2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡得，再根據(jù)虛部的定義即可求解．【詳解】，則所求虛部為.故選：A．2.如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（） B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)直線的傾斜角的大小，即可判斷斜率大小.【詳解】傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，所以.故選：A3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)，是滿足有這個(gè)軸的坐標(biāo)不變號，其它軸的坐標(biāo)變號，從而即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.4.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則的模為（）A.1 B.2 C. D.0【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用乘法除法計(jì)算即可得出復(fù)數(shù)，最后計(jì)算求模.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,所以,所以.故選：A.5.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的意義求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的乘除計(jì)算即可得到結(jié)果；【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.6.若和都為基底，則不可以為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】假設(shè)不能構(gòu)成一組基底，可知，依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)，確定是否有取值即可.【詳解】若不是一組基底，則可設(shè)，對于A，若，則，方程組無解，為基底，A錯(cuò)誤；對于B，若，則，方程組無解，為基底，B錯(cuò)誤；對于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對于D，若，則，方程組無解，為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.0 B.2 C.0或2 D.1或2【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由空間中點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意得，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得或.故選：C8.在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】選取為基底，將進(jìn)行分解，可表示出：，，，進(jìn)一步結(jié)合向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖所示，延長，使得，由題意點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，而，因?yàn)?，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，的最小值為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是表示出：，，，進(jìn)一步得出，由此即可通過換元法得解.二、多選題9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為B.C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量，共面【正確答案】ABD【分析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因?yàn)椋?，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯(cuò)誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10.已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則【正確答案】AC【分析】設(shè)，，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等充要條件判斷A、C，利用特殊值判斷B、D.【詳解】設(shè)，，則，，對于A：因，所以，即，所以，故A正確；對于B：令，，則，但是，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，，所以，故C正確；對于D：令，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當(dāng)時(shí)， D.直線與平面所成角的正弦值為【正確答案】AD【分析】對于A，將三棱錐轉(zhuǎn)換成后易得其體積為定值；對于B，建系后，證明與平面的法向量不垂直即可排除B項(xiàng)；對于C，設(shè)出，利用證得，再計(jì)算，結(jié)果不為0，排除C項(xiàng)；對于D，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】對于A，如圖1，因,故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯(cuò)誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時(shí)，故與不垂直，即C錯(cuò)誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.三、填空題12.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)3＋3i，－2＋i，－5i，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．【正確答案】【詳解】對應(yīng)復(fù)數(shù)為(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，對應(yīng)復(fù)數(shù)為zD－(3＋3i)，在平行四邊形ABCD中，＝，則zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，－3).【考查意圖】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、向量的平行四邊形法則．13.如圖，四邊形，都是邊長為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是______．【正確答案】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，即為所求．【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長為的正方形，則，，又，則，因?yàn)椋蓤D易知，，所以，即，兩點(diǎn)間的距離是．故．14.某中學(xué)組織學(xué)生到一工廠開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，加工制作帳篷．將一塊邊長為的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形（其中），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)四棱錐型的帳篷（如圖②）．該四棱錐底面是正方形，從頂點(diǎn)P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線與平面所成角的正弦值為___________．【正確答案】【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及的坐標(biāo)，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由題意可知，，故．設(shè)平面的法向量為，又，則有即令，可得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)與平面的法向量的夾角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為．故四、解答題15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由實(shí)部為且虛部不為列式求解；（2）由實(shí)部小于0與虛部大于得到不等式組，求出的取值范圍．【小問1詳解】是純虛數(shù)，故，解得.【小問2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故的取值范圍為2,3．16.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線的傾斜角為銳角和鈍角時(shí)，分別求出的取值范圍；（2）若直線的方向向量為，求的值.【正確答案】（1）答案見解析．（2）【分析】（1）由斜率為正或?yàn)樨?fù)求解；（2）由坐標(biāo)得方向向量，然后利用向量共線得結(jié)論．【小問1詳解】直線的傾斜角為銳角時(shí)，，解得，直線的傾斜角為鈍角時(shí)，，解得或，所以直線的傾斜角為銳角時(shí)，，為鈍角時(shí)，或；【小問2詳解】由已知，又直線的方向向量為，所以，解得．17.已知正三棱錐P-ABC的所有棱長均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在EF上，且EN=3NF，設(shè)．（1）用向量表示向量；（2）求PN與EB夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合空間向量基本定理求解，（2）利用基底法表示向量，利用向量的夾角求解線線角即可.【小問1詳解】由EN=3NF可得,由F為BC的中點(diǎn)可得,所以【小問2詳解】，兩兩夾角為，模長均為，所以，所以，，，設(shè)求PN與EB夾角為，則18.已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.（1）求證：為定值；（2）若，求a的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）對化簡整理可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等分析運(yùn)算；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模長的定義和公式，結(jié)合運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵，則，由復(fù)數(shù)相等，消去t得，故為定值.【小問2詳解】∵，且∴，又∵，即，則，整理得，∴原不等式組即為，解得，故a的取值范圍為.19.如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）（3）【分析】（1）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．【小問1詳解】連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以為平行四邊?由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，可