高等教育D1-4乘法公式

第一章二、乘法公式一、條件概率第四節(jié)乘法公式三、事件的獨立性四、貝努利概型1一、條件概率對隨機現象的研究中，常遇到另一類概率計算問題.如：兩個足球隊比賽的勝負預測.

B={中國隊上半場負}，(1)考慮事件A發(fā)生的可能性大??？(2)事件B已發(fā)生,問事件A發(fā)生的可能性大??？A={中國隊最終獲勝}21.引例:擲一顆均勻的骰子,B={擲出2

點}，A={擲出偶數點

}擲骰子容易看到可知大千世界中事物是相互聯系影響的，對隨機事件也不例外。3100件產呂中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現從中任取一件，試求解：令A={抽得廢品}，B={抽得不合格品}.有1）抽得廢品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2.例1注意到有42.定義設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱A的條件概率.為在事件B發(fā)生的條件下,事件注意：P(A)

為無附加條件下A的概率，為無條件概率。為B出現條件下A出現的概率，為條件概率。它們的樣本空間是不同的。事實上，設試驗的基本事件總數為n,B所包含的基本事件數為m(m>0),AB所包含的基本事件個數為k.有（

B成了新的樣本空間）

52.定義故A變成了新的樣本空間

設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱B的條件概率.為在事件A

發(fā)生的條件下,事件3.性質1)對于任一事件B,2)3)設互不相容4)6例1甲、乙兩城市位于長江下游，根據氣象資料知：甲乙兩地一年中雨天占的比例分別為20％和18%.兩地同時下雨的比例為12％。求下列事件的概率：1、

已知乙地為雨天，甲地也是雨天。2、甲、乙兩地至少有一地為雨天。解設A:“甲地為雨天”B:“乙地為雨天”則7一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設A--從盒中隨機取到一只紅球.

ABB--從盒中隨機取到一只新球.解例28例3.某建筑物按設計要求，使用壽命超過50年的概率為0.8.超過60年的概率為0.6。該建筑物經歷50年之后，它將在10年內倒塌的概率有多大。解設A“該建筑物使用壽命超過50年”設B“該建筑物使用壽命超過60年”9二、.乘法公式由條件概率的定義立刻可得下述定理可推廣乘法定理：設則有則有10例1.假設某學校學生四級英語考試的及格率為98%,其中70%的學生通過六級英語考試,試求從該校隨機的選出一名學生通過六級考試的概率.解:設A=“通過四級英語考試”

B=“通過六級英語考試”由題意,可知11假定其中有3件次品，每次從這批產品中無放回地抽取一件來檢查，求前三次都抽到正品的概率。解設Ak“第

k次取得正品”k=1,2,3.例2一批產品有100件，12例3.一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個零件，取后不放回。試求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一個合格品就不再取下去，求在3次內取到合格品的概率“第次抽到合格品”解:設1)2)設“三次內取到合格品”則且互不相容13(方法二)利用對立事件“三次都取到次品”下利用條件概率求做.解:2)設“三次內取到合格品”則且互不相容14例4.設一個班中10名學生采用抓鬮的辦法分一張電影票的機率是否相等解：設“第名學生抓到電影票”15有

一般情況即A

發(fā)生對B

發(fā)生有影響。即已知事件A發(fā)生,并不影響事件B發(fā)生的概率,特殊情況那么在什么特殊情況下呢？這時稱事件A、B獨立.在乘法公式中，當16作業(yè)P6611,12,13,14,16171.擲一顆均勻的骰子兩次,B={第二次擲出6點}A={第一次擲出6點}可知即已知事件A發(fā)生,并不影響事件B發(fā)生的概率,2.擲甲乙兩枚骰子,B={乙擲出偶數點}A={甲擲出偶數點}可知這時稱事件A、B獨立.引例18定理設A,B是兩個事件,如果有如下等式成立剛稱事件A,B相互獨立與與任何事件都是相互獨立例1.

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，問事件A、B是否獨立？解：記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}說明事件A、B獨立.由題意三、事件的獨立性19例2.甲,乙兩人的命中率為0.5和0.4,現兩人獨立地向目標射擊一次,解:設A=“甲射擊一次命中目標”的概率是多少?B=“乙射擊一次命中目標”C=“目標被命中”則相互獨立,且已知目標被命中,則它是乙命中20思考:如圖所示的事件獨立嗎?則A與B不相互獨立.則A,B相容.故A,B不獨立。而即若A,B相容,且反之,若A與B相互獨立,且互斥(互不相容)獨立。21推論:設是兩個事件1)若,則相互獨立的充分必要條件為:2)若相互獨立,與,與,與,都相互獨立證:1)若相互獨立,則有又,則由乘法公式2)其余同理可證22多個事件的獨立性若下面四個等式同時成立推廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：包含等式總數為：都且有等式:則稱n個事件相互獨立23思考:兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?推論:1)若相互獨立,則其中任意k個事件也相互獨立.2)則其中任意k個事件的對立事件與其它的事件組成的n個事件也相互獨立.實質:任何事件發(fā)生的概率都不受其它事件發(fā)生與否的影響24例3.現有四張卡片，如圖所示現從中任取一張,設分別表示抽到寫有數字的卡片,試判定事件之間的關系.解:由題意兩兩獨立不相互獨立25例4設每門炮射擊一飛機的命中率為0.6,現有若干門炮同時獨立地對飛機進行一次射擊，問需要多少門炮才能以0.99的把握擊中一飛機。解設需要n

