2023年江蘇中考數(shù)學(xué)大題專練：閱讀材料與創(chuàng)新型綜合問題（模擬30題）解析版

專題20閱讀材料與創(chuàng)新型綜合問題（江蘇最新模擬30題）

一、解答題

1.（2023?江蘇鹽城?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1,對(duì)于平面上小于或等于90。的NMON,我們給出如下定義若

點(diǎn)尸在AMON的內(nèi)部或邊上，作PE1OM于點(diǎn)PF1ON于點(diǎn)尸，則將PE+PF稱為點(diǎn)尸與NMON的“點(diǎn)角

距”，記作d（/MON,P）.如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x、y正半軸所組成的角記為NxOy.

（1）已知點(diǎn)4（4,0）、點(diǎn)B（3,l）,則d（NxOy/）=,d（N久。y,B）=.

（2）若點(diǎn)尸為NxOy內(nèi)部或邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（NXOy,P）=4,在圖2中畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形.

（3）如圖3與圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線。T的函數(shù)關(guān)系式為丫=）（久20）.

①在圖3中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,1）,試求d（NxO7,C）的值；

②在圖4中，拋物線y=—：x2+2%+c經(jīng)過4（5,0）,與射線。7交于點(diǎn)。，點(diǎn)。是/,。兩點(diǎn)之間的拋物線

上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。可與H。兩點(diǎn)重合），求c的值和當(dāng)d（N%OT,Q）取最大值時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴4,4

（2）見解析

（3）①號(hào)；②c=|；點(diǎn)0的坐標(biāo)為（4,|）

【分析】(1)首先根據(jù)點(diǎn)4(4,0)到x軸的距離是0,到y(tǒng)軸的距離是4,可得d(NxOy/)；然后根據(jù)點(diǎn)B(3,l)

到x軸的距離是1,到y(tǒng)軸的距離是3,求出d(zxOy,B)的值即可；

(2)首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是Q,y),然后根據(jù)d(4xOy,P)=4,可得x+y=4,據(jù)此求出點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)所形成的圖

形即可；

(3)①首先過點(diǎn)C作CE1OT于點(diǎn)E,CFLx軸于點(diǎn)「延長FC交。T于點(diǎn)〃，貝北尸=1,然后根據(jù)直線。T

對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為丫=白(％20),求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(4,竽)，進(jìn)而求出CH,OH的值；最后根據(jù)相似三角

形判定的方法，判斷出△HECsa”FO,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出EC的值，據(jù)此即可求解；

②首先過點(diǎn)。作QG107于點(diǎn)G,作QHlx軸于點(diǎn)〃，交0T于點(diǎn)K,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(明九)，其中

3<m<5,則n=—$n2+26+|,然后判斷出點(diǎn)K的坐標(biāo)，以及HK,0K的大小，再判斷出Rt△QGK“Rt

△0HK,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出QG=W叫；最后求出d(NxOT,Q)的值，根據(jù)二次函數(shù)最值

的求法，求出當(dāng)d(/xOT,Q)取最大值時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：?.?點(diǎn)力(4,0)至ijx軸的距離是0,到了軸的距離是4,

d(z.xOy,A)=0+4=4,

???點(diǎn)B(3,l)到x軸的距離是1,至獨(dú)軸的距離是3,

???d&Oy,B)=1+3=4,

故答案為：4；4；

(2)解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(x,y),

"d(zxOy,P)=4,

x+y=4,

二點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段y=4—比(OWxW4),如圖2所示：

(3)解：①如圖3,過點(diǎn)C作CE10T于點(diǎn)E,CF1無軸于點(diǎn)尸，延長FC交。7于點(diǎn)“，則CF=1,

???直線0T對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=，(x>0),

???點(diǎn)打的坐標(biāo)為(4,箏，

CW=y-l=y,OH=7OF2+FH2=J42+管了=日

,:CE1OT,

:?乙OHF+乙HCE=90°,

又乙OHF+乙HOF=90°,

?-?AHCE=乙HOF,

在和△HF。中，乙HCE=(HOF,乙HEC=^HFO,

:?△HEOAHFO,

EC_HC

~FO-~HO"

3

1D-1O

???d(乙xOT,C)=了+1=—；

②如圖4,過點(diǎn)0作QGJ.OT于點(diǎn)G,作QHlx軸于點(diǎn)“，交。T于點(diǎn)K,

把4(5,0)代入y=—1%2+2%+c,得

-i

--x52+2x5+c=0,

解得C=|.

1,5

???y=——+2%+2

令一y+2%+|=蓊

解得％1=3,%2=—|，

故點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為0,71),其中34TH45,

15

貝!］九=--m2+2m+

???點(diǎn)K的坐標(biāo)為(rn'm),QK=^m—n,

???HK=刎,OK=Vo//2+HK2=Jm2+gm)=|m.

