成都師范高等數(shù)學(xué)試卷

成都師范高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，屬于奇函數(shù)的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上必有（）

A.最小值

B.最大值

C.最小值和最大值

D.可能沒(méi)有最小值和最大值

3.下列極限中，屬于無(wú)窮小量的是（）

A.lim(x→0)x

B.lim(x→0)x^2

C.lim(x→0)1/x

D.lim(x→0)1/x^2

4.若f(x)在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)存在，則f(x)在x=0處（）

A.必定可導(dǎo)

B.必定連續(xù)

C.必定可導(dǎo)且連續(xù)

D.不一定可導(dǎo)，也不一定連續(xù)

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上（）

A.必定存在最大值和最小值

B.必定存在最大值，不一定存在最小值

C.必定存在最小值，不一定存在最大值

D.不一定存在最大值和最小值

6.下列函數(shù)中，屬于有界函數(shù)的是（）

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=1/x

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(x)

7.下列極限中，屬于無(wú)窮大量的是（）

A.lim(x→0)x^2

B.lim(x→0)1/x

C.lim(x→0)x^3

D.lim(x→0)1/x^2

8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，則f(x)在x=0處（）

A.必定不可導(dǎo)

B.必定不連續(xù)

C.必定不可導(dǎo)且不連續(xù)

D.不一定不可導(dǎo)，也不一定不連續(xù)

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上（）

A.必定存在最大值和最小值

B.必定存在最大值，不一定存在最小值

C.必定存在最小值，不一定存在最大值

D.不一定存在最大值和最小值

10.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

二、判斷題

1.在一元二次方程ax^2+bx+c=0中，如果a=0，則該方程一定有實(shí)數(shù)解。（）

2.函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增。（）

3.極限lim(x→0)sin(x)/x等于1。（）

4.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在該區(qū)間上一定連續(xù)。（）

5.在積分學(xué)中，定積分的計(jì)算可以通過(guò)不定積分的方法來(lái)完成。（）

三、填空題

1.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為_(kāi)_____。

2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1，則定積分∫(0to1)f(x)dx的值為_(kāi)_____。

3.若函數(shù)f(x)=x^2+2x-3在x=1處的切線(xiàn)斜率為_(kāi)_____。

4.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)的結(jié)果為_(kāi)_____。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開(kāi)式的前三項(xiàng)為_(kāi)_____。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。

2.解釋什么是函數(shù)的連續(xù)性，并舉例說(shuō)明。

3.簡(jiǎn)要說(shuō)明牛頓-萊布尼茨公式及其在計(jì)算定積分中的應(yīng)用。

4.如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)？

5.簡(jiǎn)述極限的概念，并舉例說(shuō)明數(shù)列極限和函數(shù)極限的區(qū)別。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算定積分∫(0toπ)sin(x)dx。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x在x=2處的導(dǎo)數(shù)值。

3.解一元二次方程x^2-4x+3=0。

4.計(jì)算極限lim(x→2)(x^2-4x+3)/(x-2)。

5.求函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開(kāi)式的前四項(xiàng)，并計(jì)算f(0.1)的近似值。

六、案例分析題

1.案例分析題：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=1000x+2000，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格P(x)與銷(xiāo)售數(shù)量x之間的關(guān)系為P(x)=400-0.2x。試分析以下問(wèn)題：

a.當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量為多少時(shí)，公司的利潤(rùn)最大？

b.如果公司希望利潤(rùn)達(dá)到5000元，需要生產(chǎn)多少產(chǎn)品？

c.請(qǐng)解釋為什么利潤(rùn)最大時(shí)的生產(chǎn)數(shù)量可能不是最大銷(xiāo)售數(shù)量的水平。

2.案例分析題：某城市為了提高交通效率，計(jì)劃修建一條新的高速公路。已知該高速公路的設(shè)計(jì)流量為每天20000輛汽車(chē)，平均車(chē)速為60公里/小時(shí)。目前，該城市的交通流量已經(jīng)達(dá)到了每天25000輛汽車(chē)，平均車(chē)速降至40公里/小時(shí)。假設(shè)高速公路的建設(shè)成本與交通流量成線(xiàn)性關(guān)系，且每增加一輛汽車(chē)的流量，建設(shè)成本增加100元。請(qǐng)分析以下問(wèn)題：

