4(0,4),3(3,4),將△/3。向右平移，某一時刻，反比例函數(shù)y=與左w0)

X

的圖像恰好經(jīng)過點A和OB的中點，則k的值為.

y

【答案】6

【解析】

【分析】先作出平移后的圖形，設(shè)AABO平移距離為。，如下圖，分別表示出點C、尸坐標(biāo)，利用人的幾何

意義即可求解.

設(shè)△A50平移距離為a,ACDE為平移后的圖形,

則C（a,4）、磯a,0）、D（3+a,4）

又：點尸是DE中點

Fya+5,2）

k

?.?點C、尸在y=—（左wo）圖像上，根據(jù)后的兒何意義

4a=21°H—J

3

解得。=—

2

k=4a=6

故答案為6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)中左的幾何意義，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵.

15.如圖，點E是正方形A3CD邊A3上的一點，已知NDEF=45°,所分別交邊AC,CD于點G,

F,且滿足AG?。尸=3后，則EG的長為.

【答案】百

【解析】

【分析】先判定A、E、G、。四點共圓，從而得出△EGD是等腰直角三角形，則ED=J^EG，再證明

*DCS正FD,得出些=空，松DG?ED=AG?DF=3近

,把EG=DG,EDfEG代

EDDF

入即可求出EG的長.

【詳解】解：：正方形ABCD，

AZBAD=ZADF=90°,ZBAC=ZCAD=45°,

,：ZDEF=45°,

：.ZDEG=ZCAD,

；.A、E、G、。四點共圓，如圖，

/.ZDGE=180°-/FAD=180°-90°=90°,

,：ZDEF=45°,

：.ZDEG=NEDG=45°,

:.EG=DG,ED=yflEG-

：.ZDGF^90°,

：.ZGFD+ZGDF=90°,

ZADG+ZGDF=ZADC=90°,

ZADG=NGFD,

'：ZDEG=ZGAD=45°,

**?AADG00/SEFD，

=即Z>GEZ>=AGZ>b=3V^

EDDF

EG=DG,ED=y/2EG，

??-EG?屈EG=3E

???ED=6，

故答案為：6

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，

相似三角形的判定與性質(zhì)，得出A、E、G、。四點共圓是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16計算：(-2023)。+卜碼-6345。+曲.

【答案】1.

【解析】

【分析】先計算乘方和開方，并求絕對值和把特殊角三角函數(shù)值代入，再計算乘法，最后計算加減即可.

【詳解】解：原式=1+6—6義叵+26

2

=1+72-372+272

=1.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握零指數(shù)嘉、特殊的三角函數(shù)值和求絕對值運算是解題的關(guān)鍵.

17.先化簡，再求值：1—[12―[^+2]'其中％=及一3.

4廣

【答案】-242

x+3

【解析】

【分析】先化簡括號，再算乘除，最后計算加減，再代值求解即可.

X?—2x4-1X—1

【詳解】解：原式=1_

X2-9x-3

?(x-1)2x-3

(x-3)(x+3)x-1

=1上

x+3

4

x+3

L4

=1x=A/2—3W?原式=~§+3=2y

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及二次根式的計算，正確的計算能力是解決問題的關(guān)鍵.

18.某校對九年級學(xué)生進(jìn)行了一次防疫知識競賽，并隨機(jī)抽取甲、乙兩班各50名學(xué)生的競賽成績（滿分100

分）進(jìn)行整理，描述分析.下面給出部分信息：甲班成績的頻數(shù)分布直方圖如圖所示（數(shù)據(jù)分為6組：

40<x<50,50Vx<60,60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,90<x<100）,其中90分以及90分以

上的人為優(yōu)秀；甲班的成績在70Vx<80這一組的是：72,72,73,75,76,77,77,78,78,79,79,79,

79.甲、乙兩班成級的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和優(yōu)秀人數(shù)如下表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀人數(shù)

甲班成績78m853

乙班成績7573826

甲班成績的頻數(shù)分布直方圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）表中的加=；

（2）在此次競賽中，你認(rèn)為甲班和乙班中，班表現(xiàn)的更優(yōu)異，理由是；

（3）如果該校九年級學(xué)生有600名，估計九年級學(xué)生成績優(yōu)秀的有多少人？

【答案】（1）78（2）甲，甲班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）比乙班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）高;

（3）該校九年級600名學(xué)生中成績優(yōu)秀的大約有54人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)甲班的中位數(shù)是從小到大排列后的第25個和26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)各統(tǒng)計量進(jìn)行分析解答即可；

（3）根據(jù)樣本估計總體，用該校九年級總?cè)藬?shù)乘以抽取學(xué)生中優(yōu)秀人數(shù)的占比即可求解.