-RtAQGK-RtA0HKf

QG_QK

,?南一市’

4

QG^m-n

3m

...QG=^,

???d(N%OT,Q)=QG+QH

4m—3n

+n

5

42

=—m+—n

42/15\

=—m+—7+2m+/

18

=——mz7+—m+1

=-如-4）2+g,

|<0,3<m<5,

71

.?.當(dāng)m=4時(shí)，d（z久OT,Q）取得最大值為三，

此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,|）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，分類討論思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從已知函數(shù)圖象

中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力；還考查了相似三角形判定的方法和性質(zhì)的應(yīng)用,

“點(diǎn)角距”的含義和求法以及二次函數(shù)最值的求法，要熟練掌握.

2.（2023?江蘇常州?常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一

個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值，稱為這兩個(gè)圖形之間的距離，即力、B分別是圖形M和圖形N上任意

一點(diǎn)，當(dāng)2B的長最小時(shí)，稱這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,ABLl2,線段4B的長度稱為點(diǎn)4與直線G之間的距離.當(dāng)⑨出時(shí)，線段4B的長度也是A與b

之間的距離.

（1）如圖2,在等腰直角三角形B2C中，乙4=90。，=點(diǎn)。為4B邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E||8C交4C于點(diǎn)

E.若力B=12,AD=8,則DE與BC之間的距離是

（2）如圖3,已知直線上丫=—久+8與雙曲線的：，=3%>0）交于4（2即）與8兩點(diǎn)，點(diǎn)4與點(diǎn)8之間的距離是

,點(diǎn)。與雙曲線Ci之間的距離是；

【拓展】

（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高架路的距離不超過80m時(shí)，需要在高架路旁修建與高架路相同走向的隔音

屏障（如圖4）.有一條“東南一西北”走向的筆直高架路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們

之間的距離小于80m.現(xiàn)以高架路上某一合適位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)

高架路所在直線％的函數(shù)表達(dá)式為'=-x,小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達(dá)式為丫=學(xué)（乂＞0）,那么需

要在高架路旁修建隔音屏障的長度是多少？

【答案】⑴2魚

（2）4V2,2V6

（3）40米

【分析】（1）過點(diǎn)。作。H1BC于點(diǎn)得出△BDH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出結(jié)

果即可；

（2）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)4然后再求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)點(diǎn)距離

公式求出AB的值即可；作FGIIA8,且FG與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線FG的解析式為y=—x+b,求出一

次函數(shù)解析式，再求出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出。K的值即可；

（3）作直線48|以，設(shè)的解析式為y=—久+6,與雙曲線y=誓。＞0）交于點(diǎn)4、B,過點(diǎn)。作。P14B

于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PH1久軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)力、B分別作直線的垂線4E、BF,垂足為E、F,先求出直線的解

析式，然后求出點(diǎn)48的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求出4B的長，進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)

ADB

=90。，AB=AC9

.??48=45。，

???DHIBC,

??.△BD”是等腰直角三角形，

???DH=^BD,

???48=12,AD=8f

??.BD=AB-AD=12-8=

?-.￡)//=^x4=2V2；

故答案為：2V2；

(2)解：把2(2即)代入y=-x+8中，得：機(jī)=-2+8=6,

71(2,6),

把4(2,6)代入y=：得：6=1,

k=12,

???雙曲線Cl的解析式為y=?,

聯(lián)立，得：—x+8=

即/-8x4-12=0,

解得：%i=2,冷=6,

???8(6,2),

???AB=7(2-6)2+(6-2)2=4V2；

如圖，作FGII4B,且FG與雙曲線y=?只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線FG的解析式為y=—x+b,

整理得：x2-fax+12=0,

???△=(—b)2-4x1x12=b2-48=0,

6=4g或6=—4舊(不符合題意，舍去),

直線FG的解析式為y=r+4V3,

由一x+4V3=—,

X

解得：Xi=%2=2V3,

???K(2色2回

OK=J(2V3)2+(2V3)2=2V6；

故答案為：4vL2V6；

(3)解：如圖，作直線AB||〃，設(shè)4B的解析式為y=—x+6,與雙曲線y=等(乂>0)交于點(diǎn)力、B,過點(diǎn)。

作。P14B于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PH1久軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)4B分別作直線的垂線4E、BF,垂足為E、F,

14

則。P=80m,

?.?直線y=—X平分第二、四象限角，

???NFOH=45°,

???ZPOW=90°-450=45°,

△P?！笔堑妊苯侨切危?/p>

???PH=OH=^-OP=40y/2,

■■P(40V2,40V2),

代入y=-x+b,得40魚=-40V2+b,

解得：b=80V2,

???y——x+8OV2,

聯(lián)立得：—x+80V2—

解得：％=30魚或50匹，

???^4(3072,5072),伏50隹30金)，

???AB=J(50V2-30V2)2+(30V2-50V2)2=40,

ABWEF,AEWBF,

■■四邊形ZBFE是平行四邊形，

AE1EF,

???四邊形力BFE是矩形,

EF=AB=40m,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是40米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離公式，矩形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握兩點(diǎn)之間距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算.

