高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）57三角函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用 3題型二：三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用 8題型三：數(shù)據(jù)擬合問題 11題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用 17題型五：幾何中的三角函數(shù)模型 23

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡諧運動的振幅就是．2、簡諧運動的周期．3、簡諧運動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．知識點二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識點三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．知識點四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題．（3）整理一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題．知識點五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解．【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【典例11】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)位置（）的時間分別為，，（），且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）A． B． C．1s D．【答案】D【解析】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時間為，綜上在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.【典例12】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，一個以為始邊，為終邊的單擺的角與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則當(dāng)時，角的大小及單擺頻率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，由函數(shù)解析式易知單擺周期為，故單擺頻率為．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．【變式11】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，由乙點開始經(jīng)過周期后，與圖中哪個點相同（

）A．甲 B．戊 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因為最小值和最大值之間的橫坐標(biāo)相差12而乙在最低點，所以經(jīng)過12周期后，乙點與丁點相同故選：D.【變式12】（2024·高一·廣東廣州·期末）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在秒時相對于平衡位置的高度厘米由關(guān)系式確定，其中，，.小球從最低點出發(fā)，經(jīng)過2秒后，第一次回到最低點，則下列說法中正確的是（

）A．B．秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為2C．當(dāng)時，若小球有且只有三次到達(dá)最高點，則D．當(dāng)時，若時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，則【答案】B【解析】由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，當(dāng)時，，即，，所以，則，故A錯誤；因為，，所以秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為，故B正確；若，則，又當(dāng)時，小球有且只有三次到達(dá)最高點，所以，解得，即，故C錯誤；因為，令，，則，，滿足且時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，此時，故D錯誤.故選：B【變式13】（2024·高一·遼寧沈陽·階段練習(xí)）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，故函數(shù)的周期為，則，可得，位移的大小即，故令，得，，或,則，或者，故總時間為：，故選：C.【變式14】（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）電流隨時間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時的電流為．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.【變式15】（2024·高一·上海嘉定·期中）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度厘米滿足下列關(guān)系：，，則每秒鐘小球能振動次.【答案】【解析】函數(shù)，的周期，故頻率為.所以每秒鐘小球能振動次.故答案為：.題型二：三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用【典例21】（2024·高一·江蘇連云港·期中）如圖，為測量旗桿的高，在水平線上選取相距的兩點，用兩個垂直于水平面且高度均為的測量標(biāo)桿觀測旗桿的頂點，記處測量標(biāo)桿的上端點分別為，直線與水平線分別交于點，且測得的長分別為，則旗桿的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，，所以，又，得到，又，所以，解得m，故選：A.【典例22】（2024·高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個聲音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)，如音叉發(fā)出的純音振動可表示為，其中表示時間，表示純音振動時音叉的位移，表示純音振動的頻率（對應(yīng)音高），表示純音振動的振幅（對應(yīng)音強）．已知某音叉發(fā)出的純音振動可表示為，則該純音振動的頻率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】頻率為，故選：C【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟【變式21】（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）某市一年中的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似用函數(shù)來表示已知6月份的月平均氣溫為，12月份的月平均氣溫為，則10月份的月平均氣溫為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，且，解得，所以，當(dāng)時，所以10月份的月平均氣溫為.故選：D【變式22】（2024·高一·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）的部分記錄表.時間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個港口的水深值與時間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來描述.試估計13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【答案】C【解析】記時間為，水深值為，設(shè)時間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C【變式23】（2024·高一·江西宜春·期中）某賣場去年1至12月份銷售某款飲品的數(shù)量（單位：萬件）與月份x近似滿足函數(shù)，已知在上單調(diào)，且對任意的，都有，若，則該賣場去年銷售該款飲品的月銷量不低于65萬件的月份有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【解析】由題意可得，，又在上單調(diào)，且對任意的，都有，所以，所以，所以，即，又因為，所以，所以，所以，解得，因為，所以，即有5個月，故選：B.題型三：數(shù)據(jù)擬合問題【典例31】（2024·高二·貴州遵義·階段練習(xí)）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點，由周期，且，可得，由過點，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.【典例32】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時進(jìn)港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（