【小問1詳解】

7X+78

解：由題意可知甲班的中位數(shù)是從小到大排列后的第25個和26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即加=-------=78,、

2

故答案為：78

【小問2詳解】

甲班成績優(yōu)異，理由是：甲班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）比乙班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）高；

故答案為：甲；甲班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）比乙班的平均分（中位數(shù)、眾數(shù)）高

【小問3詳解】

9

由題意得：600x——=54（人）,

100

答：該校九年級600名學(xué)生中成績優(yōu)秀的大約有54人.

【點睛】此題考查了頻數(shù)分別直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、樣本估計總體等知識，讀懂題意，準(zhǔn)確求

解是解題的關(guān)鍵.

19.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程,

以下是我們研究函數(shù)y=x+卜2%+6|+加性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題.

X-2-1012345

y654a21b7

（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中相及表格中a,b的值；機(jī)=，a=,b=；

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；

（3）已知函數(shù)y=-（%-2丫+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式

x+|-2x+6|+m>-（大一2）一+8的解集為.

【答案】（1）—2，3,4

（2）見解析（3）x<0或%>4

【解析】

【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出他，然后得到完整解析式，即

可求解；

（2）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)描點、連線即可；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

【小問1詳解】

解：由表格可知，點（3,1）在該函數(shù)圖象上，

/.將點（3,1）代入函數(shù)解析式可得：1=3+|—2x3+6|+m,

解得：m=—2,

???原函數(shù)的解析式為：y=x+\-2x+6\-2；

當(dāng)工=1時，y=3；

當(dāng)光=4時，y=4；

m=—2,a=3,8=4,

故答案為：—2,3,4；

【小問2詳解】

解：通過列表一描點一連線的方法作圖，如圖所示;

解：要求不等式無+卜2尤+6|+加>—(%—2)2+8的解集，

實際上求出函數(shù)丁=%+|—2%+6|+根的圖象位于函數(shù),=—(%—2『+8圖象上方的自變量的范圍，

由圖象可知，當(dāng)x<0或x>4時，滿足條件，

故答案為：x<0或x>4.

【點睛】本題考查新函數(shù)圖象探究問題，掌握研究函數(shù)的基本方法與思路，熟悉函數(shù)與不等式或者方程之

間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

20.紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化.小明在春節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩

種紅燈籠，用3120元購進(jìn)甲燈籠與用4200元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對進(jìn)價比甲燈籠每對

進(jìn)價多9元.

(1)求甲、乙兩種燈籠每對進(jìn)價；

(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2

對；物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？

最大利潤是多少元？

【答案】(1)甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對

(2)乙種燈籠的銷售單價為65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元

【解析】

【分析】(1)設(shè)甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為(x+9)元/對，根據(jù)用3120元購進(jìn)甲燈籠與用

4200元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程求解即可；

(2)設(shè)乙燈籠每對漲價x元，一天通過乙燈籠獲得利潤為y元，首先利用總利潤等于每對燈籠的利潤乘以賣

出的燈籠的實際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；再由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結(jié)合問

題的實際意義，可得答案.

【小問1詳解】

解：設(shè)甲種燈籠單價為尤元/對，則乙種燈籠的單價為(尤+9)元/對

31204200

根據(jù)題意得：

xx+9

解得x=26

經(jīng)檢驗：x=26是原方程的解，且符合題意

故x+9=26+9=35

答：甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對

小問2詳解】

解：設(shè)乙燈籠每對漲價尤元，一天通過乙燈籠獲得利潤為y元

根據(jù)題意得：y=(50+.r-35)(98-2x)=-2r2+68x+1470

a=-2<0

函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對稱軸所在直線為％=-2乂(_2)=17

???物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元

.,.x+50<65

%<15

；》<17時，y隨x的增大而增大

.?.當(dāng)x=15時，y有最大值，最大值為：—2x152+68x15+1470=2040

50+15=65

答：乙種燈籠的銷售單價為65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元

【點睛】本題考查了分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，由于前后步驟有聯(lián)系，第一問解對，后面才能做對.本

題還需要根據(jù)問題的實際意義來確定銷售單價的取值.

21.【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角

【應(yīng)用】

(1)如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點A(2,、回)，B(2,2A/3),C(3,A/3),則原點0對三角形ABC的視

角為;

(2)如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點。，半徑為2畫圓以原點。，半徑為4畫圓R，證明：圓°2

上任意一點尸對圓。的視角是定值;

【拓展應(yīng)用】

(3)很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建

筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤

的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達(dá)式為x=-5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出直線上滿足條件的

位置坐標(biāo).