3.(2023?江蘇淮安?統(tǒng)考一模)【背景】

如圖1,矩形力BCD中，AB=4V3,AB<AD,M、N分別是力B、CD的中點(diǎn)，折疊矩形48CD使點(diǎn)4落在MN

上的點(diǎn)K處，折痕為BP.

【操作】

(1)用直尺和圓規(guī)在圖1中的2。邊上作出點(diǎn)P(不寫作法，保留作圖痕跡);

【應(yīng)用】

(2)求NBKM的度數(shù)和MK的長;

(3)如圖2,若點(diǎn)E是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接EB,在左側(cè)作等邊三角形BEF,連接MF,則MF的最

小值是

圖1圖2

【拓展】

(4)如圖3,若點(diǎn)E是射線KM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).將ABEK沿BE翻折，得△BET,延長CB至Q,使BQ=KE,

連接TQ.當(dāng)△BTQ是直角三角形時(shí)，KE的長為多少？請(qǐng)直接寫出答案:

【答案】(1)見解析；(2)/.BKM=30°,MK=6；(3)V3；(4)4或6或8或12

【分析】(1)連接4K,分別以4K為圓心，4B長為半徑畫弧，兩弧交于P,B兩點(diǎn)，連接PB即為所求.

(2)由折疊可知AB=BK=4b，再證明MK垂直平分2B,得到2K=BK=4B,則△ABK為等邊三角形,

得到NBKM==30°,則MK=BK-cos乙BKM=6；

(3)如圖所示，取BK中點(diǎn)G,連接EG,MG,由直角三角形斜邊上的直線的性質(zhì)得到BG=MG,則△BMG

為等邊三角形.證明三ZiEBG,得到FM=EG,則當(dāng)GE1MN時(shí)，GE有最小值，即MF有最小值，據(jù)

此求解即可;

(4)分如圖4-1,4-2,4-3,4-4四種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的KE的長即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求;

(2)由折疊可知48=8K=4b，

???點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，

.-.AM=BM,MNA.AB,

???MK垂直平分48,

.-.AK=BK=AB,

AABK為等邊三角形，

:.ABKA=60°,

;.4BKM乙BKA=30°,

在RtZXBMK中，MK=BK-cos^BKM=6；

(3)如圖所示，取8K中點(diǎn)G,連接EG,MG,

■：AB=BK,M為AB中點(diǎn)，

：.BM=BG.

?.2BMK=90°,

：.BG=MG=^BK,

.?.△BMG為等邊三角形.

???△BEF為等邊三角形，

:.BF=BE,乙EBF=KMBG=6Q°.

：/EBF-4MBE=乙4BG-乙MBE,即NMBF=乙GBE,

：.△FBM三△EBG(SAS),

:.FM=EG,

.?.當(dāng)GE1MN時(shí)，GE有最小值，即MF有最小值，

???“KE=30。，GK=3BK=^AB=2M

?'EG最小值=&K=?

??.MF的最小值為VI,

故答案為：V3；

(4)如圖4-1所示，當(dāng)N8QT=90°時(shí)，T在射線KE上時(shí)，此時(shí)M點(diǎn)與E點(diǎn)重合,

；.KE=KM=6；

圖4-1

如圖4-2所示，當(dāng)“BT=90。時(shí)，此時(shí)點(diǎn)T與點(diǎn)/重合,

由折疊的性質(zhì)可得乙=乙KBE=^ABK=30°,

：.ME=^-BM=2,

.-.KE=KM—ME=4；

圖4-2

如圖4-2所示，當(dāng)“87=90。時(shí)，

由折疊的性質(zhì)可得EK=ET,乙ETB=^EKB=30。,

：.ET=2EM,

.-.EM+MK=2EM,

??.EM=MK,

??.EK=2MK=12；

AD

如圖4-4所示，當(dāng)NQTB=90。時(shí)，

-BQ=EK,BQ||EK,

???四邊形BQEK是平行四邊形,

：.QE||BK,乙EQB=^EKB=30。,

由折疊的性質(zhì)可得4ETB=乙EKB=30°,

；/EQB=乙ETB,

；.E、Q、T、B四點(diǎn)共圓，

；.AQEB=AEBK=90°,

：/EBM=30°,

:.EM若BM=2,

.-.EK=EM+KM=8；

綜上所述，當(dāng)△B7Q是直角三角形時(shí)，KE的長為4或6或8或12,

故答案為：4或6或8或12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角

形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?江蘇蘇州?蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？寄M預(yù)測）定義：有一組對(duì)邊相等且這一組對(duì)邊所在直線互

相垂直的凸四邊形叫做”等垂四邊形”，如圖1,四邊形2BCD中，AB=CD、AB1CD,四邊形4BCD即為等

垂四邊形，其中相等的邊4B,CD稱為腰，另兩邊4D,BC稱為底.

