2024-2025學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期末考復(fù)習(xí)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式（附答案解析）

題型1由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值...............................5

題型2由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡...............................7

題型3給角求值...................................................8

題型4給值（式）求值..............................................10

題型5由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡........................................11

題型6三角函數(shù)的綜合應(yīng)用........................................12

??

?知識清單?

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

2.由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值、化簡與證明

3.誘導(dǎo)公式二?六

4.給角求值，給值（式）求值

5.由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值與證明

6.三角形中角的特點(diǎn)

7.由三角函數(shù)定義進(jìn)行化簡、求值、證明

如識歸納

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：‘in?=tana(a邦兀+與k^z\.

(3)同一個角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切.

2.誘導(dǎo)公式二

(1)sin(7i+a)=-sina.

(2)cos(兀+a)=-cosa.

(3)tan(兀+a)=tana.

3.誘導(dǎo)公式三

(1)sin(—a)=—sinot.

(2)cos(—a)=cosa.

(3)tan(—?)=-tana.

4.誘導(dǎo)公式四

(1)sin(7i-a)=sina.

(2)cos(7i—?)=-cos?.

(3)tan(7i—a)=—tanot.

5.誘導(dǎo)公式五

(1)sin售-Q)=COSQ.

(2)cosl2—?l=sina.

6.誘導(dǎo)公式六

(1)sin(/+aJ=COSQ.

(2)cosg+aj=—sina.

技巧總結(jié)

1.由三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法.

(1)若已知sina=m,先求cosa=±勺1-sin2s,再由公式tana=Sma

cosex.

向或+E,%￡Z),求tana.

(2)若已知cosot=m,先求sina=±yj1—cos2a,再由公式tana=Sma

cosa

(a或+ku,%￡Z),求tana.

…sina—

(3)若已矢口tana=m,貝U由tana=------=m,可得sin?=mcosa,結(jié)合sin2a

cosa

+cos2?=L通過方程組求解.

(4)注意要根據(jù)角的終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)值的符號.

2.三角函數(shù)式的化簡技巧.

(1)化切為弦，即把正切都化為正弦、余弦，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化

繁為簡的目的.

(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號

達(dá)到化簡的目的.

(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2a

+cos2?=L以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.

3.證明三角恒等式的常用方法.

(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡.

(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子.

(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對地變形，以消除差

異.

(4)變更命題法，如要證明稱=5，可證ad=6c,或證/='等.

(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或‘霜=1”.

4.由誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟.

(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化.

(2)“大化小”——用公式一將角化為0到2兀間的角.

(3)“小化銳”——用公式二或四將大于今的角轉(zhuǎn)化為銳角.

(4)“銳求值”——得到銳角三角函數(shù)后求值.

5.三角函數(shù)式化簡的常用方法.

(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦、余弦函數(shù).

6.誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”.

(1)一看角：化大為??；看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角

的關(guān)系.常見的互余的角：］一a與聿+a,彳+a與:一a等；常見的互補(bǔ)的

Hn..5717i,.2nn,3n生

用：%十a(chǎn)與7—a，w十a(chǎn)與1十a(chǎn)與彳-a寺.

(2)二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化.

(3)三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分

母同乘一個式子變形，平方和差、立方和差公式.

拓屐程伸

1.和角差角公式.

(1)cos(a+0)=cosacos^-sinasin^.

(2)sin(a+0)—sinacos^+cosasin^.

_tana+tan/3

(3)tan(a+0)?

1-tanatanp

(4)cos(a-P)=cosacos^sinasin^.

(5)sin(a-p)=sinacos^-cosasin^

_tana-tanp

(6)tan(a-P)

l+tanatan/3

2.二倍角公式.

(1)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos1a-1=1-2sin2a.

2tana

(3)tan2歸

l-tan2a

題型1由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值

【典例1】(2023秋?邢臺期末)若sina=-多且a為第三象限角，則tana=()

A.一等B.叵C.一孚D.叵

131344

【答案】B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.

【解答】解：由題意，cosa=-(-空尸=-冬^,故

\1,1UC/〉vv-L。

故選：B.

【典例2】（多選）（2023秋?廣州期末）已知ee（0,n）,sine+cose=則

下列結(jié)論正確的是（）

A.e為第二象限角

B.cosd=—q

C.tanO=一百

D.4sin0cos0—2cos20=一當(dāng)

【答案】ABD

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算求解即可判斷各選項(xiàng).

【解答】解：由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，

sine+cos”-弓,因?yàn)閑e(0,n),所以sine>0,解得sM"|,cose=~l，

sin29+cos29=1'°

因?yàn)閏os。=4<0,所以e是第二象限角，故選項(xiàng)A,3正確，

有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，山加=舞=-1故選項(xiàng)C錯誤，

因?yàn)?sin%os8-2cos2。=4s能氏—2妥2。=等需=_竽，故選項(xiàng)。正確.

sin"+cosetan^G+15

故選：ABD.

【典例3】（2023秋?唐縣校級期末）化簡求值：

（1）已知COS8=3且6為第四象限的角，求tan。的值.

ji

、13cos(-a)-2cos(--a)

(2)已知tcma二5,的值.

cosa-3sina

【答案】（1）

（2）-24.