門炮。Ak

“第k門炮擊中飛機”B“飛機被擊落”故至少需要6門炮才能以0.99的把握擊中飛機。26注：相互獨立事件至少發(fā)生一次的概率計算27例5.某電路如圖所示,已知正常工作的概率為假定能否正常工作是相互獨立的,試求:1)整個電路正常工作的概率解:設表示2)若整個電路正常工作,求D=“電路正常工作”則相互獨立正常工作的概率正常工作,28某人做一次試驗獲得成功的概率僅為0.2，他持之以恒，不斷重復試驗，求他做10次試驗至少成功一次的概率？做20次又怎樣呢？

解：設他做k次試驗至少成功一次的概率為pk，

則p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1－(1－0.2

)10≈0.8926

=1－P(A1)P(A2)…P(A10

)Aj={第j次試驗成功}，j=1，2，…例629

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1－(1－0.2

)20≈0.9885

=1－P(A1)P(A2)…P(A20

)一般，將試驗E重復進行k次，每次試驗中A出現的概率p（0<p<1）則A至少出現一次的概率為30(可靠性問題)設有6個元件，每個元件在單位時間內能正常工作的概率均為0.9，且各元件能否正常工作是相互獨立，試求下面系統(tǒng)能正常工作的概率。124365

解設Ak={第k個元件能正常工作}，k=1，2，…，6，

A={整個系統(tǒng)能正常工作}例7=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)31

A1，A2，…，A6相互獨立，可以證明970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUUA1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6

也相互獨立.32事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。若事件A1，A2，…，An相互獨立,則2、在可靠性理論上的應用33主講教師:王升瑞概率論與數理統(tǒng)計第四講34四.伯努里試驗：即在試驗E的樣本空間S只有兩個基本事件有一類十分廣泛存在的只有相互對立的兩個結果我們稱這只有兩個對立的試驗結果的試驗為的試驗。且每次試驗中例如：試驗“成功”、“失敗”。種子“發(fā)芽”、“不發(fā)芽”生“男孩”、“女孩”考試“及格”、“不及格”產品“合格”、“不合格”買彩票“中獎”、“不中獎”若只有兩個對立結果的試驗可在相同伯努里試驗。的條件下進行，則有35

n重伯努里試驗：設在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為則在n重伯努利試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率為證:設事件

A

在n次試驗中發(fā)生了X

次=“在第次試驗中事件發(fā)生”設伯努里定理設在試驗E中事件A發(fā)生的概率為p，現將E重復獨立的進行n次，稱這n次試驗為n重伯努里試驗。36X的分布列是：男女X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數，X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.生男孩的概率為

p.37伯努里試驗是一種很重要的數學模型，用途廣泛。在

n重貝努利試驗中，事件A

正好出現

k

次的概率有一個一般的求法。由于n

次試驗是相互獨立的，事件A發(fā)生的次數為X,則X

的取值為而就表示一個事件，在

n重貝努利試驗中，事件A

正好出現

k

次的概率有38例1某人射擊每次命中的概率為0.7,現獨立射擊5次，求正好命中2次的概率。解例2從學校乘汽車去火車站一路上有4個交通崗，到各個崗遇到紅燈是相互獨立的，且概率均為0.3,求某人從學校到火車站途中2次遇到紅燈的概率。解途中遇到4次經交通崗為4重貝努利試驗，其中39在規(guī)劃一條河流的洪水控制系統(tǒng)時需要研究出現特大洪水的可能性。假定該處每年出現特大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出現是相互獨立的，求在今后10年內至少出現兩次特大洪水的概率。解設

A“出現洪水”“不出現洪水”例340例4某車間有50臺機床，一天內每臺需要維修的概率均為0.02,求一天內需維修的機床不多于2臺的概率。解41例5.袋中裝有30只紅球,70只藍球,現從袋中有放回地抽取5次,每次取1只球,試求:1)取出的5只球中恰有2只紅球的概率;2)取出的5只球中至少有2只紅球的概率；解:取到紅球的概率為0.3,5次取球相互獨立，故為5重伯努里概型,設X

為取到紅球的次數。1)2)42作業(yè)P6615,17,18,19,20,21,22,23,2443伯努利（1655—1705）瑞士數學家JakobBernoulli,他使概率論成為一個獨立的數學分支。1713年出版的遺作《猜度術》，建立了概率論中的第一個極限定律——伯努利大數定律。伯努利家族在數學與科學上的地位非常的顯赫。這個非凡的瑞士家族在三代時間里產生了八位數學家（其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾），他們又生出了在許多領域里嶄露頭角的成群后代。44JacobBernoulli（1654-1705）非常喜愛的數學，他自學了牛頓和萊布尼茨的微積分，并從1687年開始到他去世為止任瑞士巴塞爾大學數學教授。