圖1圖2

圖4

(1)【提出問題】如圖2,△4BC與△DEC都是等腰直角三角形.N4CB=NDCE=90。,

135°<zX￡C<180°.求證：四邊形BDR4是“等垂四邊形”;

(2)【拓展探究】如圖3,四邊形力BCD是"等垂四邊形”，力。力BC,點(diǎn)M、N分別是2D,BC的中點(diǎn)，連接

MN.已知腰48=5,求MN的長;

(3)【綜合運(yùn)用】如圖4,四邊形48CD是“等垂四邊形"，AB=CD^4,底BC=9,則較短的底4。長的取值

范圍為

【答案】(1)見解析

(2呼

(3)9-472<AD<V65-4

【分析】(1)利用SAS證明△EC4三△DC8得到=AE=BD,延長BD交4E延長線于R4F交

BC于點(diǎn)。，由48。尸=乙4。。，推出NBFO=NBC4=90。，即4E1DB,即可證明四邊形BDE2是“等垂四邊

形”

(2)連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接GM,GN,延長B4,CD交于點(diǎn)、H,由題意可知CD14B,

28=CD=5,則NCBH+NHCB=90。，由三角形中位線定理得到MG==2.5,GN=*D=2.5,

CD||NG,GM||AB,進(jìn)一步證明NMGN=90。，則△GNM是等腰直角三角形，即可得到MN=&GN=

5V2

(3)延長BA、CD交于點(diǎn)尸，分別取4。、BC的中點(diǎn)M、N,連接PM、PN、MN,由直角三角形斜邊上的中

線的性質(zhì)得到NP=#B=5,由(2)知，NM*AB=2內(nèi)由三角形三邊的關(guān)系得到9—4北

<^￡><94-472；由于4D>4P,當(dāng)CP最小時(shí)，BP最大,即此時(shí)4P最大，求出當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)P重合時(shí)，

BP=V65,則此時(shí)力2=病一4；即可推出9一4魚<4DW病一4.

【詳解】(1)證明：???△28C與△DEC都是等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ADCE=^ACB=90°,

：.Z.ECA+(BCE=Z-DCB+乙BCE,

.\Z-ECA=Z.DCB,

在△DCB和中，

(CD=CE

\^DCB=^ECA,

ICB=CA

.?.△EC4W2\DC8(SAS),

:.乙CAE=cCBD,AE=BD,

延長BD交4E延長線于尸，力尸交BC于點(diǎn)。，

■■■Z.BOF=Z.AOC,

:/BFO=Z.BCA=90°,即2E1DB,

.?.四邊形BDE力是“等垂四邊形”；

(2)解：連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接GM,GN,延長BA,CD交于點(diǎn)、H,

?.?四邊形4BCD是“等垂四邊形”，AD豐BC,

.,.CD1AB,AB=CD=5,

"CBH+乙HCB=90°,

???點(diǎn)M,N,G分別是力。，BC,BD的中點(diǎn)，

.-.MG=|XS=2.5,GN=*D=2.5,CD||NG,GM||AB,

:.乙GNB=LC,ADGM=^HBD,GM=GN,

:/MGN=乙MGD+乙NGD=^ABD+ADBC+乙GNB=乙ABD+乙DBC+ZC

=AHBC+Z.HCB=90°,

.?.△GNM是等腰直角三角形，

.-.MN=V2G/V=歲；

(3)解：延長84、CD交于點(diǎn)P,分別取2D、8c的中點(diǎn)M、N,連接PM、PN、MN,

P

■,■^DPA=ABPC=90°,AB=DC=4,BC=9,

.-.MP=^DA,NP=^CB=l，

由(2)知，NM=^-AB=2V2,

■:PN-NM<PM<PN+NM,gp|-2y/2<PM<^+2班，

???|-2V2<|XD<1+2V2,即9-4四WADW9+4近；

■：AD>AP,

二當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合時(shí)在Rt△PBC中，由勾股定理得BP=VBC2-CD2=V65,

此時(shí)力P=BP-AB=V65-4；

--.9-4V2<AD<V65-4

故答案為：9-4V2</10<V65-4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),

勾股定理，三角形三邊的關(guān)系等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)校考一模)定義如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為，對(duì)

角互余四邊形

(1)利用下面哪組圖形可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形(填寫序號(hào))

①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)等邊三角形；③兩個(gè)直角三角形；④兩個(gè)全等三角形

(2)如圖1,在對(duì)角互余四邊形4BCD中，ZD=3O°,5.ACLBC,AC1AD.若BC=1,求四邊形力BCD的面

積和周長.