）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)的周期為，振幅，所以，又因為達(dá)到最大值，所以由，可得，所以，所以函數(shù)的表達(dá)式為，令，解得，所以在可安全離港，故選：C【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問題的關(guān)鍵在于如何把實際問題三角函數(shù)模型化，而散點圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對→作散點圖→確定擬合函數(shù)→解決實際問題．【變式31】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時.【變式32】（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）某市某日氣溫()是時間，單位：小時的函數(shù)，下面是該天不同時間的氣溫預(yù)報數(shù)據(jù)：（時）03691215182124()15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求函數(shù)的表達(dá)式(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲得3倍于室內(nèi)銷售的利潤，但對室外溫度的要求是氣溫不能低于，根據(jù)（1）中所得模型，一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在什么時間段（用區(qū)間表示）將該種商品放在室外銷售？(忽略商品搬運時間及其他非主要因素)【解析】（1）由的圖象，可得，解得，又由，解得，所以，因為時，可得，即，解得，即，所以，又因為，解得，所以.（2）令，即，可得，解得，解得，又因為，所以當(dāng)時，可得，所以一個小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在時間段將該種商品放在室外銷售．【變式33】（2024·高一·福建莆田·期中）某企業(yè)一天中不同時刻的用電量（萬千瓦時）關(guān)于時間（小時）的函數(shù)近似滿足（，，）．如圖是函數(shù)的部分圖象對應(yīng)凌晨0點）．(1)根據(jù)圖象，求，，，的值；(2)由于當(dāng)?shù)囟眷F霾嚴(yán)重，從環(huán)保的角度，既要控制火力發(fā)電廠的排放量，電力供應(yīng)有限，又要控制企業(yè)的排放量，于是需要對各企業(yè)實行分時拉閘限電措施．已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）的關(guān)系可用線性函數(shù)模型（）擬合．當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時，企業(yè)就必須停產(chǎn)．初步預(yù)計這一時刻處在中午11點到12點間，為保證該企業(yè)即可提前準(zhǔn)備應(yīng)對停產(chǎn)，又可盡量減少停產(chǎn)時間，請從這個初步預(yù)計的時間段開始，用二分法將這一時刻所處的時間段精確到15分鐘．【解析】（1）由函數(shù)圖象知，∴，，，代入，得，則,又,綜上，,,,.（2）由（1）知,令，設(shè)，則為該企業(yè)的停產(chǎn)時間．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，而（）為減函數(shù)，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．由，又，則，即11點到11點30分之間（大于15分鐘），又，則，即11點15分到1點30分之間（正好15分鐘），故估計在11點15分到11點30分之間的時間段停產(chǎn)．【變式34】（2024·高一·河北邢臺·期末）某地農(nóng)業(yè)檢測機構(gòu)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的活雞收購價格（元/斤）每年四個季度會重復(fù)出現(xiàn)，但活雞養(yǎng)殖成本（元/斤）逐季遞增.下表是該地區(qū)今年四個季度的統(tǒng)計情況：季度第1季度第2季度第3季度第4季度收購價格81086養(yǎng)殖成本34現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年活雞收購價格與第季度之間的函數(shù)關(guān)系?養(yǎng)殖成本與第季度之間的函數(shù)關(guān)系（從今年第1季度為第1個季度開始計算）.（數(shù)據(jù)參考：取.）(1)請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)模型的解析式.(2)若活雞的收購價格高于養(yǎng)殖成本，則該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶盈利，若活雞的收購價格低于養(yǎng)殖成本，則該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶虧損.按照你選定的函數(shù)模型，幫助該機構(gòu)估計一下，明年四個季度該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶是盈利還是虧損？【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收購價格隨月份變化上下波動，應(yīng)選擇模型①；由表中數(shù)據(jù)可知，收養(yǎng)殖成本隨月份緩慢上升，應(yīng)選擇模型②.對于模型①，由點及可得該函數(shù)周期為，則由，可得.又該函數(shù)最大值為10以及最小值為6可得，，解得.所以.將代入可得，所以，又，所以，所以模型①為.對于模型②，的圖象過點，.所以，解得.所以模型②為.（2）由（1）設(shè)，.若，則盈利，若，則虧損.當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則.這說明明年四個季度的收購價格都高于養(yǎng)殖成本，所以估計明年四個季度該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶都會盈利.【變式35】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時間t(，單位：小時)呈周期性變化，每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如表：t/時03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.0(1)從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(2)如果確定在一天內(nèi)的7時至19時之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．【解析】（1）把表格中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出，如下，由所描點知：應(yīng)選擇，令，，，依題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，周期為，則，，，于是，代入點，得，即，則，又，因此，所以該模型的解析式為：.（2）令，得，則，解得，而，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，因此或或，依題意，應(yīng)在白天11點到19點之間訓(xùn)練較恰當(dāng).題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用【典例41】（2024·高一·全國·單元測試）如圖，一個大風(fēng)車的半徑為旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面2m，風(fēng)車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)，則．旋轉(zhuǎn)一周，．最大值與最小值分別為14，2，，解得．．故選：D．【典例42】（2024·高一·四川成都·期末）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以水流作動力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車，假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針方向勻速圓周運動．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車，在勻速轉(zhuǎn)動過程中，筒車上一盛水筒距離水面的高度（單位：米，記水筒在水面上方時高度為正值，在水面下方時高度為負(fù)值）與轉(zhuǎn)動時間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，，且時，盛水筒位于水面上方米處，當(dāng)筒車轉(zhuǎn)動到第秒時，盛水筒距離水面的高度為（