④⑤

【答案】⑴30°；(2)證明見解析；(3)4-5,2+S)或巴15,-2-何

【解析】

【分析】(1)延長氏4交x軸于點，過點C作軸于點E,可得軸，CE=g，OE=3,進(jìn)

而得到3。=26，OD=2,再由銳角三家函數(shù)可得N3OD=60°,NCOE=30。，即可求解；

過圓上任一點尸作圓J的兩條切線交圓。于連接則有

(2)0248,OA,OB,OP,OA±PA,OBLPB,

根據(jù)銳角三家函數(shù)可得NOB1=30°,ZOPB=30°,從而得到NAPfi=60°,即可求證；

(3)分三種情況：當(dāng)在直線A3與直線CD之間時，視角是NAPD，此時以石(Y,0)為圓心，E4半徑畫

圓，交直線于鳥，4；當(dāng)在直線AB上方時，視角是NBPD，此時以4(-2,2)為圓心，AB半徑畫圓，

交直線于6，4；當(dāng)在直線CD下方時，視角是/APC,此時以。(—2,—2)為圓心，OC半徑畫圓，交直

線于鳥，即可求解.

P4,

【詳解】解：(1)延長也交無軸于點D過點C作CELx軸于點E,

y

B

AB〃y軸，CE=5OE=3,

：.AB/尤軸，

：.BD=250D=2,

tan/BOD==\[3,tanNCOE=——=,

ODOE3

ZBOD=60°,ZCOE=30°,

ZBOC=ZBOD-ZCOE=30°,

即原點。對三角形ABC的視角為30°

過答案：30°

(2)證明：如圖，過圓O?上任一點尸作圓J的兩條切線交圓°】于48,連接。4，。3,OP，則有。4,外,

OBLPB,

在RtZkPAO中，OA=2,OP=4,

sinZ0PA=—=-,

OP2

NONA=30°,

同理可求得：NOPB=30°,

：.ZAPB=60°,

即圓。2上任意一點P對圓。?的視角是60°,

?，.圓。2上任意一點P對圓。1的視角是定值.

(3)當(dāng)在直線A3與直線CD之間時，視角是NAPD，此時以石(Y,O)為圓心，E4半徑畫圓，交直線于

■：NDP出>ZDP3A=45°,NAnC>ZDP6C=45°,

不符合視角的定義，P3,4舍去.

同理，當(dāng)在直線AB上方時，視角是/身3,

此時以4(—2,2)為圓心，A3半徑畫圓，交直線于A，A不滿足；

過點6作々交ZM延長線于點則A《=4,《M=5—2=3,

/.AM=^AP；-PXM=幣，

.?.止5,2+⑺

當(dāng)在直線CD下方時，視角是/APC,

此時以。(—2,—2)為圓心，0c半徑畫圓，交直線于乙，乙，乙不滿足；

同理得：^(-5,-2-V7);

綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標(biāo)［15,2+J7)或巴卜5,-2-J71

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì),

圓周角定理，解直角三角形，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

22.【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①所示，在等腰直角44BC中，點。，。分別為邊R4,上一點，且QB=OD,延長0。交

射線C4于點E,則有下列命題：

①ABDOsABCA；

②AEDAs^ECO；

③LBDOs^EDA；

請你從中選擇一個命題證明其真假，并寫出證明過程；

【類比遷移】

(2)如圖②所示，在等腰&46c中，AB=AC=5,BC=8,點D,。分別為邊84,BC上一點,且

OB=OD,延長0。交射線C4于點E,若05=2,求AE的值；

【拓展應(yīng)用】

(3)在等腰中，AB=AC=a,BC=b,(a<b<2a),點、D,O分別為射線氏4，上一點，

且QB=OD,延長0D交射線C4于點E,當(dāng)八4。。為等腰三角形時，請直接寫出02的長(用a,b表

示).

③④

1C222J

【答案】(1)證明見解析；(2)AE=—；(3)。4=二或03=，—或08=_”方.

131a+b2b-a3b--a-

【解析】

【分析】(1)選擇①△5￡>OS2^JBC4,由等腰直角44BC,ZB=ZC=45°,ZA=90°,再由00=03,

得NB=NBDO=45。,則4DO=N5C4,即可由相似三角形的判定得出結(jié)論；

(2)先證明AOBDS?4BC,得坦=2,所以3，AD=-,再證明AE7Ms八FCO,得

BC555

j->Ar-i4Q

代入包=」得：3=」

—=—=——=一，設(shè)￡4=3%,則EO=10x,ED=10x-2

EOECOC10EC103x+510

解得：X=W，即可求解;

(3)分兩種情況：(I)當(dāng)點。在線段A3上時，(II)當(dāng)點。在線段AB延長線上時，分別求解即可.

【詳解】解：(1)選擇①△JB