(3)如圖2,在四邊形4BCD中，連接AC,ABAC=90°,點(diǎn)。是△4CD外接圓的圓心，連接04

乙48c.求證：四邊形力BCD是“對(duì)角互余四邊形”；

(4)在(3)的條件下，如圖3,已知4D=a,DC=b,AB=3AC,連接BD,求的值.(結(jié)果用帶有°,b

的代數(shù)式表示)

【答案】⑴①③

(2)周長為6+2g；面積28

(3)見解析

(4)BD2=10a2+9。2

【分析】(1)結(jié)合定義來判斷，重點(diǎn)是拼成的四邊形一對(duì)對(duì)角互余.

(2)因?yàn)?C1BC,ACLAD,所以NACB=/CAD=90。，所以在對(duì)角互余四邊形4BCD中，只能48+40=90

這樣利用含30。直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問題；

(3)連接。C,貝1］。2=。。，得出NA0C=2N4DC,進(jìn)而得出2NADC+2NABC=18。。，即可得出

ZXDC+Z/4BC=9O°；

(4)如圖，作NCDF=Z718C,過點(diǎn)C作CE1DF于點(diǎn)E,連AE.得出AC:A8:BC=1:3:715,同理可得

C￡:D￡:DC=l:3：V10,進(jìn)而證明△ACEBCD,得出力E=嘿，在RSCDE中，器=2,即可得出

V10DCvio

=10a2+9抉.

【詳解】(1)解：①兩個(gè)等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；

②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對(duì)角和為120。或240。，故②得不到對(duì)角互余四邊

形；

③兩個(gè)全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個(gè)直角三角都可以，故③可以得到一個(gè)對(duì)角互余

四邊形；

④若是兩個(gè)全等的直角三角形，根據(jù)③可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形，兩個(gè)一般全等三角形，不成立，

故答案為：①③.

(2)-ACIBC,ACLAD,

：.Z.ACB=Z.CAD=90°,

???對(duì)角互余四邊形/BCD中，4=30。，

?"=60。，

在Rg/BC中，乙4cB=90。，ZB=6O°,BC=1,

.'.AB=2,AC—V3,

在RtZ\ZCO中，4W=90。，ZD=30°,

.,.AD=3,CD=2^3,

'T'^AABC~g,AC,BC=-xV3x1=苧，SAACD~2,AC,AD=-xV3x3二

???S四邊形ABC。=S4ABC+S&ACD=2V3,

四邊形/BCO的周長=AB+BC+CD+AD=2+1+2V3+3=6+2g；

(3)連接。C,

圖2

-：0A=OC,

：.Z-OAC=Z-OCA=Z.ABC,

-AC=AC,

：.Z-AOC=2/.ADC,

??.2乙4DC+24ABe=180。,

.?2DC+NZBC=90。，

???四邊形ZBco是“對(duì)角互余四邊形”；

(4)如圖，作/。。尸=乙48配過點(diǎn)。作CE1DF于點(diǎn)E,連/E.

???乙48C+/4DC=90。，

??.乙4。。+"。/=90。.

22222

：.AD+DE=AE,即層+DE=AE.

??2BAC=90。,AB=3AC,

：.AC\AB\BC=l:3：V10.

同理可得CE:DE:DC=1:3：V1U.

AC_CE

''~BC~~CD'

,：Z-CDF=Z-ABC,

：.Z.ACB=Z-DCE.

:.乙BCD=乙4cM

.--AACE-ABCD.

AE_AC___1

~BD~~BC~V10,

BD

?.?”E=溫

在RSCDE中，好看

3

---DE=^b-

?,序+島力2=蠕)〔即源+斜2=等

：.BD2=10a2+9爐.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股

定理、新定義問題的求解等知識(shí)與方法，此題難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?江蘇無錫?無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測)問題提出：已知矩形48CD,點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn),

EF1AB,交BD于點(diǎn)F.將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90。)得到△E'BF',則4?與。尸有怎樣的

數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【問題探究】

探究一：如圖，已知正方形A8CD,點(diǎn)E為4B上的一點(diǎn)，EF1AB,交BD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,直接寫出與的值________;

(2)將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF,猜想DF與2E的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

探究二：如圖，已知矩形4BCD,點(diǎn)E為力B上的一點(diǎn)，EFLAB,交BD于點(diǎn)F.