a.計(jì)算目前交通擁堵導(dǎo)致的平均車(chē)速下降了多少百分比。

b.如果要使高速公路的交通流量達(dá)到設(shè)計(jì)流量，需要投入多少建設(shè)成本？

c.假設(shè)高速公路的建設(shè)成本上限為200萬(wàn)元，那么最多可以增加多少輛汽車(chē)的流量？

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商品的需求函數(shù)為Q=100-2P，其中Q表示需求量，P表示價(jià)格。假設(shè)成本函數(shù)為C=20Q+4000。求：

a.當(dāng)價(jià)格P為50元時(shí)，消費(fèi)者的消費(fèi)總額。

b.當(dāng)需求量為60單位時(shí)，商品的銷(xiāo)售價(jià)格。

2.應(yīng)用題：已知函數(shù)f(x)=2x^3-9x^2+12x-3，求：

a.函數(shù)的極值點(diǎn)。

b.函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

3.應(yīng)用題：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為5000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為10元。市場(chǎng)需求函數(shù)為P=100-2Q，其中P為產(chǎn)品價(jià)格，Q為需求量。求：

a.當(dāng)市場(chǎng)需求量Q為30時(shí)，企業(yè)的利潤(rùn)。

b.企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)量是多少？

4.應(yīng)用題：一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上連續(xù)，且f(0)=1，f(4)=5。求證：存在至少一個(gè)點(diǎn)c∈(0,4)，使得f'(c)=(f(4)-f(0))/(4-0)。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.B

2.C

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.B

9.A

10.A

二、判斷題答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題答案：

1.0

2.50

3.2

4.1

5.1+x+x^2/2+x^3/6

四、簡(jiǎn)答題答案：

1.導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，幾何意義上表示函數(shù)曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。

2.函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)，函數(shù)值的變化都是連續(xù)的，沒(méi)有跳躍或間斷。

3.牛頓-萊布尼茨公式是微積分基本定理的一種表述，它建立了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，即定積分可以通過(guò)原函數(shù)的差值來(lái)計(jì)算。

4.判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)，可以通過(guò)觀(guān)察函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限是否存在，如果存在且等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

5.極限的概念是當(dāng)自變量趨向于某一值時(shí)，函數(shù)值趨向于某一確定的值。數(shù)列極限是數(shù)列的項(xiàng)趨向于某一值，函數(shù)極限是函數(shù)值趨向于某一值。

五、計(jì)算題答案：

1.∫(0toπ)sin(x)dx=-cos(x)|(0toπ)=-cos(π)+cos(0)=2

2.f'(x)=3x^2-12x+12，f'(2)=3*2^2-12*2+12=12-24+12=0

3.x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3

4.lim(x→2)(x^2-4x+3)/(x-2)=lim(x→2)[(x-3)(x-1)]/(x-2)=lim(x→2)(x-3)=-1

5.f(x)=e^x，泰勒展開(kāi)式的前四項(xiàng)為1+x+x^2/2!+x^3/3!，f(0.1)≈1+0.1+0.1^2/2+0.1^3/6≈1.1041667

六、案例分析題答案：

1.a.消費(fèi)者消費(fèi)總額=P*Q=50*60=3000元

b.銷(xiāo)售價(jià)格=P=100-2Q=100-2*60=20元

c.利潤(rùn)最大時(shí)的生產(chǎn)數(shù)量可能不是最大銷(xiāo)售數(shù)量的水平，因?yàn)樽畲箐N(xiāo)售數(shù)量的價(jià)格可能低于成本，導(dǎo)致虧損。

2.a.極值點(diǎn)為x=1和x=4，因?yàn)閒'(x)=0的解為x=1和x=4。

b.在區(qū)間[1,4]上，最大值為f(1)=1，最小值為f(4)=5。

3.a.利潤(rùn)=收入-成本=(P*Q)-(固定成本+可變成本)=(100-2Q)Q-(5000+10Q)=-12Q^2+90Q-5000

當(dāng)Q=30時(shí)，利潤(rùn)=-12*30^2+90*30-5000=-10800+2700-5000=-8200元

b.利潤(rùn)最大化時(shí)，求導(dǎo)數(shù)等于0的Q值，即-24Q+90=0，解得Q=3.75，最優(yōu)生產(chǎn)量為3.75單位。

4.根據(jù)羅爾定理，存在至少一個(gè)點(diǎn)c∈(0,4)，使得f'(c)=(f(4)-f(0))/(4-0)。由于f(0)=1，f(4