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；

（2）利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

【解答】解：⑴'Jcose^l，且e為第四象限的角，...s譏8=4

/.tand=—7；

13cosa—2sina13—2tana_

（2）原式=

cosa—3sina1—3tana—,

題型2由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡

【典例4】(2023秋?衡水期末)已知2sin6-cos0=O,則--~—=()

cosu-sinU

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】D

【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，先求出tan6=g可得要求

式子的值.

【解答】解：由2sin0-cos0=O可得tan6=

?cos3+sin01+tanO1+5

貝I」t--------=------=—7=3.

cosO-sinO1-tanO1一一

2

故選：D.

【典例5】(2023秋?嘉定區(qū)期末)已知sina=：并且a是第二象限角.

(1)求tana的值;

2sina+3cosa,,

(2)求-------:—的值.

cosa-sina

【答案】(1)一2

⑵?

【分析】(1)由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，先求出cosa的值，可

得tana的值.

(2)由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把要求的式子用tana來表示,

從而求得結(jié)果.

【解答】解：⑴因?yàn)閍是第二象限角，sina="

貝Ucosa=—Vl—sin2a=—^

44八sina3,5、

故rtana=-----=x(―y)=—

cosaF5'4，

(2)解：由題意可得tana=-彳,

3

,,2sina+3cosa2tana+32x(-7)+36

故------：—=-------

cosa-sina1-tana=—1-(S--—)=-7

【典例6】（2024春?大荔縣期末）⑴化簡：:累

/、_,乙3>r^3sina+2cosa

(2)已知=?計(jì)算一--------

斗sina-4cosa

【答案】⑴1;（2）

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可;

（2）利用弦切互化求解即可.

-Vl-2sinl90°cosl90°

【解答】解：⑴

COS170°+V1-COS2170°

-J(sinl90°-cosl900)2

cosl700+sml70°

_cosl90°—sinl900

-cosl70°+s譏170°

_—cosl0°+sinl0°

——cosl0°+sinl0°

3sina”3

7^77+23tana+23X-+217

tana-4--413*

cosa4

題型3給角求值

【典例7】（2023秋?連云港期末）sin210°=（）

A.B.-C.-印D.—

2222

【答案】A

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果.

【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=

故選：A.

1

【典例8】（多選）（2023秋?海林市校級期末）下列各式中，值為5的是（）

A-57r

A.sin-^-B.sin245°

_1V3

C.22D.一tan210°

2

【答案】ABD

【分析】利用誘導(dǎo)公式、指數(shù)募的運(yùn)算以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算各選項(xiàng)

中代數(shù)式的值，可得出合適的選項(xiàng).

【解答】解：對于A選項(xiàng)，s譏患=sin（兀一看）=}

對于3選項(xiàng)，s譏?45。=（孝）2=表

對于C選項(xiàng)，24=言=強(qiáng)

4丁…H仃V3V3V3V31

對于D選項(xiàng)，—tan2.10°=—tan（180°+30°）=—tan30°=—x—=

故選：ABD.

【典例9】（多選）（2024春?西湖區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）

A.若a的終邊經(jīng)過P（5左，12k）,k*0,則s譏a=

B.t<27i（—210。）=一

C.若cosa>0,則a為第一或第四象限角

D.若角a和角F的終邊關(guān)于y軸對稱，則s譏&+a）=-cos0

【答案】BD

【分析】根據(jù)左的正負(fù)判斷A,根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷3,根據(jù)三角函數(shù)在坐標(biāo)軸

上的符號判斷C,由對稱及三角函數(shù)的定義判斷D

【解答】解：當(dāng)左<0時;sina=,12fc=故A選項(xiàng)錯誤；

J25fc2+144fc213

tan（—210。）=—t<zn210°=—tan30°———B正確；

cosa>0時，a的終邊在第一或第四象限或x軸非負(fù)半軸，C錯誤；

因?yàn)閟譏g+a）=cosa,角a和角0的終邊關(guān)于y軸對稱，

結(jié)合三角函數(shù)定義可知cosa=-cos0,BPstn（^+a）=-cos/3,故。選項(xiàng)正確.

故選：BD.

題型4給值（式）求值

【典例10]（2023秋?莆田期末）若5譏（1+仇）=稱，則sin（患—a）—cos（等+a）=

()

21+2V21-2V2

A.0B.-D.-----

333

【答案】B

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式即可化簡求解.

【解答】解：因?yàn)閟譏（）+a）=寺,

則s譏(第一a)-cos(咨+a)=sin[n-(―+a)]-cosg+(-+a)]=sin(—+a)

7t117

-[-sin（—+a）]=F—（-4）-

6333

故選：B.

4

-

【典例11】（多選）（2024春?上饒期中）若tcma3則sina的值可以?。ǎ?/p>

【答案】AC

【分析】根據(jù)a所在的象限，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

4

-

【解答】解：若tcma3則a為第一或第三象限角,

rsina_4.