如圖3,若四邊形4BCD為矩形，黑=號(hào),將AEBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到△E'BF'(E>

F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為廿、尸點(diǎn))，連接4斤、DF',則黑的值是否隨著a的變化而變化.若變化，請(qǐng)說明變化情況

若不變，請(qǐng)求出箓的值.

DF,

【一般規(guī)律】

如圖3,若四邊形ABCD為矩形，BC=nMB,其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90

。)得到△E'BF',連接2民，DF',請(qǐng)直接寫出40與DF的數(shù)量關(guān)系.

【答案】［問題探究］探究一:(1)V2；(2)DF=V2XF,證明見解柝探究二第=字［一般規(guī)律W=VT不病

AE'

【分析】探究一(1)由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得解；

(2)由(1)的結(jié)論即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABEsaDBF,則喘=器=魚，即可得到答案；

Z1C/1D

opDTY

探究二證明△BEfsaBAD,得到4=菽=6，由△繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到

BF',則乙4BE，=ADB廣，BE'=BE,BF'=BF,再證明△DBF,則吟=霧=b，即可得到答案；

AE'

一般規(guī)律：同探究二，在Rt△48。中，BD=yJl+m2AB,證明得到黑=需=策1+-2,

MrAD

即可得到結(jié)論；

【詳解】［問題探究］探究一

(1)?.?BD是正方形4BCD的對(duì)角線，

???/.ABD=45°,BD=V2AB,

EF1AB,

???4BEF=90。，

Z.BFE=Z.ABD=45°,

BE=EF,

???BF=V2BE

??.DF=BD-BF=V2AB-y/2BE=&(AB-BE)=42AE

DF「

：.—=-^2

AE

故答案為：V2；

(2)DF=V2AE,

理由：由(1)知，BF=V2BE,BD=42AB,

BFBDr-

"而一布―"，

由旋轉(zhuǎn)知，/-ABE=/.DBF,

■■.AABE-ADBF,

變=吆=77

AEAB

???DF=AE；

探究二：???四邊形4BCD為矩形,

???AD=BC=V2AB,

?，.BD=V3AB,

EF1AB,

EF||AD,

???△BEFFBAD,

BE_BF

：,~BA=~BD

BFBD「

—=—=V3

BEBA

???△EBF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90。）得到AEZF

???乙ABE，=/-DBF,BE'=BE,BF'=BF,

BF'BD「

???——=—=V3

BE'BA

??.△ABE'?ADBF，

DF'BD「

???--=——=v3

AE'BA

即。尸=后￡

.迫一叵.

??DF'~3，

［一般規(guī)律］如圖3,???四邊形ZBCD為矩形，

圖3

AD=BC=mAB,

???BD=yjAB2+AD2=yjl+m2AB

EF1AB,

EF||AD,

???△BEFFBAD,

BE_BF

~BA~~BD

BFBDr------------

而=或="+癥，

vAEBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90。）得至必

Z-ABE'=乙DBF,BE'=BE,BF'=BF,

BF'

土、1+小2,

BE'

??.△ABE'DBF',

喘=需="+優(yōu)，

即。尸=V1+mMF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的綜

合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比表示線段之間的關(guān)系.

7.(2023?江蘇蘇州?一模)【教材再現(xiàn)】

在初中數(shù)學(xué)教材中有這樣一個(gè)基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖1,直

線All%，直線機(jī)和直線〃分別與直線人和直線%相交于點(diǎn)/，點(diǎn)、B,點(diǎn)F,點(diǎn)、D,直線加和直線”相交于點(diǎn)

【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖2,在△&孔中，AC=BC=3,NC=90。，點(diǎn)。在邊BC上(不與點(diǎn)2,點(diǎn)C重合)，連接力D,點(diǎn)E在

邊48上，上EDB=LADC.

(2)當(dāng)黑=：時(shí)，直接寫出4。的長;

(3)點(diǎn)/■在射線/C上，連接EE■交線段力。于點(diǎn)G,當(dāng)CH=1,且=時(shí)，直接寫出/的值.

【答案】(1)見解析

(2)710

【分析】(1)過點(diǎn)4作4FIICB交DE的延長線于點(diǎn)F,先證明=再由黑=黑可推得黑=半；

/\DrUADAU

(2)作DM14F于點(diǎn)M,先證明△AEFW^BED,得到4F=BD,再證明四邊形2CDM是矩形，得

CD^AM^\AF=^BD,可求出CD的長，再由勾股定理求出4。的長；

(3)分兩種情況，即點(diǎn)H在線段AC上和點(diǎn)H在線段4C的延長線上，由△2EH三aaE/求出4尸的長，再由

CD求出CD的長，得到BD的長，再由相似三角形的性質(zhì)求出喘的值，再轉(zhuǎn)化為學(xué)的值.