）米．A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意可得，即，又，所以，所以，則當(dāng)時，即當(dāng)筒車轉(zhuǎn)動到第秒時，盛水筒距離水面的高度為米.故選：B【變式41】（2024·高一·廣東湛江·期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心到地面的距離為41米，每30分鐘按逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈．若初始位置是從距地面21米時開始計算時間，以摩天輪的圓心為坐標(biāo)原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：分鐘），且此時點距離地面的高度為（單位：米），則是關(guān)于的函數(shù)．當(dāng)時，（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，而是以為始邊，為終邊的角，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點的縱坐標(biāo)為，所以點距地面的高度為，故選：A.【變式42】（2024·高一·四川·期中）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為的筒車按逆時針方向做一圈的勻速圓周運動，已知筒車的軸心O到水面的距離為，且該筒車均勻分布有8個盛水筒（視為質(zhì)點），以筒車上的某個盛水筒P剛浮出水面開始計時，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t（單位：），則下列說法正確的是（

）

①時，盛水筒P到水面的距離為；②與時，盛水筒P到水面的距離相等；③經(jīng)過，盛水筒P共8次經(jīng)過筒車最高點；④記與盛水筒P相鄰的盛水筒為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】依題意作圖如下：以水車的軸心為原點建立直角坐標(biāo)系如圖，由題可知水車旋轉(zhuǎn)一周的時間為4min，當(dāng)剛露出水面時，與軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到點，此時點到水面的距離為，所以①正確；②當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)了周，即，此時的位置是點，與軸正半軸的夾角是，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)了，即點，與軸正半軸的夾角也是，點與點到水面的距離相等，所以②正確；③經(jīng)過，則水車轉(zhuǎn)過了個周期，所以盛水桶共9次經(jīng)過最高點，故③錯誤；④設(shè)在的上方，與軸負(fù)方向的夾角為，，則與軸負(fù)方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當(dāng)時取最大值為，故④錯誤；故選：A．【變式43】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，某大風(fēng)車的半徑為，按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面.風(fēng)車圓周上一點從最低點開始，運動后與地面的距離為.(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的大致圖象.【解析】（1）如圖，以為原點，過點的圓的切線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.過點作軸的垂線段，垂足為，連接.設(shè)點的坐標(biāo)為，則.設(shè)，則，所以.又，即，所以，則.（2）函數(shù)的大致圖象如圖所示.【變式44】（2024·高三·山東濟寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求為何值時高度差最大．（參考公式：，）【解析】（1）設(shè)，則，令時，則，，又，解得，所以，．（2）由題意得：1號與9號座艙的角度差為．不妨假設(shè)1號座艙出發(fā)早于9號座艙，時1號與9號的高度分別為，，則，，所以高度，由參考公式得，上式從而高度差為，；當(dāng)，即，時，解得，，又，所以或，此時高度差的最大值為．題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典例51】（2024·高一·云南大理·期末）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若下圖中所示的角為α，且小正方形與大正方形面積之比為1∶5，則tanα的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直角三角形較短的直角邊長為x，由于，則較長直角邊長為，所以小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，因為小正方形與大正方形面積之比為1∶5，所以，所以，所以，由于，解得．【典例52】（2024·高一·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為.將點到直線的距離表示成的函數(shù)，則在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖：過作于，則由題意可得：，，在中，，所以，所以，其圖象即為選項B.故選：B.【變式51】（2024·高三·河北邢臺·期末）如圖，已知OAB是半徑為2千米的扇形，，C是弧AB上的動點，過點C作，垂足為H，某地區(qū)欲建一個風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由△AOC和矩形ODEH組成，且，若風(fēng)景區(qū)的修建費為100萬元/平方千米，則該風(fēng)景區(qū)的修建最多需要（

）A．260萬元 B．265萬元C．255萬元 D．250萬元【答案】D【解析】設(shè)，，則，，所以矩形ODEH的面積，又，所以風(fēng)景區(qū)面積，當(dāng)時，有最大值，故最多需要萬元的修建費．故選：D．【變式52】（2024·高三·上海浦東新·期末）動點在圓上繞坐標(biāo)原點作逆時針勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)一周的時間恰好是12秒，已知時間時，點的坐標(biāo)是，則動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，得，點每秒旋轉(zhuǎn)，所以秒旋轉(zhuǎn)，，則．令，解得：，經(jīng)檢驗：當(dāng)時，，故D符合，故選：D．【變式53】（2024·高一·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖：過作于，則由題意可得：，，在中，，所以，∴.故選：B．【變式54】（2024·高一·廣東佛山·期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于該扇形，其中點分別在半徑和上，點在上，，記矩形的面積為S.(1)當(dāng)點分別為半徑和的中點時，求S的值；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時，S取得最大值，并求此時S的最大值.【解析】（1）如圖，連接，則，所以，又因為矩形ABCD，，所以，從而可得，所以，因為，且，則為等邊三角形，即，又因為矩形ABCD，，則，過點D作的垂線，垂足為E，設(shè)，則，，，在中，則，，可得，若點分別為半徑和的中點，則，即，且，則，則，可得，所以.（2）由（1）可得：，又因為，則，可知當(dāng)，即時，矩形面積S取到最大值為.【變式55】（2024·高一·遼寧大連·期中）校園里有個如圖的半徑為4，圓心角為的扇形花壇，P是圓弧上一點（不包括A，B），點M，N分別在半徑，上.為美化校園，分別在四邊形，