當(dāng)a第一1象限時，卜osa—3,得sina=E，cosa—

^sin2a+cos2a=10

sina_4.

當(dāng)a第三象限時,cosa-3,得sina=一耳，cosa=—

sE2a+cos2a=1

故選：AC.

【典例12]（2024春?海淀區(qū)校級期中）已知a是第四象限角，且位曲=-2，

則cosacosg+a)=

12s

【答案】百百

【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可求解.

【解答】解：因?yàn)閍是第四象限角，且加四二-9，

12-------5

貝ljcosa=sin,a=—v1—cos乙a二一"1"^，

故cos(]+a)=-sina=月.

12S

故答案為：—;—.

題型5由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡

【典例13]（2023秋?和平區(qū)期末）已知角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1,-3）,則

s譏（-e）+2cos（7r-。）

---------------------=（）

3sizi（-7T-e）+4cos（37r+e）

11

A.-B.-4C.-1D.1

55

【答案】C

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)榻?的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1,-3）,所以tan0=3,

sin(—e)+2COS(7T-6)-sin6-2cos3-tCLTiO—2—3—2

則

3sin(-7r-8)+4cos(37r+e)3sin0-4cos33tCL7i0—43x3—4

故選：c.

【典例14】（2024春?廣西期末）對于aWR,下列等式恒成立的是（）

A.tan(7i+a)=tan(2TI-a)B.cos(^--a)=sina

C.cos(-a)=-cosaD.sin(3TI-a)=sina

【答案】D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可.

【解答】解：對于A,tan(n+a)=tana,tan(2TI-a)=tan(-?)=-tana,

故A錯誤；

對于_B,cos(^2——a)=COS(2TT——a)=cos(一々一a)=cosg+a)=—sina,故B

錯誤；

對于C,cos(-a)=cosa,故C錯誤；

對于￡),sin(3TT-a)=sin(n-a)=sina,故。正確.

故選：D.

【典例15】（多選）（2024春?沈陽期中）下列等式恒成立的是（）

A.sin（n+a）=sinceB.cos{a_=sina

C.sE（—2—I-a）=cosccD.tan（Tr+a）==~tana

【答案】BC

【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式分析四個選項(xiàng)得答案.

【解答】解：sin（n+a）=-sina,故A錯誤；

cos（a-^）=cos（一一a）=sina,故5正確；

22

sin（一手+a）=cosa,故C正確；

tan（n+a）=tana,故。錯誤.

故選：BC.

題型6三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

【典例16】（多選）（2023秋?武漢期末）下列命題中正確的是（）

A.若tanaVO且sina>0,則a為第二象限角

B.cos（岑—a）—cos（竽+a）=0

C.若sina=sin0,則a=0+2E:（依Z）

si.na-cosa-.tana-

D.若a的終邊在第一象限，則E+f一^~^的取值集合為{-3,1}

\sin-\\cos-\\tan-\

【答案】ABD

【分析】對于A,由tana<0,得Na是第二象限或第四象限角，由sina>0,

得Na是第一象限或第二象限角；對于B,利用誘導(dǎo)公式判斷；對于C,若sina

=sin0,則a=p+2Kr（ZrGZ）或a+B=7T+2Kr,左CZ；對于￡）,角a的終邊在

第一象限，則5是第一象限或第三象限角，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：對于A,由tana<0,得Na是第二象限或第四象限角，由sina

>0,得Na是第一象限或第二象限角，綜上，a為第二象限角，故A正確；

對于3,cos（--a）-cos（—+a）=-sina+sina=O,故3正確；

22

對于C,若sina=sin0,則a=B+2hr（左CZ）或a+B=n+2/nr,kEZ,故C錯

誤；

對于D,角a的終邊在第一象限，則￡是第一象限或第三象限角，當(dāng)l是第一

.aaa.a

sin-cos-tan-°sin-

象限時,—新+—新——新=1+1-1=1,當(dāng)巴是第三象限時，一新+

\sin-\\cos-\\tan-\2|sin-|

〃.a〃

cosa-tan-asin-cos-atan-a

——^=-l-l-l=-3,則一k+—k--的取值集合為｛-3,

\cos-\|tan-1|sin-|\cos-\\tan-\

1},故。正確.

故選：ABD.

【典例17】（2024春?大連期中）已知超（-IT,0）,且sin6,cos。為方程5f-

x+m=0的兩根.

（I）求機(jī)的值；

si"2（兀-8）si唁-6）cos（2兀-8）

'sin（37r-0）-sin（y+0）sin（弓一6）+cos（e+?）'

z22

【答案】（I）爪=—圣（II）-f.

【分析】（I）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解加值；

（II）由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求值.

【解答】解：（I）由題意得，sine+cos6=<，則1+2sin0cos8=

sindcosd=可得sin6cose=g=一差，得巾=-導(dǎo)；

（1I）sm2（7r-0）+sm（：-8）cos（27r—e）sin23+-cosOcosO

sin（37T-0）-sin（^+0）sin（工一6）+cos（6+史）sinO-cosOcosO-sinO

N22

_sinz0+cos20_1

―sinO—cos