Z/it,AD

【詳解】(1)證明：如圖2,過點(diǎn)/作”II交DE的延長線于點(diǎn)乩

???AF||CB,

Z.F=Z.EDB,Z.FAD=Z-ADC,

???Z.EDB=Z.ADC,

AZ-F=/.FAD,

AD=FD；

./八zi=t

由（1）得B而E=而DE

BE_DE

~AB~~AD；

(2)解：如圖3,

由1z①~x/r得=tB而E=而DE，

DE_1

~AD~29

BE1

~AB~29

AE=BE,

vZ-F=乙EDB,Z.EAF=2B,

.*.△AEF=△BED(AAS),

??.AF=BD；

??,AD=FD,

AM=FM=^AF,

???NC=90°,

???AMAC=180°-zc=90°,

???AAMD=^MAC=zc=90°,

四邊形4CDM是矩形，

CD=AM=\AF=^BD,

■：AC=BC=3,

co=|BC=1,

22

...AD=AMC2+CD2=V3+l=VTo.

(3)解：如圖4,

點(diǎn)H在線段AC上，CH=1,

.-.AH=3-1=2,

???Z.HAE=乙B,Z,FAE=乙B,

；?CHAE=AFAE,

???乙AEH=乙BED,^AEF=乙BED,

^AEH=^AEFt

AE=AE,

AEH=△AEF(ASA),

.?.AH=AF=2,

由②得

??.CD=1,

BD=3-1=2,

AF—BD,

vZ-F=乙EDB,Z.EAF=乙B,

.*.△AEF=△BED(ASA),

AE=BE,

BE1

**'AB~2；

如圖5,

AF

點(diǎn)H在線段ac的延長線上，CH=1,

AH=3+1=4,

同理可得??.△AEH=△AEF(ASA),

AH=AF=4,CD=^AF=2,

???=3—2=1,

vZ.EDB=ZF,Z-B=Z-EAF,

.-.ABED-AAEFf

BE_BD_1

??~AE~~AF~4f

BE1

綜上所述，器的值為覆忌

ADZ5

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)與方法，解題過程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，此題難度較大，屬于考試壓軸題.

8.（2023?江蘇徐州??？家荒＃┚C合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

⑴操作判斷：

操作一：如圖1,對(duì)折矩形紙片4BCD,使4。與8C重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：如圖1,在4。上選一點(diǎn)尸，沿2P折疊，使點(diǎn)/落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角：（寫一個(gè)即可）.

（2）遷移探究：

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片4BCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CO于點(diǎn)Q,連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，4MBQ=°,乙CBQ=°；

②如圖3,改變點(diǎn)尸在AD上的位置（點(diǎn)尸不與點(diǎn)力,。重合），判斷NMBQ與NCBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

（3）拓展應(yīng)用:

在（2）的探究中，已知正方形紙片4BCD的邊長為10cm,當(dāng)FQ=3cm時(shí)，直接寫出4P的長.

圖3

【答案】⑴NABP/PBM/MBC

(2)①15,15②NMBQ=乙CBQ,理由見解析

—、4n20-p.10

(3)AP=可mc或可mc

【分析】⑴根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE/BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得NBME=30。，進(jìn)而可得

乙ABP=乙PBM=乙MBC=30°；

(2)①根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RSBQM三RtABQC(HL),即可求解，②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQM三RtABQC

(HL),即可求解；

(3)由(2)可得QM=QC,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)尸的上方時(shí)，設(shè)

AP=PM=x,分別表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：■■■AE^BE^AB,AB=BM,

RF1

???乙BEM=90°,sinzBMEB=M—2=

??.NBME=30。，

???乙MBE=60°,

???Z-ABP=乙PBM,

(ABP=乙PBM=乙MBC=30°；

(2)???四邊形ABC。是正方形

.-.AB=BC,^A=AABC=AC=90°,

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,^PMB=Z.BMQ==90°,

：.BM=BC；

@-：BM=BC,BQ=BQ,

.-.Rt△BQMmRt△BQC(HL),

???Z.MBQ=Z.CBQ,

???△M8C=30。,

???乙MBQ=乙CBQ=15°；

故答案為：15,15；

②乙MBQ=MBQ,理由如下：

???BM=BC,BQ=BQ

.-.Rt△BQM=Rt△BQC(HL)

AMBQ=ACBQ；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，如圖，

圖3

FQ=3cm,DF=FC=5cm,AB=10cm,

：.QC=CD-DF-FQ=10-5-3=2(cm),DQ=DF+FQ5+3=8(cm),

由(2)可知，QM=QC,

設(shè)力P=PM=x,PD=W-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(10—K)2+82=(X+2)2,

解得：xly,

：.AP=-cm；

當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)尸的上方時(shí)，如圖,

QC=8cm,DQ=2cm,

由(2)可知，QM=QC,

設(shè)4P=PM=x,PD=10—x,

???PD2+DQ2=PQ2,

即(10—X)2+22；=(久+8)2,

解得：x=與，

：.AP=—cm.

