專升本(高等數學一)模擬試卷97(題后含答案及解析)資料

專升本（高等數學一）模擬試卷97(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題1．設函數y=ax2+c在區(qū)間(0，+∞)上單調增加，則()A．a＜0且c=0B．a＞0且c為任意實數C．a＜0且c≠0D．a＜0且c為任意實數正確答案：B解析：由題設有y’=2ax，則在(0，+∞)上2ax＞0．所以必有a＞0且c為任意實數．故選B.2．微分方程y”+y=0的通解為()A．C1cosx+C2sinxB．(C1+C2x)exC．(C1+C2x)e-xD．C1e-x+C2ex正確答案：A解析：由題意得微分方程的特征方程為r2+1=0，故r=±i為共軛復根，于是通解為y=C1cosx+C2sinx．3．設f(x)為連續(xù)函數，則積分A．0B．1C．nD．正確答案：A解析：故選A4．平面x+2y—z+3=0與空間直線的位置關系是()A．互相垂直B．互相平行但直線不在平面上C．既不平行也不垂直D．直線在平面上正確答案：D解析：平面π：x+2y—z+3=0的法向量n={1，2，一1}，的方向向量s={3，一1，1}，(x0，y0，z0)=(1，一1，2)．因為3×1+(一1)×2+1×(-1)=0，所以直線與平面平行，又點(1，一1，2)滿足平面方程(即直線l上的點在平面π上)，因此直線在平面上．故選D．5．設a＜x＜b，f’(x)＜0，f”(x)＜0，則在區(qū)間(a，b)內曲線弧y=f(x)的圖形()A．沿x軸正向下降且向上凹B．沿x軸正向下降且向下凹C．沿x軸正向上升且向上凹D．沿x軸正向上升且向下凹正確答案：B解析：當a＜x＜b時，f’(x)＜0，因此曲線弧y=f(x)在(a，b)內下降．由于在(a，b)內f”(x)＜0，因此曲線弧y=f(x)在(a，b)內下凹．故選B6．設f(x)=一1，g(x)=x2，則當x→0時()A．f(x)是比g(x)高階的無窮小B．f(x)是比g(x)低階的無窮小C．f(x)與g(x)是同階的無窮小，但不是等價無窮小D．f(x)與g(x)是等價無窮小正確答案：C解析：7．中心在(一1，2，一2)且與xOy平面相切的球面方程是()A．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正確答案：A解析：已知球心為(-1，2，一2)，則代入球面標準方程為(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=r2．又與xOy平面相切，則r=2．故選A8．函數z=xy在點(0，0)處()A．有極大值B．有極小值C．不是駐點D．無極值正確答案：D解析：由z=xy得解得駐點(0．0)．又因為A=z”xx|(0,0)=0，B=z”xy|(0,0)=1，C=z”yy|(0,0)=0，B2一AC=1＞0，所以在(0，0)處無極值．故選D．9．已知曲線y=y(x)過原點，且在原點處的切線平行于直線x—y+6=0，又y=yy(x)滿足微分方程(y”)2=1一(y’)2，則此曲線方程是y=()A．一sinxB．sinxC．cosxD．一cosx正確答案：B解析：要選函數根據題設應滿足三個條件：(1)y(0)=0，(2)在原點處斜率k=1，(3)代入(y”)2=1一(y’)2應成立．故逐個驗證后應選B。10．設f(x，y)為連續(xù)，二次積分∫02dx∫x2f(x，y)dy交換積分次序后等于()A．∫02dy∫0yf(x，y)dxB．∫01dy∫0yf(x，y)dxC．∫02dy∫y2f(x，y)dxD．∫02dy∫02f(x，y)dx正確答案：A解析：積分區(qū)域D可以表示為0≤x≤2，x≤y≤2，其圖形如圖中陰影部分所示．交換積分次序，D也可以表示為0≤y≤2，0≤x≤y，因此∫02dx∫x2f(x，y)dy=∫02dy∫0yf(x，y)dx，故選A.填空題11．若，則k=______．正確答案：2解析：這是檢查第二類重要極限的題．因為所以由條件等式有e-5k=一e-10，即5k=10，k=2．12．要使y=arcsinau(a＞0)，u=2+x2能構成復合函數，則a取值范圍是______．正確答案：解析：因為由常見函數y=arcsinQ(x)，這里的|Q(x)|≤1，一1≤Q(x)≤1，即一1≤au≤1，0＜a(2+x2)≤1，有0＜2a≤a(2+x2)≤1，得又由a＞0可知a的取值范圍為0＜a≤13．設f(x)=且f(x)在點x=0處連續(xù)，則a=______．正確答案：0解析：由．可知當f(x)在x=0處連續(xù)時，必有從而a=0．14．已知由方程x2+y2=e確定函數y=y(x)，則正確答案：解析：此題是隱函數求導數的題．且同時檢查了反函數的導數等于原函數導數的倒數.具體解法是：在x2+y2=e兩側關于x求導數，得2x+2yy’=0，y’=15．已知∫f(x)dx=2x+sinx+C，則f(x)=______．