面的圓的方程

PAGEPAGE1圓的方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓，（1）點(diǎn)M在圓C外；（2）點(diǎn)M在圓C內(nèi)；（3）點(diǎn)M在圓C上。3、圓的一般方程：.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.4、圓的直徑式方程：已知是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則圓的方程為5、圓的參數(shù)方程及應(yīng)用對于圓的普通方程來說，圓的方程還有另外一種表達(dá)形式為參數(shù)），在解決有些問題時(shí)，合理的選擇圓方程的表達(dá)形式，能給解決問題帶來方便，本文淺談圓的參數(shù)方程再解題中的應(yīng)用。一、求最值例1已知點(diǎn)（x，y）在圓上，求的最大值和最小值?！窘狻繄A的參數(shù)方程為：。則===，則（k∈Z）時(shí)，的最大值為：；（k∈Z）時(shí)，的最小值為。CxCxyOAB圖1二、求軌跡例2在圓上有定點(diǎn)A（2，0），及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B、C，且A、B、C按逆時(shí)針方向排列，∠BAC=，求△ABC的重心G（x，y）的軌跡方程?！窘狻坑伞螧AC=，得∠BOC=，設(shè)∠ABO=θ（），則B(2cosθ,2sinθ)，C(2cos(θ+)，2sin(θ+))，由重心坐標(biāo)公式并化簡，得：，由，知0≤x＜1，消去θ得：（0≤x＜1）。【點(diǎn)評】用圓的幾何性質(zhì)，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ為參數(shù)，求出軌跡的參數(shù)方程，在消參后，要注意x的范圍的限定。三、求范圍例3已知點(diǎn)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范圍。【解】圓的參數(shù)方程為：，則有：x+y=1+sinθ+cosθ=1+，－（x+y）=－1－，－（x+y）的最大值為：－1+，由于x+y+c≥0，所以，c≥－（x+y）恒成立，即c≥－1+?！军c(diǎn)評】將恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為求最值問題，利用圓的參數(shù)方程求最值簡潔易算。四、求斜率Oxy(2,1)Oxy(2,1)圖2【解】函數(shù)的值，是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)（cosθ，sinθ）與點(diǎn)（2，1）所連線的斜率，最值在切線處取得，容易求得最大值為：，最小值為：0。6、常見的圓系方程1、同心圓系以為圓心的同心圓系方程：與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０2．過兩定點(diǎn)的圓系過兩已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的圓系方程為方程的前半部分為以AB為直徑的圓的方程表達(dá)式，后半部分為直線AB的兩點(diǎn)式的表達(dá)式，當(dāng)λ=0時(shí)，方程為以AB為直徑的圓的方程．例1、求過點(diǎn)A(5，2)和B(3，－2)且圓心在直線2x－y=3上的圓的方程．解：設(shè)所求圓方程為(x－5)(x－3)＋(y－2)(y＋2)＋λ[(x－5)(－2－2)－(y－2)(3－5)]=0，即x2＋y2－4(λ＋2)x＋2λy＋16λ＋11=0，圓心(2(λ＋2)，－λ)代入直線方程得4(λ＋2)＋λ=3，解得λ=－1，所以所求圓方程為x2＋y2－4x－2y－5=0．例2、求與已知圓－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直線2x－3y－1=0且過(－2，3)，(1，4)兩點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為(x＋2)(x－1)＋(y－3)(y－4)＋λ[(x＋2)(4－3)－(y－3)(1＋2)]=0，即x2＋y2＋(λ＋1)x－(3λ＋7)y＋11λ＋10=0，兩圓相減得公共弦所在的直線方程…………3．過圓與直線交點(diǎn)的圓系過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）例1;求經(jīng)過直線：與圓Ｃ：的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解：設(shè)圓的方程為：＋＝０即＋＋（1＋4）＝０則，當(dāng)＝時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：＋26－12＋37＝０例2：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即….①依題意，O在以PQ為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則，故。4．過兩圓交點(diǎn)的圓系若兩圓與相交于A、B兩點(diǎn)，則過A、B兩點(diǎn)的圓系方程為：＋(λ≠－1此圓系不含）當(dāng)兩圓相切時(shí)，方程表示過切點(diǎn)且與兩圓都相切的圓系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直線(兩圓相切時(shí)為公切線)的方程．注：為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:例1求過圓：+++1=0與圓：++=0的交點(diǎn)，圓心在直線：的圓的方程.分析：本題是求過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程問題，用過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程求解.解析：設(shè)所求圓的方程為：+++1+++)=0(≠).整理得=0，所以所求圓的圓心為，由已知知所求圓的圓心在直線：上，所以＝0，解得，=，代入圓系方程整理得，所以，所求圓的方程為.5．與已知圓切于圓上一定點(diǎn)的圓系（了解）與圓C：＋＋＋Ｆ＝０切于點(diǎn)P(x0，y0)的圓系方程為(λ≠－1)當(dāng)λ=－1時(shí)，方程表示過P(x0，y0)的切線方程．例1、求與圓x2+y2－4x－2y－20=0切于A(―1,―3)，且過B(2,0)的圓的方程。解：過A(―1,―3)的圓的切線為：3x+4y+15=0與已知圓構(gòu)造圓系：x2+y2－4x－2y－20+(3x+4y+15)=0∵曲線過B(2,0)∴=∴所求的方程為：7x2+7y2－4x+18y－20=0例2、平面上有兩個(gè)圓，它們的方程分別是x2+y2=16和x2+y2－6x+8y+24=0，求這兩個(gè)圓的內(nèi)公切線方程。分析：由x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1,顯然這兩圓的關(guān)系是外切。解：∵x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1∴這兩圓是外切∴(x2+y2－6x+8y+24)