綜上：AP=拳:m或?qū)W;m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

9.(2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)?？计谀?【學(xué)習(xí)心得】

小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完‘圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問

題變得非常容易.

例女比如圖，在aABC中，AB=AC,ABAC=90°,。是ZL4BC外一點(diǎn)，S.AD=AC,求NBDC的度數(shù).若以

點(diǎn)/為圓心，48長為半徑作輔助圓04則C,。兩點(diǎn)必在04上，NB4C是04的圓心角，NBDC是

的圓周角，則NBDC=45。.

(1)【初步運(yùn)用】如圖，在四邊形4BCD中，ABAD=/.BCD=90°,乙BDC=24。,求ABAC的度數(shù)；

(2)【方法遷移】如圖，已知線段4B和直線1,用直尺和圓規(guī)在/上作出所有的點(diǎn)P,使得N4PB=30°(不寫

作法，保留作圖痕跡)；

AA--------B

(3)【問題拓展】

①如圖，已知矩形4BCD,AB=2,BC=m,M為CD上的點(diǎn).若滿足=45。的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則根

的取值范圍為.

②如圖，在△4BC中，NB2C=45。，4。是8C邊上的高，且BD=6,CD=2,求4。的長.

A

【答案】(1)皿C=24°

(2)見解析

(3)02<m<V2+l；@AD=4+2V7

【分析】(1)如圖所示，取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,則4E=BE=DE=CE=TB。，即可得到/、B、C、D

1

在以E為圓心，押。為半徑的圓心，則NBAC=NBDC=24。；

(2)先作等邊三角形。48,再以。為圓心，AB的長為半徑畫弧與直線/的交點(diǎn)即為所求；

(3)①如圖所示，在BC上截取一點(diǎn)尸使得BF=B4連接2F,以4F為直徑作圓O,過點(diǎn)尸作EF14D交力D

于E,過點(diǎn)。作。G1EF交EF于“交圓。于G,過點(diǎn)G作圓。的切線分別交AD,BC于K、Q,則當(dāng)BF<m<BQ

時(shí)滿足題意，據(jù)此求解即可；②如圖所示，作△ABC的外接圓，過圓心。作。E1BC于E,OF14。于巴

連接。B,OC,0A,則四邊形。FDE是矩形，分別求出4F、DF即可得到答案.

【詳解】(1)如圖所示，取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,

C'、、、_____，

■:^BAD=A.BCD=90°,￡為BD的中點(diǎn)，

.-.AE=BE=DE=CE=^BD,

-1

；.)、B、C、。在以E為圓心，聲。為半徑的圓心,

.?.NBaC=NBDC=24°；

(2)如圖所示，Pl、P2即為所求;

Pi

(3)①如圖所示，在BC上截取一點(diǎn)尸使得8F=B4連接4F,以4F為直徑作圓O,過點(diǎn)尸作EF1力。交2。

于E,過點(diǎn)。作。G1EF交EF于X交圓。于G,過點(diǎn)G作圓。的切線分別交4D,BC于K、Q,則四邊形ABFE

為正方形

41'、、、、EKD

?.?四邊形ABC。是矩形,

.-./.ABE=90°,

??.2在圓。上，4F=7AB2+BF2=2vL

.■.OG=OF=V2.

■：OHLEF,

:.FH=^EF=^AB=1,

：.OH=VOF2-OH2=1,

:.GH=OG-OH=^/2-l,

：.BF<m<BQ,

.-.2<m<2+V2-1,即2<小<四+1.

②如圖所示，作△ABC的外接圓，過圓心。作。E1BC于E,。F14￡＞于p，連接。B,OC,0A,則四邊形

OFDE是矩形

A

???NB2C=45°,

."。。=90。,

在直角△BOC中BC=BD+CD=8,

:.BO=CO=4V2,

?.?OE1BC,

...BE=*C=4,

.-.DE=0F=2,OE=DF=yj0B2-BE2=4,

■-AF=7A02—OF2=2V7,

.-.AD=AF+DF=4+2V7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定

理等等，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.(2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另

一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，并稱這兩個(gè)角的公共邊為底邊.

例如：若△A8C中，NH=2NB,則△ABC為以邊48為底邊的