正確答案：2xln2+cosx解析：這是求原函數的題，等式右側的導數應該為f(x)．即f(x)=(2x+sinx+C)’=2xln2+cosx．16．設f(2)=1，∫02f(x)dx=1，則∫02xf’(x)dx=_______．正確答案：1解析：由分部積分公式有：∫02xf’(x)dx=∫02xdf(x)=xf(x)|02—∫02f(x)dx=2f(2)一∫02f(x)dx=2×1—1=1．17．過原點且與平面2x—y+3z+5=0平行的平面方程為_________．正確答案：2x—y+3z=0解析：已知平面π1：2x一y+3z+5=0的法向量n1={2，一1，3}．所求平面π∥π1，則平面π的法向量n∥n1，可以取n=n1={2，一1，3}．由于所求平面過原點，由平面的點法式方程，得2x—y+3z=0為所求平面方程．18．函數f(x，y)=x3+y3一9xy+27的極小值點是_______．正確答案：(3，3)解析：這是二元函數求極值的題．令解得駐點為(3，3)，(0，0)．f”xx=6x，f”xy=一9，f”yy=6y.當時，A=fxx”(3，3)=18，B=f”xy(3，3)=一9，C=f”yy(3，3)=18，B2一AC＜0，且A=18＞0，所以在(3，3)處f(x，y)取得極小值；當時，A=f”xx(0，0)=0，B=f”xy(0．0)=一9，C=f”yy(0，0)=0，B2一AC＞0，所以點(0，0)不是f(c，y)的極值點．19．級數絕對收斂的充要條件是________．正確答案：|a|＜120．微分方程x(y’)2一2xy’+x=0的階數是_______．正確答案：1解答題21．正確答案：令，則x=t2，dx=2tdt．當x=1時，t=1；當x=4時，t=2．22．試證：當x＞0時，有不等式x＞sinx＞正確答案：先證x＞sinx(x＞0)．設f(x)=x—sinx，則f’(x)=1一cosx≥0(x＞0)，所以f(x)為單調遞增函數，于是對x＞0有f(x)＞f(0)=0，即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)．g’(x)=cosx-1+x則g”(x)=-sinx+1≥0所以g’(x)單調遞增，又g’(0)=0，可知g’(x)＞g’(0)=0(x＞0)，那么有g(x)單調遞增．又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，綜上可得：當x＞0時，x＞sinx＞23．已知直線L：平面π：一πx+2y—z+4=0，試確定m，n的值，使得直線L在平面π上．正確答案：要使直線L在平面π上，只要直線L平行于平面π，且有一點在平面π上即可．直線L的方向向量為s={2，一1，m}，平面丌的法線向量為n={一n，2，一1}，由直線平行于平面丌得s.n=0，即一2n一2一m=0①又點P(1，一2，一1)為直線L上的點，把此點的坐標代入平面π的方程得一n—4+1+4=0②24．已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=3，求f(0)．正確答案：因為∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf”(x)sinxdx，而∫0πf”(x)sinxdx=∫0πsinxdf’(x)=sinx.f’(x)|0π一∫0πf’(x)cosxdx=一∫0πcosxdf(x)=一f(x)cosx|0π—∫0πf(x)sinxdx=f(π)+f(0)一∫0πf(x)sinxdx，所以∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3．又f(π)=1，所以f(0)=2．25．設f(x，y)=cos(x2y)，求正確答案：26．求函數y=x3一3x2一9x+1的極值．正確答案：由于y=x3一3x2一9x+1的定義域為(一∞．+∞)．y’=3x2一6x一9，令y’=0，得駐點x1=一1，x2=3，y”=6x一6，y”(一1)＜0，y”(3)＞0，故f(一1)=6為極大值，f(3)=一26為極小值．27．將函數f(x)=ln(1+x一2x2)展開為x0=0的冪級數．正確答案：因為1+x一2x2=(1+2x)(1一x)，所以ln(1+x一2x2)=ln(1+2x)+ln(1一x)．28．設f(x)為連續(xù)函數，且滿足f(x)=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt+x3，試求f(x)．正確答案：由所給關系式兩邊求導，得f’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)+3x2=∫0xf(t)dt+3x2，上式再次求導，得f”(x)=f(x)+6x，即f”(x)一f(x)=6x，這是二階常系數非齊次線性微分方程，對應齊次方程為f”(x)一f(x)=0，其特征方程為λ2一1=0，有兩個根λ1=1，λ2=一1